Un’introduzione
elementare
Sandro Salsa
Milano, Politecnico, ottobre 2008
In principio Dio creò il cielo e la terra.
La terra era una massa informe e
vuota
e le tenebre erano sulla superficie
dell’abisso
e lo spirito di Dio aleggiava sulla
superficie delle acque.
E Dio disse
  E  4 π
 B  0
1 B
E  
c t
1 E
4π
B 

J
c t
c
E
la luce
fu
Perché parlare di modelli matematici?
Qual è la loro utilità ?
Che cosa rappresentano?
Come si costruiscono ?
Si possono utilizzare nella didattica corrente ?
Utilità
Ruolo della matematica nella soluzione di
problemi del mondo reale odierno
Ricerca e sviluppo
dei
processi industriali
Capire, gestire e
controllare
fenomeni come:
Perfezionamento di auto,
aerei, telecomunicazioni …
Ottimizzazione in processi
di combustione, energetici…
Inquinamento di aria, fiumi …
Tempo atmosferico
Andamento dei mercati finanziari
Progettazione di componenti
Elettroniche (microchips)
Comportamento fisiologico e/o
patologico di organi (emodinamica,
innesto di bypass, …)
Che cosa rappresentano
Modelli
matematici
Astrazione
scientifica
Interfaccia
Mondo reale
Come si costruiscono
Analisi di un fenomeno (artificiale o naturale)
Estrazione delle caratteristiche essenziali
Traduzione in linguaggio matematico
Modello
Numerica
Analisi
Teorica
Validazione e controllo
I mattoni
Leggi generali
Di bilancio o conservazione:
massa, quantità di moto, energia, carica, …
(seconda legge della dinamica, legge di Gauss,
principio di Heisenberg, …)
Leggi costitutive
Specifiche, di natura sperimentale:
diffusione, resistenze ed attriti, effetti chimici, …
(legge di Fourier, legge di Ohm, legge di Hooke, …)
I tipi
Deterministici
Tipi
Probabilistici
Concetti caratteristici
Dinamica
(evoluzione)
Equilibri
(regime)
Controllo/Ottimizzazione
(efficienza)
Efficacia
Completezza
Bilancio
Possibilità di analisi
Didattica
Bilancio tra
Intuizione
Rigore
illustrare
Computer per
simulare
il calcolo numerico
Connessione
con altre scienze
col mondo reale
Obiettivo
Uso di modelli elementari per introdurre
concetti importanti ed attuali quali:
Dinamica, equilibri e loro stabilità
Caos deterministico
Diffusione, convezione e loro interazione
Legge generale
Forza (= massa x accelerazione)
=
Forza gravitazionale – resistenza dell’aria
Ingredienti:
Massa = M
Velocità di caduta = v
dv
Accelerazione =
dt
Legge generale
Forza =
dv
M
dt
Forza gravitazionale – resistenza dell’aria
Mg
?
Legge costitutiva
Come si modella la resistenza dell’aria?
resistenza dell’aria
Proporzionale a
Superficie esposta alla verticale = S
Quadrato della velocità = v 2
Un quarto della densità dell’aria = 0.25d
2
0.25Sv d
Modello matematico
dv
M
 Mg  0.25Sv 2 d
dt
v ( 0)  0
dinamica
stato iniziale
Qual è la velocità limite?
In quanto tempo si raggiunge?
Velocità limite
Gravità = resistenza dell’aria
Mg =0.25Sv d
V=
2
4Mg
Sd
Equilibrio
Forma adimensionale del modello
v
t
v
V
gt
V
U  U (s )
=U
velocità adimensionale
=s
tempo adimensionale
dU 1 dV

ds g dt
nell’equazione originale
Modello adimensionale
dU
 1U 2
ds
U ( 0)  0
e 1
U ( s)  2 s
e 1
2s
Soluzione
Velocità limite: U  1
U
U=1
slim
Tempo richiesto per raggiungere il valore U = 0.99
(99 per cento della velocità limite):
slim  2.64...
Esempio
d  0.12 102 gr / cm3
S = 0.7 m2
Peso = 80 kg
Parametro di controllo
V=
4Mg
Sd
= 200 km/h (circa)
raggiunta in (circa) 16sec = 2.64V/g
S
0.5S
V
1.4V
pesticidi
composti organici volatili
microbi
metalli pesanti
materiali radioattivi
Canale stretto
Inquinante in superficie
velocità v
tempo = 0
concentrazione (massa/lunghezza)
c = c(x,t)
tempo = t
x
x+dx
massa presente tra x e x+dx al tempo t = c(x,t)dx
x
Legge generale:
conservazione della massa
velocità di variazione della massa
=
flusso entrante – flusso uscente
c
dx
velocità di variazione della massa =
t
flusso entrante = q ( x, t )
flusso uscente = q( x  dx, t )
(massa/tempo)
c
dx  q( x, t )  q( x  dx, t )
t
dividendo per dx
e poi
dx
0
c
q

t
x
(legge generale)
Come si modella il flusso ?
Leggi costitutive
Modello
matematico
convezione o trasporto
q( x, t )  vc( x, t )
c
c
 v
t
x
c
q ( x, t )   D
x
c
 2c
D 2
t
x
diffusione
Diffusione + trasporto
c
 2c
c
 D 2 v
t
x
x
Che cos’è un’opzione?
Contratto che dà al possessore il diritto (non il dovere!) di
acquistare (call) o vendere (put) uno o più assets finanziari
(azioni, buoni di vario tipo, valuta, beni "concreti"...).
Gli ingredienti:
prezzo d’esercizio E
tempo d’esercizio T
prezzo dell’asset S=S(t)
un possessore e un sottoscrittore
un tasso di interesse corrente r
Le regole:
1. Il possessore di un'opzione call può comprare il bene, al prezzo E
2. Nel caso che il possessore decida di comprare, il sottoscrittore
deve vendere.
Il problema:
Qual è il prezzo “equo” che deve essere pagato al tempo t=0?
L’incognita: V(S(0),0)
Quale modello per V?
Funzione valore V=V(S,t): prezzo dell’opzione se al tempo t,
il valore dell’asset è S.
Legge generale
Di non arbitraggio: ogni guadagno istantaneo
senza rischio deve avere rendimento r
Leggi costitutive
Modello (stocastico!) per l’evoluzione del prezzo S=S(t)
dS
 dt  dB
S
Rendimento deterministico
Rendimento aleatorio
B moto Browniano
dB  dt
1. Formula per la variazione di V: dV
3 passi
2. Eliminare la componente di rischio
nell’espressione di dV
3. Utilizzare il principio di non arbitraggio
per arrivare al modello finale
1. Formula per la variazione di V
dB  dt
(dS ) 2  S 2 ( dt  dB) 2  S 2 (  2 dt 2  2dBdt   2 dB 2 )
  2 S 2 dt
1 2 2
1 2 2
dV  Vt dt  VS dS   S VSS dt  (Vt   S VSS )dt  SVS dB
2
2
2. Eliminare la componente di rischio nell’espressione di dV
Procedura di Hedging (copertura)
 V   S
Se Δ  VS
1 2 2
d  (Vt   S VSS )dt
2
Privo di rischio!!
3. Utilizzo del principio di non arbitraggio
1
d  (Vt   2 S 2VSS )dt  rdt
2
1
Equazione di Black-Scholes
Vt   2 S 2VSS  rSVS  rV  0
2
E dopo una giornata faticosa …
Un po’ di refrigerio!