Frattali, disordine, caos
attrattori
Sfortunatamente, l’attrattore di Lorenz
è anche un oggetto molto complicato
da studiare e da capire
Fortunatamente, esistono sistemi che
hanno un comportamento caotico ma che
sono molto più semplici da studiare
Supponiamo di collocare, in un grande campo
recintato, una giovane coppia di conigli
Dopo un anno, ci aspettiamo naturalmente che i
conigli siano diventati, per esempio, 6
Dopo due anni, 18
Alcuni degli esempi più tipici vengono dalla
“dinamica delle popolazioni”
Fino a quando continueranno ad aumentare tutti
questi conigli?
È assai probabile, quindi, che se un
certo anno ci sono 40 conigli, l’anno
dopo la popolazione registri un crollo
Il fatto è che, per quanto grande sia il
prato, l’erba alla fine non basterà per tutti,
i nuovi nati cominceranno a soffrire la
denutrizione, e saranno più esposti alle
malattie
Sarà anche triste, ma è così!
sulle y i conigli
l’anno dopo
Sopra la bisettrice=
natalità>mortalità
Sotto la bisettrice=
mortalità>natalità
Proviamo a descrivere questo fatto da un
punto di vista matematico
Allora, sull’asse x
mettiamo i conigli in
un certo anno
Chiediamoci: esiste una
popolazione d’equilibrio?
Dopo
tanti anni…
4°
2°
3°
1° anno
La popolazione converge
verso il suo “attrattore” che
in questo caso è
semplicemente
Un
punto
sulla
bisettrice
Le cose potrebbero andare anche in modo
diverso:
Supponiamo di
incrementare la
fertilità dei conigli:
L’attrattore, invece di
essere un punto,
potrebbe essere un
“ciclo”
Un anno pochi…
Un anno tanti
conigli…
Uhm… questo è il tipico problema che si
potrebbe affidare ad un computer:
Come si sarà notato, all’aumentare della fertilità,
il sistema passa attraverso una serie di
“biforcazioni” sempre più vicine
di ordine
CicloCiclo
di ordine
16 2
Ciclo
Ciclo di
di ordine
ordine 84
Fino ad un regime caotico, senza
periodicità
In che modo c’entrano i frattali?
Andiamo a studiare come sono
distribuite queste biforcazioni:
Le biforcazioni, come
si vede, seguono un
albero binario con
struttura frattale
Compaiono il ciclo di
ordine 2, 4, 8, 16…
Poi il caos
Nella regione caotica, per la verità, permangono
alcune “isole” di ordine
La più estesa
corrisponde ad
un ciclo di
ordine 3
Sono,
si ai
usa
dire
le due
“vie
al
Comecome
si vede,
due
estremi
della
“isola”
di ordine, il caos viene raggiunto in due
caos”:
l’intermittenzamodi
e le diversi:
biforcazioni di Hopf
O con un
nuovo
fenomeno
chiamato
“intermittenza
”
con la
consueta
successione di
biforcazioni
?
…
d3
d2
d1
d1 d 2 d 3


 ...  
d 2 d 3 d 4Costante di
Feigenbaum