Como, 18 ottobre 2011
15 novembre 2011
CALCOLI MENTALI E OPERAZIONI SCRITTE
IN 1 E 2 ELEMENTARE
22/12/2015
USIAMOLA PER ….CAPIRE!!!!!
- Come poi costruire il numero 15
utilizzando ciò che contiene questa
scatola?
- Costruisci I seguenti numeri:
COSTRUISCI IL NUMERO
87
39
123
78
67
76
24
88
- Dopo aver costruiti mettili in fila dal
più grande al più piccolo.
- Costruisci un altro numero che possa
stare tra questi due (es. 78 e 84).
- ecc. …
3
22/12/2015
ATTIVITÀ NUMERICHE FONDATE SUL VALORE
POSIZIONALE DELLE CIFRE
Le attività proposte si appoggiano su
una “scatola di numeri” chiamata
Banca dei numeri che, a seconda
dei livelli degli allievi, può essere
composta da numeri entro il 100
oppure entro il 1 000
L’obiettivo prioritario nell’uso della
Banca dei numeri (e di tutte le attività
correlate) consiste nel mettere
l’allievo in situazioni sempre più
complesse nelle quali egli possa
costantemente
mantenere
il
controllo
numerico
della
situazione.
8 febbraio 2006
4
LA BANCA DEI NUMERI
La banca dei numeri permette di
trattare le situazioni numeriche
con i seguenti fondamentali
obiettivi:
 Acquisire la padronanza del valore
posizionale delle cifre
 Acquisire
la padronanza di un
linguaggio operativamente utile
 Utilizzare dei materiali didattici e dei
supporti visivi che abbiano un uso
temporaneo, dei mezzi per facilitare la
costruzione di rappresentazioni
 Utilizzare un materiale che permetta
di adattarsi a situazioni numeriche
sempre più complesse delle quali possa
mantenere il controllo numerico
22/12/2015
1
0
0
1
0
1
2
0
0
2
0
2
3
0
0
3
0
3
4
0
0
4
0
4
5
0
0
5
0
5
6
0
0
6
0
6
7
0
0
7
0
7
8
0
0
8
0
8
9
0
0
9
0
9
5
22/12/2015
ESEMPI DI ATTIVITÀ
COSTRUISCI IL NUMERO
Questa attività può essere svolta
oralmente (in un momento di lavoro
individuale) o a partire dal testo.
Non è sempre vero che un allievo che
sa scrivere correttamente dei numeri
sappia poi costruirli con la Banca dei
numeri.
in questo caso (quando non ci fosse
padronanza del valore posizionale
delle cifre) la prima attività dell’allievo
può concernere un lavoro di scoperta
- Costruisci i numeri 32 e 24
-Ora mettili insieme
RICORDA: si chiama banca perché
posso andare a cambiare tutto ciò
che è possibile
30
20
4
2
50
6
- Se il bambino non sa cambiare 30 + 20
con il 50 lavorerò all’interno di questa
famiglia
6
22/12/2015
ESEMPI DI ATTIVITÀ (INIZIO A VERBALIZZARE)
DOPO
MOLTE ATTIVITÀ COME LA PRECEDENTE
-Costruisci i numeri 34 e 42 e sommali
30
34+42=
4
40
2
=
70
6
= 76
OPPURE
30 + 4 + 40 +2 =70 + 6 = 76 Entra in gioco il depennare (….lo vedremo poi nei
minilaboratori)
-Fino a portare i bambini a “tener fermo” un addendo
26 + 13 = 26 + 10 + 3 = 36 + 3 = 39
Primo scalino di astrazione
-Poi potrò passare alla sottrazione
34 – 21 = 30 – 20 qui attiverò l’automatismo 20 + 10 = 30 quindi
20
1
34 – 21 = 30- 20 = 10 cioè 14 – 1 = 13
7
22/12/2015
ESEMPI DI ATTIVITÀ (INIZIO TERZA…)
-Costruisci
sommali
345
seguenti
numeri
217
23
e
200
300
20
40
10
5
3
7
- Sarebbe da risolvere con un calcolo scritto ma, se osservo i
cartellini mi accorgo che i calcoli sono molto semplici….
