SISSIS
Scuola Interuniversitaria Siciliana di
Specializzazione per l’Insegnamento
Secondario
Indirizzo 1 Scienze Naturali
Classe 59/A
Laboratorio di matematica
Docente:
Specializzanda:
Prof. Lizzio
Melania Russo
Tema
Massimo comune divisore e minimo comune
multiplo
PREREQUISITI:
•
•
•
Essere in grado di svolgere le quattro operazioni e l’elevamento a potenza in N ed avere
padronanza delle loro proprietà
Conoscenza dei Sottoinsiemi e Diagrammi di Venn
Sapere cos’è l’intersezione tra due insiemi
OBIETTIVI:
•
•
•
•
•
•
•
Individuare i multipli e dei divisori di un numero
Acquisire il concetto di divisibilità
Riconoscere i numeri primi da quelli composti
Apprendere le tecniche di scomposizione di un numero in fattori primi e saperla applicare
Possedere i concetti di MCD e mcm
Conoscere le tecniche di calcolo del MCD e mcm
Risolvere semplici problemi con l’uso del MCD e mcm
METODI:
La trattazione verrà fatta con osservazioni, descrizioni, manipolazioni di oggetti (Es: Lego colorati).
Si possono sottoporre ad un test gli alunni per valutare il possesso dei prerequisiti richiesti.
Classe I media
PREMESSA
INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DIVISORE E
CONCETTO DI MULTIPLO
Le operazioni aritmetiche fondamentali che si possono
eseguire con i numeri naturali e decimali sono:
- l’addizione e la sua inversa, la sottrazione
- La moltiplicazione e la sua inversa, la divisione
- L’elevamento a potenza.
Esistono altre relazioni, e in particolare le relazioni “essere
divisore di” e “essere multiplo di” anch’esse una inversa
dell’altra.
RELAZIONE DI DIVISIBILITA’
Facciamo degli esempi:
Dalla divisione di due numeri naturali a e b si può avere come resto
0 oppure un altro numero naturale che è minore rispetto a b.
nel primo caso si dice che la divisione è esatta e il numero a è
divisibile per b.
Nel secondo caso si dice che la divisione non è esatta e a non è
divisibile per b
Ritornando all’esempio, dai risultati ottenuti, possiamo concludere
che:
125 è divisibile per 5
37 non è divisibile per 15
Sulla base di queste considerazioni si possono introdurre i concetti
di multiplo e sottomultiplo di un numero.
DEF: un numero a è multiplo di un numero b quando a è divisibile
per b, cioè quando la divisione di a x b dà resto 0.
Si dice anche che b è sottomultiplo di a.
Le espressioni “è multiplo di” “è divisore di” in matematica sono
dette RELAZIONI.
Una relazione tra due numeri può essere rappresentata da una
freccia
I MULTIPLI DI UN NUMERO
Consideriamo un numero naturale ≠ da 0, ad es. il 4. Quali sono i
suoi multipli? Basterà moltiplicare per tutti i numeri della
successione naturale 0, 1, 2, 3, 4, ecc. e avremo quindi:
In questa tabella, lo 0 non è considerato.
Sappiamo però che ogni numero moltiplicato per lo 0 da per
risultato 0. Quindi lo 0 è multiplo di qualunque numero.
M(0)= 0
Cioè lo 0 ha un solo multiplo
Dal momento che è possibile continuare a costruire i passi seguenti
della successione, moltiplicando il numero-base per i numeri
della serie dei naturali, i multipli di un numero sono illimitati,
quindi, in altre parole sono infiniti.
L’insieme dei multipli di un numero a si può indicare col simbolo
M(a). Se consideriamo il numero 3 e i suoi multipli, avremo:
I DIVISORI O SOTTOMULTIPLI DI UN NUMERO
Consideriamo un altro numero naturale n=12.
Volendo trovare i divisori di 12, basta individuare per mezzo della tabella quali
numeri moltiplicati tra loro danno come prodotto 12.
1x12 2x6 3x4
4x3
6x2 12x1
Come si nota, i divisori di 12, sono un numero limitato, per cui
un numero naturale ≠ da 0 ha un numero limitato (finito) di divisori.
OSSERVAZIONI: il quoziente fra 0 e un qualsiasi altro numero naturale ≠ da 0,
dà per risultato 0; quindi lo 0, ha un insieme infinito di divisori:
D(0)= {1,2,3,4,ecc.}
OSSERVAZIONI: come si sarà notato, tutti i numeri sono divisibili per se stessi e
per 1. questi due divisori, proprio perché comuni a tutti i numeri, sono stati
chiamati divisori banali
L’insieme dei divisori di un numero a si può
indicare con il simbolo D(a).
Supponiamo che a=124
Alcune proprietà dei divisori di un numero
NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI
I numeri che hanno come divisori solo se stessi e 1 possono essere considerati
come il risultato della moltiplicazione di questi 2 fattori banali.
