UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TORINO
Facoltà di Scienze
Matematiche Fisiche e Naturali
Laurea Triennale in Fisica
Anno scolastico 2004/2005
THE DRIPPING FAUCET:
TRANSIZIONE AL CAOS
Candidato: Isabella Rosso
Relatore: Guido Boffetta
Correlatore: Antonello Provenzale
Ringraziamenti: Ferruccio Balestra
Giovanni Maniscalco
La Teoria del Caos…
Jules-Henri Poincaré
•Fondatore teoria qualitativa sistemi dinamici
•Descrizione del caos deterministico
•1903: “..Può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne
producano di grandissime nei fenomeni finali..”
Anni ’30: la scuola russa con Lyapunov, Kolmogorov, Andronov.
Edward Lorenz
•EFFETTO FARFALLA: piccole incertezze evolvono in maniera esponenziale
•Impredicibilità dello stato del sistema dopo un certo tempo caratteristico
•Sistemi apparentemente semplici in realtà nascondono nature molto
complesse ed irregolari
A livello quantitativo…
Fulcro della Teoria del Caos: studio sistemi dinamici dissipativi non lineari
 MAPPA (valori discreti)
x(t)
x(t+1)=g(x(t))
x(0)
dx(t)
dx(0)
x’(0)
|dx(t)| = |x(t)- x’(t)| ~ |dx(0)| exp( lt)
dx(0) = |x(0)- x’(0)|
x’(t)
0
l positivo  crescita esponenziale
•Una piccola incertezza sulla condizione iniziale si amplifica molto velocemente
•Anche nel caso ipotetico di poter disporre di un modello perfetto
rimane il grande problema delle condizioni iniziali
Cos’è l…
|dx(t)| = |x(t)- x’(t)| ~ |dx(0)| exp( lt)
Cos’è l…
| dx(t ) |
1
l  lim ln
t  t
| dx(0) |
|dx ( 0 )| 0
•Esponente di Lyapunov
•Dipende dal sistema
•Misura quantitativa della caoticità di un sistema: quanto si separano nel
tempo le traiettorie
•Se l≤0  il sistema non è caotico (l’attrattore è un punto fisso o un
ciclo limite)
L’attrattore…
x(t+1)=g(x(t))
Regione dello spazio delle fasi in cui le traiettorie sono attratte dopo
un tempo abbastanza lungo
Indipendentemente dalla condizione iniziale, x(t) si avvicina
indefinitamente ad esso (invariante per evoluzione temporale)
La presenza è determinata dal valore di un parametro di controllo
Vari tipi:
•Punto fisso: punto di equilibrio o stato stazionario
Soluzione dell’equazione g(x(t))=x(t)
•Orbita circolare o attrattore ciclico
•Attrattore strano
L’esperimento…
 Rubinetto che gocciola
 Sistema molto complicato con molti gradi di
libertà
 Può presentare un comportamento caotico
Variando la portata  regime di gocciolamento:
•inizialmente periodico
•transizione al caos
L’apparato sperimentale…
Tanica
Tubo  diametro: 1 cm
Rubinetto
Tubicino  diametro: 6 mm
Regolatore
Fotocellula
I valori ottenuti…
Periodo 1
D t (s)
0,500
0,400
0,300
0,000
50,000
100,000 150,000 200,000 250,000 300,000
t (s)
q = (0,30 ± 0,03) ml/s
I valori ottenuti…
 Mappa dei Ritorni: Tn+1 =f(Tn)
Periodo 1
Tn+1 (s)
0,400
0,300
0,200
0,200
0,300
T n (s)
q = (0,30 ± 0,03) ml/s
0,400
I valori ottenuti…
Periodo 2
0,300
D t (s)
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000 10,000 12,000 14,000 16,000
t (s)
q = (0 ,41 ± 0,04) ml/s
I valori ottenuti…
 Mappa dei Ritorni
Periodo 2
Tn+1 (s)
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
T n (s)
q = (0 ,41 ± 0,04) ml/s
0,250
0,300
I valori ottenuti…
Periodo 4
Tn+1 (s)
0,300
0,200
0,100
0,000
0,000
0,100
0,200
T n (s)
q = (0 ,79 ± 0,07) ml/s
0,300
Le gocce secondarie…
Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996)
Nuova configurazione…
Periodo 1
Tn+1 (s)
0,700
0,650
0,600
0,550
0,550
0,600
0,650
T n (s)
q = (0 ,15 ± 0,03) ml/s
0,700
Nuova configurazione…
Periodo 2
Tn+1 (s)
0,650
0,600
0,550
0,550
0,600
T n (s)
q = (0 ,17 ± 0,02) ml/s
0,650
Nuova configurazione…
Periodo 3
Tn+1 (s)
0,500
0,400
0,400
0,500
T n (s)
q = (0 ,23 ± 0,02) ml/s
Nuova configurazione…
CAOS
0,325
D t (s)
0,315
0,305
0,295
0,285
0,000
10,000
20,000
30,000
40,000
t (s)
q = (0 ,36 ± 0,04) ml/s
50,000
60,000
Nuova configurazione…
CAOS
Tn+1 (s)
0,350
0,300
0,250
0,250
0,300
Tn (s)
q = (0 ,36 ± 0,04) ml/s
Funzione non monotona  “stretching e folding”
0,350
La mappa logistica…
xn1  rxn (1  xn )
•r=3.2
•Attrattore di periodo 2
•r=3.52
•Attrattore di periodo 4
La mappa logistica…
xn1  rxn (1  xn )
•r=4
•Attrattore caotico
• l = ln2
I valori ottenuti a confronto…
q = 0 ,15 ml/s
q = 0 ,17 ml/s
q = 0 ,23 ml/s
q = 0 ,34 ml/s
Conclusioni…
 Comprensione delle caratteristiche proprie di un sistema caotico
 Presentato un esperimento in cui si è investigato il comportamento
non lineare e un meccanismo di transizione al caos
 L’esperimento conferma la ricchezza di un comportamento dinamico
in un sistema apparentemente semplice
Bibliografia…
•A. Vulpiani, Determinismo e Caos, Carocci (1994)
•Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996)
•H. N, Núñez-Yépez, A. L. Salas-Brito, C. A. Varga e L. Vicente, Chaos in a
dripping faucet, Eur. J. Phys. (1989)
•D. R. Hofstadter, Metamagical Themas, Sci. Am. 245 22 November (1981)
•J. K. Hale, H. Koçak, Dynamics and bifurcations, Springer-Verlag (1991)