8
22/12/2015
ESEMPI DI ATTIVITÀ
Scomponi dei numeri per costruirne altri
che sommati danno lo stesso risultato.
1. Usando la Banca dei numeri, costruisci questi tre numeri:
35
113
321
2. Dopo aver ricostruiti esegui la somma.
(Non c’è, in questo caso, nessun
passaggio di decina o di centinaio.)
“Annota sul tuo quaderno ciò che fai”
Oss: è questa una mediazione (da parte del
docente) che favorisce la costruzione di algoritmi
spontanei creando un collegamento diretto tra i
momenti di calcolo mentale di calcolo scritto
3. Ora scomponi i tuoi numeri e, utilizzando tutte le parti (tutti i cartellini),
componi altri numeri.
4. Fai ancora la somma. Cosa hai scoperto?
9
CONOSCENZE NUMERICHE, ALGORITMI E
AUTOMATISMI
È corretto nelle prime classi della scuola elementare dedicare così tanto tempo ed
energie all’insegnamento e apprendimento delle tecniche di calcolo?
Quali sono gli obiettivi e il senso di tale pratica?
Quali sono le finalità dell’insegnamento della matematica nella scuola di base?
Per l’alunno, le quattro operazioni scritte sono un apprendimento prioritario?
Quale relazione esiste tra l’insegnamento frontale delle tecniche di calcolo e lo
sviluppo delle conoscenze e competenze logico-matematiche dell’alunno?
Si tratta di competenze che gli allievi useranno veramente nel loro futuro
scolastico, professionale e sociale?
Quali ruoli di allievi e docenti in questo insegnamento?
Se il bambino deve essere l’artefice del proprio apprendere, come considerare
l’insegnamento degli algoritmi convenzionali, così come praticato nella stragrande
maggioranza delle scuole?
Le calcolatrici hanno, di fatto, scalzato la necessità di usare le operazioni scritte
ormai in via di completa estinzione nelle pratiche sociali quotidiane?
A chi e quando capita ancora, in un’intera vita di adulto, di dover fare, ad esempio,
una divisione del tipo 183,45 : 3,2, oppure una semplice moltiplicazione come 38 x
45?
1a fase:
Il riferimento essenziale consiste nella “Banca dei numeri”
Proporre situazioni numeriche che portino l’allievo al desiderio
di esplorare sempre più le sue competenze nel “Calcolo
mentale” e nell’usare, quando è il caso, l’annotazione scritta
come supporto (procedura di scomposizione)
Queste modalità portano alla costruzione di Algoritmi
personali o spontanei in cui il numero è trattato da sinistra a
destra
Tutte le attività matematiche sono costantemente alternate a
momenti di comunicazione e di validazione (l’insegnante non
prende posizione)
2a fase:
A questo punto tra tutti gli algoritmi proposti occorre scegliere
le procedure di calcolo più efficaci, più sicure, più comode
per arrivare ad una condivisione di classe (ad una sapere
valido per noi per il nostro gruppo)
Si tratta di una auto-istituzionalizzazione provvisoria, una
fase che permette sempre di confrontarsi intensamente con
le procedure che meglio contribuiscono al consolidamento
del calcolo mentale e delle conoscenze numeriche
Prima di introdurre gli algoritmi convenzionali è necessario
che gli allievi abbiano l’opportunità di acquisire padronanza
nella stima e nel controllo numerico (314+521 il risultato
deve essere per forza ottocento e qualcosa)
3a fase:
Dopo aver raggiunto la padronanza e dopo aver esteso il
campo numerico (oltre il 1000 e con il numero decimale) è
possibile decidere di insegnare gli algoritmi convenzionali
È necessario, a questo punto, che l’allievo possa gestire
alternativamente due modalità diverse nel trattare i numeri:
- da destra a sinistra quando applica le diverse
procedure delle operazioni convenzionali
- da sinistra a destra quando deve mantenere il
controllo numerico della situazione, calcolare oralmente o
mentalmente oppure stimare
L’insegnamento precoce delle operazioni scritte, in
2a e in 3a classe della scuola di base, è non solo
inopportuno rispetto agli obiettivi cognitivi degli
allievi, ma può addirittura avere degli effetti nefasti
Insegnando precocemente le operazioni scritte
convenzionali, l’insegnante rende le ore di
matematica uno dei più penetranti e occulti
strumenti di “normalizzazione”
Il seguente errore, peraltro ricorrente, mostra come l’allievo
ripetendo meccanicamente quanto gli è stato insegnato non
utilizza le sue capacità logiche e assoggettandosi all’insegnamento
perde la propria autonomia di pensiero
“4 meno 6 non lo posso
fare perché me lo ha
detto la maestra …
faccio 6 meno 4 … fa 2 …
1 meno 1 fa 0 e poi 1
Luca inverte l’ordine dei termini per rendere possibile l’operazione. Egli è
indotto in errore dal fatto che per anni gli è stato insegnato che 4 meno 6
non si può fare.
