Moto circolare vario
y
s(t )  R (t )
P(t)
•
r (t )
s(t)
φ(t)
O
v
a
x
Versore
radiale
 x(t ) 
 cos  (t ) 
r (t )  

R


  Rrˆ(t )
 y (t ) 
 sin  (t ) 
Versore
tangente
 x(t ) 
  sin  (t ) 
v (t )  

R

(
t
)


  R (t )ˆ(t )  s(t )ˆ(t )
 y (t ) 
 cos  (t ) 
 x(t ) 
  sin  (t ) 
 cos  (t ) 
2
a (t )  
  R (t ) 
   (t ) R 

y
(
t
)
cos

(
t
)
sin

(
t
)






a  s (t )
s 2 (t )
 s (t )ˆ(t ) 
rˆ(t )
s 2 (t ) vs 2 (t )
R
a 

  2 (t ) R
r
R
R
Il vettore rotante
• Il “vettore rotante” è un vettore che ruota
mantenendo il suo modulo costante.
• Esempio: il vettore r (t )
 rx (t ) 
 cos  (t ) 
r (t )  

R


  Rrˆ(t )
r
(
t
)
 sin  (t ) 
 y 
 rx (t ) 
  sin  (t ) 
dr
(t )  

R

(
t
)


  R (t )ˆ(t )  s (t )ˆ(t )
r
(
t
)
dt
 cos  (t ) 
 y 
dr (t )
dr (t )
r (t ) 
 0  r (t ) 
dt
dt
0 
 (t )   0 
  (t ) 


Formula di
Poisson
dr
  (t )  r (t )
dt
Moto vario qualunque
Versore
normale
Versore
binormale
ˆ
n̂
P
Raggio di
curvatura

ρ
s(t)
Ω
bˆ  ˆ  nˆ
Versore
tangente
Cerchio
osculatore in P
C

Centro di
curvatura
Traiettoria
v  sˆ
a  sˆ 
s2

s  vs  velocità scalare
nˆ
s  as  accelerazione scalare
Dinamica
• Le idee di Newton
I. Newton 1642-1727
– I moti dei corpi non sono
indipendenti, ma si influenzano
l’un l’altro (interazione tra corpi)
– Quando due corpi interagiscono,
deve esistere una relazione
funzionale tra le grandezze
cinematiche dei loro moti
– Ma quali grandezze
cinematiche?
– E quale relazione?
L’idea fondamentale di
Newton
• Quando due corpi interagiscono
esiste una relazione lineare e
omogenea tra le loro accelerazioni
m1a1  m2 a2  0
• m1 è una proprietà del solo corpo 1
detta “massa inerziale” di esso
• m2 è una proprietà del solo corpo 2
detta “massa inerziale” di esso
• Le masse inerziali m1 e m2 sono
quantità positive
• Non esistono masse inerziali nulle
Il primo principio della
dinamica
• Cosa succede se un corpo solo è
isolato?
• Risposta:
• La sua accelerazione è nulla
a 0
• Il moto è rettilineo e uniforme
v  costante
Principio di inerzia o primo principio
della dinamica di Newton
Il secondo principio della
dinamica
• Un singolo corpo isolato ha accelerazione
nulla (principio di inerzia)
• In presenza di un secondo corpo con cui
interagisce esso acquista un’accelerazione
data da
m1a1  m2 a2  0
• Conclusione:
• L’interazione con l’altro corpo provoca
un’accelerazione
• Questo vale per entrambi i corpi
• L’interazione è mutua
Forza su 1
generata da 2
La forza
Forza su 2
generata da 1
• Introducendo i vettori
f12  m1a1
f 21  m2 a2
• la relazione
m1a1  m2 a2  0
• diventa
• ovvero
Forza su 1
generata da 2
f12  f21  0
f12 =  f21
Forza su 2
generata da 1
Principio di azione e reazione:
la forza che 1 esercita su 2 è opposta a
quella che 2 esercita su 1
Definizione operativa di
massa inerziale
• Si pongono in interazione il
corpo di massa inerziale
incognita mx e la massa
unitaria campione mu.
• Si misurano i moduli delle due
accelerazioni
• Si ottiene la massa incognita
dalla relazione
mx | au |

mu | ax |
Definizione operativa di
forza
• La forza è definita dalla relazione
fondamentale
f  ma
• Questa è una definizione operativa e
assoluta
• Infatti il corpo è un corpo qualsiasi
• Ma il prodotto ma e la forza f non sono la
stessa cosa.
• Il prodotto ma è una proprietà del singolo
corpo considerato
• La forza f è una proprietà di coppia: sia del
corpo considerato che del corpo sorgente
della forza
Ogni forza ha una
sorgente!