ISTITUTO COMPRENSIVO N.7 - VIA VIVALDI - IMOLA
Via Vivaldi, 76 - 40026 Imola (BOLOGNA)
Centro Territoriale Permanente
per l’istruzione e la formazione in età adulta
Licenza Media
Scomposizione in fattori primi
MCD e mcm con il metodo della
scomposizione in fattori primi
Disciplina: Matematica
Scomposizione in fattori primi di un numero
Un numero composto può essere scritto come
prodotto di numeri primi.
Questa operazione si chiama scomposizione in
fattori primi o fattorizzazione.
Ogni numero naturale può essere scomposto in
fattori primi.
10 = 2 × 5
20 = 4 × 5 = 22 × 5
12 = 4 × 3 = 22 × 3
15 = 3 × 5
100 = 102 = (2 × 5)2 = 22 × 52
Per scomporre un numero composto
in fattori primi dobbiamo:
dividere il numero per il più piccolo numero
primo che sia suo divisiore;
dividere il risultato ottenuto (quoto) per il più
piccolo numero primo che sia suo divisiore;
continuare a dividere il risultato ottenuto per il
più piccolo numero primo che sia suo divisiore
fino a ottenere per risultato (quoto) 1.
Moltiplicando tutti i divisori fra loro si ottiene il
numero iniziale.
Esempi di scomposizioni:
264 2
1575
3
132 2
525 3
66 2
175 5
33 3
35
5
11 11
7
7
1
1
264 = 23 × 3 × 11
1575 = 32 × 52 × 7
Esempi di scomposizioni:
336 2
1044
2
168 2
522 2
84 2
261 3
42 2
87
3
21 3
29 29
7 7
1
1
2 × 32 × 29
1044
=
2
336 = 24 × 3 × 7
Esempi particolari di scomposizioni:
120 10 = 2 × 5
120 2
12 2
60 2
6 2
30 2
120 è divisibile
3 3
15 3
per 10 = 2 × 5
1
5 5
1
120 = 23 × 3 × 5
2500
1250
625
125
25
5
1
2
2
5
5
5
5
2500 22 × 52
25 52
1
2500 è divisibile
per 100 = 22 × 52
2500 = 22 × 54
MASSIMO COMUNE DIVISORE (MCD)
Dati due, o più, numeri naturali, diversi da zero, si
chiama loro loro massimo comune divisore (MCD)
il più grande numero che divide esattamente tutti i
numeri dati.
Il massimo comune divisore (MCD) di due o più
numeri naturali scomposti in fattori primi è:
IL PRODOTTO DI TUTTI I LORO FATTORI
PRIMI COMUNI, PRESI UNA SOLA VOLTA,
CON L’ESPONENTE PIÙ BASSO
Esempio di calcolo di MCD(24;30):
Scomponiamo i numeri in fattori primi
24 2
12 2
6 2
3 3
1
24 = 23 × 3
30 2
15 3
5 5
1
30 = 2 × 3 × 5
I fattori comuni sono 2 e 3 e vanno presi con esponente 1:
MCD(24;30) = 2 × 3 = 6
Esempio di calcolo di MCD(420;728):
Scomponiamo i numeri in fattori primi
420 10 = 2 × 5
42 2
21 3
7 7
1
420 = 22 × 3 × 5 × 7
728 2
364 2
182 2
91 7
13 13
728 = 23 × 7 × 13
I fattori comuni sono 2 e 7 e 2 va preso con esponente 2:
MCD(420;728) = 22 × 7 = 28
MINIMO COMUNE MULTIPLO (mcm)
Dati due, o più, numeri naturali, diversi da zero, si
chiama loro minimo comune multiplo (mcm), il più
piccolo fra i loro multipli comuni.
Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più
numeri naturali scomposti in fattori primi è:
IL PRODOTTO DI TUTTI I LORO FATTORI
PRIMI COMUNI E NON COMUNI, PRESI UNA
SOLA VOLTA, CON L’ESPONENTE PIÙ ALTO
Esempio di calcolo di mcm(12;8):
Scomponiamo i numeri in fattori primi
12 2
6 2
3 3
1
8 2
4 2
2 2
1
12 = 22 × 3
8 = 23
I fattori comuni sono 2 e 3 e 2 va preso con esponente 3:
mcm(12;8) = 23 × 3 = 24
Esempio di calcolo di mcm(750;315):
Scomponiamo i numeri in fattori primi
750 10 = 2 × 5
75 3
25 5
5 5
1
750 = 2 × 3 × 53
315 3
105 3
35 5
7 7
1
315 = 32 × 5 × 7
I fattori comuni sono 2, 3, 5 e 7, 3 va preso con
esponente 2 e 5 va preso con esponente 3:
mcm(750;315) = 2 × 32 × 53 × 7 = 15750