Lia perde il controllo della situazione numerica nel tentativo di applicare l’algoritmo
senza padroneggiarlo
“4 più 3 fa 7
4 più 8 … 12 … scrivo 2 e ritengo 1
4 più 1 … 5 e 1 di riporto che fanno 6
lascio un posto
9 più 3 … 12 … scrivo 2 e riporto 1
9 più 8 fanno 17 e 1 che fa 18 … scrivo
8
9 e 1 fanno 10 (si dimentica l’1) …
(continua con l’addizione ed esegue
l’ultima fase in modo corretto)
Qui siamo di fronte ad una macroscopica perdita di senso e di controllo della
situazione numerica. L’allieva mescola le procedure dell’addizione e della
moltiplicazione. Si sforza nel cercare di ricordare meccanicamente quanto le è
stato insegnato. Concentrata più sulla procedura che sul senso della situazione
numerica non vede che il risultato dovrebbe essere circa 300.
Siamo nell’ambito del calcolo mentale. Qui l’insegnamento delle operazioni scritte
convenzionali ha avuto delle immediate conseguenze molto gravi. Qualche
settimana prima Anna sapeva eseguire queste addizioni, ma, dopo le lezioni della
maestra, che aveva insegnato e preteso l’uso della procedura di calcolo, Anna ha
rinunciato (perché?) ad usare le proprie procedure per adottare, anche nel calcolo
mentale, la procedura del calcolo scritto.
700+24=940
“7+2…9, 4+0…4 e poi 0”
39+400=790
“3+4…7, 9+0…9 e poi 0”
900+72=620
“9+7…16 e scrivo 6,
2+0…2 e poi 0”
In un simile caso è necessario interrompere immediatamente l’insegnamento delle
operazioni scritte per evitare conseguenze ancora più disastrose.
“4 meno 6 non posso, allora presto
1 che fa 14
e…meno 6 fanno 8 …
aggiungo 1 che fa 2
e 11 meno 2 fanno 9 …
poi…1 meno 0 fa 1”
Maura ha appreso quasi correttamente la tecnica insegnata, però commette un
piccolo errore alla fine della procedura dimenticando che l’1 delle centinaia (10
decine) è già stato utilizzato precedentemente. L’esempio mostra che Maura non
si preoccupa assolutamente del controllo numerico che la porterebbe facilmente a
riconoscere che il risultato è impossibile. È così centrata nella procedura di calcolo
da perdere il controllo della situazione numerica che dovrebbe immediatamente
farle affermare che il risultato deve per forza essere inferiore a 100.
L’errore che segue mostra come l’allievo debole utilizza la tecnica del calcolo scritto
per operazioni che o dovrebbe fare solo mentalmente o non dovrebbe fare perché
fuori dal campo numerico di padronanza.
Con fierezza dice:”Adesso sono
capace di fare dei calcoli con dei
numeri grandi, guarda (scrive
200+200 in colonna)
0+0 … 0 (scrive 0)
0+0 … 0 (scrive 0)
2+2 … conta usando le dita 1, 2, 3,
4 …fa 4 (scrive 4)
Qual è il risultato?
