Dinamica
• Le idee di Newton
I. Newton 1642-1727
– I moti dei corpi non sono
indipendenti, ma si influenzano
l’un l’altro (interazione tra corpi)
– Quando due corpi interagiscono,
deve esistere una relazione
funzionale tra le grandezze
cinematiche dei loro moti
– Ma quali grandezze
cinematiche?
– E quale relazione?
L’idea fondamentale di
Newton
• Quando due corpi interagiscono
esiste una relazione lineare e
omogenea tra le loro accelerazioni
m1a1  m2 a2  0
• m1 è una proprietà del solo corpo 1
detta “massa inerziale” di esso
• m2 è una proprietà del solo corpo 2
detta “massa inerziale” di esso
• Le masse inerziali m1 e m2 sono
quantità positive
• Non esistono masse inerziali nulle
Il primo principio della
dinamica
• Cosa succede se un corpo solo è
isolato?
• Risposta:
• La sua accelerazione è nulla
a 0
• Il moto è rettilineo e uniforme
v  costante
Principio di inerzia o primo principio
della dinamica di Newton
Il secondo principio della
dinamica
• Un singolo corpo isolato ha accelerazione
nulla (principio di inerzia)
• In presenza di un secondo corpo con cui
interagisce esso acquista un’accelerazione
data da
m1a1  m2 a2  0
• Conclusione:
• L’interazione con l’altro corpo provoca
un’accelerazione
• Questo vale per entrambi i corpi
• L’interazione è mutua
Definizione operativa di
massa inerziale
• Si pongono in interazione il corpo di
massa inerziale incognita mx e la
massa unitaria campione mu.
• Si misurano i moduli delle due
accelerazioni
• Si ottiene la massa incognita dalla
relazione
mx | au |

mu | ax |
• L’unità di misura della forza è il
Newton
• Definizione: 1 N accelera la massa di
1 kg a 1 m/s2
La definizione operativa
assoluta di forza
Definizione
Se un corpo di massa m ha
un’accelerazione a, il prodotto ma
definisce la forza F agente sul
corpo
F  ma
Attenzione:
il prodotto massa per accelerazione è una
caratteristica del singolo corpo. Invece la
forza è caratteristica di due corpi: il corpo su
cui agisce e il corpo sorgente della forza.
Il principio di azione e razione
(parte I)
Forza su 2
Forza su 1
generata da 1
generata da 2
• Introducendo i vettori
f12  m1a1
f 21  m2 a2
• la relazione
m1a1  m2 a2  0
• diventa
• ovvero
Forza su 1
generata da 2
f12  f21  0
f12 =  f21
Forza su 2
generata da 1
Principio di azione e reazione:
la forza che 1 esercita su 2 è opposta a
quella che 2 esercita su 1
Definizione operativa
empirica di forza
•
La forza può essere definita empiricamente
introducendo il dinamometro
•
Occorre un dinamometro campione
•
Per definzione, l’allungamento del dinamometro
campione è proporzionale alla forza applicata
•
Occorre un campione di forza
•
Il campione di forza più usato è il kg-peso
•
Definizione: il kg-peso è la forza con cui la Terra attira il
kg-massa al livello del mare
•
1kg-peso = 9.81 Newton
•
Non c’è garanzia che la forza definita empiricamente
sia proporzionale all’accelerazione del corpo cui è
applicata (la definizione statica e dinamica di forza
possono non coincidere)
Il terzo principio della
dinamica
• Dal secondo principio segue
f12 =  f 21
Forza su 1
generata da 2
Forza su 2
generata da 1
Principio di azione e reazione (parte I):
la forza che 1 esercita su 2 è opposta a
quella che 2 esercita su 1
• Il terzo principio aggiunge che
Principio di azione e reazione (parte II):
le forze di azione e reazione sono
dirette lungo la congiungente i due corpi
Conseguenza: le forze sono di due tipi
Forza attrattiva
r1  r2
r1  r2
r1
Forza repulsiva
r2
O
r1
r2
O
Il terzo principio della dinamica
(formulazione matematica)
f12 (r2  r1 )  (r1  r2 )  f12  0  r1  f12  r2  f12  0
Dal secondo principio
Momento della
forza f rispetto a O
f12   f 21
r1  f12  r2  f 21  0
r1  m1a1  r2  m2 a2  0
Momento di ma
rispetto ad O
Formulazione
matematica del terzo
principio della dinamica
I tre principi della
dinamica
• Primo: singolo corpo isolato
(principio di inerzia)
a1  0
• Secondo: sistema isolato di
due corpi
m1a1  m2 a2  0
• Terzo: sistema isolato di due
corpi
r1  m1a1  r2  m2 a2  0
Generalizzazione a N
corpi
• In un sistema isolato di N corpi
in interazione si ha
Secondo principio
m1 a1  m2 a2  m3 a3  ...  mN 1aN 1  mN aN  0
N
m a
i 1
i
i
0
Terzo principio
r1  m1 a1  r2  m2 a2  ...  rN 1  mN 1 aN 1  rN  mN aN  0
N
r m a
i 1
i
i
i
Principio di indipendenza
delle interazioni
• I corpi interagiscono a coppie
di azione e reazione
• Le forze di interazione di ogni
coppia non dipendono dalla
presenza di altri corpi
• Le forze agenti su ciascun
corpo si sommano come vettori
Principio di indipendenza
delle interazioni
F2
f 23
m1
f12
f13
f 21
m2
F1
f31
F3
m3
f 32
m1 a1  F1  f12  f13

m2 a2  F2  f 21  f 23

m3 a3  F3  f31  f 32
Sommando le tre
equazioni
m1a1  m2 a2  m3 a3  0