Il Laboratorio di Matematica
( non-solo-computer )
Mariolina Bartolini Bussi
Laboratorio delle Macchine Matematiche
Università di Modena e Reggio Emilia
[email protected] - http://www.mmlab.unimore.it
Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività
matematica
Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività
matematica
Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività
matematica
Eratostene
Nicomede
Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività
matematica
Descartes
Newton
Fino dall’antichità gli strumenti sono stati parte dell’attività
matematica
Collezioni degli istituti
matematici
Oggi
Laboratorio di Matematica
(dal Curricolo Matematica 2003
– dell’UMI – CIIM)
Il laboratorio di matematica non costituisce
un nucleo di contenuto né uno di processo,
ma si presenta come una serie di
indicazioni metodologiche trasversali,
basate certamente
sull’uso di strumenti, tecnologici e non,
ma principalmente finalizzate alla
costruzione di significati matematici.
Oggi
Che cos’è il laboratorio di matematica
Il laboratorio di matematica non è (necessariamente)
un luogo fisico diverso dalla classe,
è piuttosto un insieme strutturato di attività
volte alla costruzione di significati
degli oggetti matematici.
Il laboratorio, quindi, coinvolge
persone (studenti e insegnanti),
strutture (aule, strumenti, organizzazione
degli spazi e dei tempi),
idee (progetti, piani di attività didattiche,
sperimentazioni).
Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)
Oggi
L’ambiente del laboratorio di matematica è
in qualche modo assimilabile a quello della
bottega rinascimentale,
nella quale gli apprendisti imparavano
facendo e vedendo fare,
comunicando fra loro e con gli esperti.
La costruzione di significati,
nel laboratorio di matematica,
è strettamente legata, da una parte,
all'uso degli strumenti utilizzati nelle varie attività,
dall'altra, alle interazioni tra le persone
che si sviluppano durante l’esercizio di tali attività.
Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)
Oggi
È necessario ricordare che uno strumento è
sempre il risultato di un'evoluzione culturale,
che è prodotto per scopi specifici
e che, conseguentemente, incorpora idee.
Sul piano didattico ciò ha alcune implicazioni
importanti: innanzitutto il significato
non può risiedere unicamente nello strumento
né può emergere dalla sola interazione
tra studente e strumento.
Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)
Oggi
Il significato risiede negli scopi per i quali
lo strumento è usato,
nei piani che vengono elaborati
per usare lo strumento;
l’appropriazione del significato, inoltre,
richiede anche riflessione individuale
sugli oggetti di studio e sulle attività proposte.
Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)
Oggi
Esempi riguardanti la geometria
Materiali poveri
Macchine matematiche
Software di geometria dinamica
Laboratorio di Matematica (dal Curricolo Matematica 2003 – dell’UMI – CIIM)
Una macchina matematica
(geometria)
è un artefatto che ha uno scopo
fondamentale
(indipendente dall’uso
che poi se ne farà):
obbligare un punto, o un segmento, o una
figura qualsiasi (sostenuti da un opportuno
supporto materiale che li renda visibili)
a muoversi nello spazio o a subire
trasformazioni seguendo con esattezza una
legge astrattamente, matematicamente
determinata.
(Marcello Pergola, 1992)
www.mmlab.unimore.it
Il prospettografo nella scuola elementare (MO)
Età degli allievi: 4a e 5a
elementare
Obiettivi della ricerca:
studio di processi
per la costruzione del significato
di piramide visiva ..
Durata: circa un anno
Ambiente e strumenti utilizzati: classe, laboratorio
informatico, mostra; prospettografo di Dürer, carta e
matita, fonti storiche, animaz. fotoreal.
Modalità di organizzazione: individuale; piccoli gruppi;
grande gruppo (discussione matematica); visita guidata
alla mostra ecc.
Strumenti matematici e strumenti quotidiani (Australia)
Età degli allievi: “terza media”
Obiettivi della ricerca:
studio di processi
nella produzione di congetture
e dimostrazioni
Durata: molti mesi
Ambiente e strumenti utilizzati:
classe,
laboratorio informatico,
strumenti vari, animazioni….
Modalità di organizzazione:
individuale; a coppie; con insegnante.
Studio di elissografi (MO-TO)
Età degli allievi: terza liceo scientifico
Obiettivi della ricerca:
studio di processi
nella produzione di congetture
e dimostrazioni
Durata: una sessione di due ore
Ambiente e strumenti utilizzati:
carta, matita, elissografo ..
Modalità di organizzazione: piccolo gruppo
Macchine mentali: l’ellisse come sezione conica (MO-PI)
Età degli allievi: 3-4 anno Università
Obiettivi della ricerca:
Come si mobilizzano
le conoscenze
in una situazione conflittuale? ..
Durata: una sessione di due ore
Ambiente e strumenti(Durer,
utilizzati:
1525)
carta, matita, forbici, nastro adesivo…..
Modalità di organizzazione:
piccolo gruppo;
intervento
in un dialogo storico immaginario.