Es 15 = 5x3
Questi numeri sono chiamati Numeri Primi
DEF: Un numero è primo se è divisibile solo per se stesso e 1
Gli altri numeri vengono definiti come numeri non primi o numeri Composti.
Essi si possono ottenere come il prodotto di fattori non banali, oltre che di fattori
banali.
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
DEF: L’operazione che trasforma un numero composto nel prodotto di fattori
primi è detta Fattorizzazione o Scomposizione in fattori primi.
Per scomporre in fattori primi un numero composto bisogna determinare tutti i
suoi divisori primi.
REGOLA: Per scomporre un numero in fattori primi, lo si divide per il più
piccolo numero primo che è suo divisore, poi si divide il quoto ottenuto per il
più piccolo numero primo che è suo divisore, e così via finché si ottiene per
quoto 1
Il numero dato, è uguale al prodotto di tutti i numeri primi utilizzati
come divisori
Dunque la scomposizione in fattori del numero 630 è:
630= 2x3x3x5x7= 2x32x5x7
OSSERVAZIONI: nella scomposizione in fattori primi, uno o più di
questi fattori possono comparire per più volte. In quest’ultimo caso
si usano le potenze per indicare un prodotto di fattori primi.
OSSERVAZIONI: effettuando la scomposizione di due numeri, nel
primo numero scomposto, è possibile che compaiano tutti i
fattori del secondo, con esponente maggiore o uguale a quello
del secondo. Si dice allora che quel numero è divisibile per l’altro
numero preso in considerazione.
MCD
Consideriamo due numeri: (es: 48 e 60) e troviamo i loro fattori
effettuando la scomposizione
L’insieme dei divisori o fattori che 48 e 60 hanno in comune è
l’intersezione tra l’insieme D (48), formato dai divisori di 48, e
l’insieme D (60), formato dai divisori di 60. Il MCD appartiene a
quest’insieme ed è il più grande dei numeri che formano
l’intersezione tra D (48) e D(60).
DEF: il MCD di due o più numeri è il maggiore dei loro divisori
comuni
METODI PER TROVARE IL MCD
• Metodo basato sulla scomposizione in fattori.
DEF: il MCD di due o più numeri, scomposti in fattori primi, è il
prodotto di tutti i loro fattori primi comuni, presi ciascuno una
sola volta, con il minimo esponente
• Metodo basato sulle divisioni successive
algoritmo euclideo delle divisioni successive.
o
OSSERVAZIONI: Può capitare che due numeri non abbiano
divisori comuni ≠ da 1. Es: 30 e 49
30= 2x3x5 49= 72
non hanno divisori comuni. In questo caso si dice che due numeri
sono primi fra loro.
DEF: due numeri si dicono primi fra loro , se non hanno divisori
comuni ≠ da 1.
DEF: Dati 2 o più numeri, se il minore di essi è divisore di tutti gli
altri, esso è il loro MCD
mcm
Consideriamo due numeri qualsiasi: es. 8 e 10 e consideriamo pure
l’inizio della successione dei loro multipli
M (8)= {8,16,24,32,40,48,56,64,72,80…}
M(10)={10,20,30,40,60,60,70,80,90,100…}
Rappresentiamo attraverso i diagrammi di Venn:
Il mcm (8;10)=40
DEF: il mcm di due o più numeri è
il minore dei loro multipli comuni
• Regola: dati due numeri, se il maggiore è multiplo di tutti gli
altri, esso è il mcm dei numeri dati
Es: 9, 27
M(9)= {9,18,27,36…}
M(27)= {27,54,81…}
mcm(9,27)=27
• Regola: il mcm di due o più numeri primi fra loro, è il loro
prodotto
Es: 4, 5
M(4)= {4,8,12,16,20…}
M(5)= {5,10,15,20…}
mcm (4,5)=20 dove 20=4x5; 4 e 5 sono primi fra loro
METODI PER TROVARE IL mcm TRA DUE NUMERI
• Metodo basato sulla scomposizione in fattori
DEF: per calcolare il mcm di due numeri, si scompongono in
fattori i numeri, poi si moltiplicano fra loro i fattori comuni e
non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente
• Metodo basato sul MCD
METODI PER TROVARE IL mcm TRA TRE O PIU’ NUMERI
• Metodo basato sulla scomposizione in fattori
• Metodo basato sul MCD
Verifiche:
•
- M. Pellerey IL NUOVO COSTRUIAMO LA
MATEMATICA
SEI 2001
- P.Lazzarini FARE E RAGIONARE CON LA
MATEMATICA
LA NUOVA ITALIA 2001
- T. Genovese ARITMETICA A LATTES 2006
- G. Colosio IMPARIAMO ARITMETICA EDITRICE
LA SCUOLA 2000
- G. Flaccavento MATEMATICA SU MISURA
FABBRI EDITORI 2002
- E. Bovio ARITMETICA MODERNA LATTES 1979