Strumenti matematici e strumenti quotidiani (Australia)
Età degli allievi: “terza media”
Obiettivi della ricerca:
studio di processi
nella produzione di congetture
e dimostrazioni
Durata: molti mesi
Ambiente e strumenti utilizzati:
classe,
laboratorio informatico,
In questo
strumenti vari, animazioni….
esperimento didattico
Modalità di organizzazione:
si usano strumenti reali
individuale; a coppie; con insegnante.
e strumenti “modellati”
(virtuali)
Strumenti matematici e strumenti quotidiani (Australia)
Età degli allievi: “terza media”
Obiettivi della ricerca:
studio di processi
nella produzione di congetture
e dimostrazioni
Durata: molti mesi
Ambiente e strumenti utilizzati:
classe,
laboratorio informatico,
strumenti vari, animazioni…. Il modelling può essere
Modalità di organizzazione:
anche l’oggetto
individuale; a coppie; con insegnante.
dell’esperimento
Il modelling
sta alla base del quadro di riferimento per la matematica
dell’indagine OCSE – PISA
Mathematical Literacy:
capacità di un individuo di identificare
e comprendere il ruolo che
la matematica gioca nel mondo reale,
di operare valutazioni fondate,
di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa
in modi che rispondono alle esigenze
della vita di quell’individuo in quanto cittadino
che esercita un ruolo costruttivo, impegnato
e basato sulla riflessione
Concezione “ingenua”
modelling
Mondo
extramatematico
Matematica
applicazioni
modelling
Mondo 2
Mondo 1
applicazioni
Esempio: un’applicazione della teoria ‘classica’
Il parabolografo di Cavalieri
Geometria
delle
sezioni coniche
Geometria cinematica
dei tracciatori di curve
applicazioni
Esempio: un’applicazione della teoria ‘classica’
Il parabolografo di Cavalieri
incorpora, come propria legge, il sintomo di Menecmo.
La proporzione di Menecmo
diviene operante,
governa la macchina,
costruisce la conica
nel piano.
Menecmo
DE : EB = EB : FE.
VHA simile a EAF,
AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE
= IA : 2 AE = DE : 2 AE.
AV : FE = DE : 2 AE.
2 AE AV = FE DE = EB EB.
2 AV AE = EB EB.
Menecmo
DE : EB = EB : FE.
VHA simile a EAF,
AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE
= IA : 2 AE = DE : 2 AE.
AV : FE = DE : 2 AE.
2 AE AV = FE DE = EB EB.
2 AV AE = EB EB.
applicazione
teoria
Menecmo
DE : EB = EB : FE.
VHA simile a EAF,
AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE
= IA : 2 AE = DE : 2 AE.
AV : FE = DE : 2 AE.
2 AE AV = FE DE = EB EB.
2 AV AE = EB EB.
applicazione
teoria
Cavalieri
Menecmo
AE : EB = EB : EK
E, posto:
y = EB;
x = AK,
si scrive (variabili)
y2 = 2px
Equazione canonica
della parabola.
DE : EB = EB : FE.
VHA simile a EAF,
AV : FE = HA : AE = 2 HA : 2 AE
= IA : 2 AE = DE : 2 AE.
AV : FE = DE : 2 AE.
2 AE AV = FE DE = EB EB.
2 AV AE = EB EB.
modelling
Matematica
Cabri-geometria
Costruire in Cabri
un modello virtuale
del parabolografo
di Cavalieri,
che simuli
il funzionamento
dello strumento reale
e tracci un arco di parabola.
Passi del processo:
1: Comprendere il compito ed
esaminare lo strumento;
Comprendere, anche misurando,
che vi sono
vincoli (guida di scorrimento;
punti fissi;
aste di lunghezza fissa;
angoli fissi) e movimenti.
Costruire in Cabri
un modello virtuale
2: Comprendere che alcune parti
del parabolografo
e/o caratteristiche sono
di Cavalieri,
inessenziali per una modelliz.
che simuli
geometrica (le viti, lo spessore,
il funzionamento
le fessure nelle aste, ecc.)
dello strumento reale
e tracci un arco di parabola.
Passi del processo:
E
K
3: segnare sul foglio Cabri
gli elementi fissi (punti, guida)
e scegliere il valore
del parametro (asta di lunghezza
fissa EK); scegliere un punto
direttore da cui dipenderà il moto.
4: costruire ‘intorno’ agli elementi
Costruire in Cabri
già segnati il resto dello strumento;
un modello virtuale
questa costruzione è vincolata
del parabolografo
dalla logica del software.
di Cavalieri,
che simuli
il funzionamento
dello strumento reale
e tracci un arco di parabola.
Passi del processo:
E
K
5. Interpretare il modello, muoverlo
(dragging),
Verificare se l’arco di parabola è
tracciato
6. Validare il modello, verificando
se il suo funzionamento
corrisponde a quanto desiderato.
Studiare limiti (traccia lo stesso arco?)
e potenzialità
(es. cambiare il parametro);
Ci sono variazioni al variare
della lunghezza delle aste?
Costruire in Cabri
un modello virtuale
del parabolografo
di Cavalieri,
che simuli
il funzionamento
dello strumento reale
e tracci un arco di parabola.7. Presentare il modello
Concezione “ingenua” o, almeno, incompleta
Un utilizzo ‘realistico’ del risultato della modellizzazione:
Stabilire la lunghezza delle aste e la grandezza della
tavoletta per costruire un modello di legno.
applicazioni
Geometria
delle
sezioni coniche
Geometria
cinematica
dei tracciatori
di curve
Cabri
geometria
modelling
Mariolina Bartolini Bussi
[email protected]
www.mmlab.unimore.it