Esita nel leggere il numero
L’esitazione nel leggere il risultato e la conta con le dita indicano chiaramente che
l’allievo opera al di fuori del campo numerico padroneggiato
1
3
Algoritmi
spontanei
Algoritmi
convenzionali
2
Algoritmi
“di classe”
Un diverso percorso nella progettazione
dell’apprendimento degli algoritmi
Rispettando quali tempi?
Operando con gli algoritmi spontanei si manifestano le seguenti particolarità:
•300x3 … 900
•20x3 … 60
•3x4 … 12
Addiziona i risultati
parziali ottenuti
Trattando i numeri da sinistra a destra l’allievo non perde mai il controllo numerico
•355 – 100 = 255
•255 – 20 = 235
•235 – 4 = 231
Esercita e sviluppa sempre più le conoscenze-competenze nel calcolo mentale
•263 + 100 … 363
•+ 20 … 383
•+ 8 … 391
Opera soltanto entro il campo numerico di sua padronanza (non gli è possibile
andare oltre senza costruirne l’estensione)
Sa sempre spiegare la procedura utilizzata perché è frutto delle sue
conoscenze
Il linguaggio interiore utilizzato si organizza e nel contempo rinforza le
sue competenze sul valore posizionale (che diventa la conoscenza
essenziale, costantemente sollecitata)
•Meno 200
•più 1
È valorizzata la sua autonomia e la capacità di ricercare e scoprire soluzioni
Confronta le sue procedure con quelle dei compagni instaurando dei dibattiti sulla
validità matematica delle procedure create
•
1.
2.
3.
•
Osservate come Daniele, nel cercare di risolvere la
situazione numerica 252 : 4, struttura in tre
momenti la ricerca della soluzione.
In un primo momento procede alla scomposizione
dei numeri come fa con l’addizione. Si accorge però
della difficoltà di fare 250:4 e 2:4, per cui cambia
procedura.
Mette allora in atto a tappe la procedura
moltiplicativa fino ad avvicinarsi il più possibile al
252 (4x60=240)
A questo punto scompone il 252 in 240 e 12,
numeri che gli consentono di dividere per 4 e in
questo modo trova la soluzione
In questo esempio è evidente il monitoraggio messo
in atto da Daniele sul proprio operare: il controllo
esecutivo è costantemente guidato dalle conoscenze
numeriche di cui dispone in quel momento e dal
senso delle operazioni: moltiplicazione come inverso
della divisione e conoscenza implicita della proprietà
dissociativa:
252:4=(240:4)+(12:4)
Riesce a monitorare, modificare e mantenere il
controllo esecutivo della procedura e della situazione
numerica
Si rende conto immediatamente degli ostacoli
(errori) appena questi si manifestano
È costantemente nell’attività logico matematica in
un ruolo attivo costruttore del proprio “impressionante
edificio cognitivo” (Vergnaud), ragiona sulle sue scelte
e prende le decisioni adeguate nel limite delle sue
attuali competenze matematiche.
IL GIOCO DELLE FAMIGLIE
cognitivo
e
metacognitivo
Premessa:
Chi utilizza l'approccio e i materiali Dimat, è tenuto a proporre alla classe dei momenti di lavoro
e riflessione (lezioni, attività, giochi,..) sulle "famiglie di calcoli".
In assenza di questi momenti, una gran parte dei materiali Dimat (relativi soprattutto ai calcoli
mentali e orali) risulterebbe per gli allievi di difficile comprensione.
In relazione al "calcolare", rispetto alle consuete scelte didattiche (in cui si mira essenzialmente alla
ricerca del risultato) sono state operate delle "ROTTURE di CONTRATTO".
In particolare prendiamo in considerazione:
- gli obiettivi cognitivi
calcolo mentale, orale e operazioni scritte
- gli obiettivi metacognitivi
- le diverse procedure messe in atto
- le scelte didattiche dell'insegnante
Esempio:
1.Ritaglia tutti i rettangoli contenenti le
addizioni.
2.Ordina le addizioni dalla più facile alla più
difficile, senza calcolare i risultati.
3.Risolvi ora tutte le addizioni, iniziando dalla
più facile.
Se necessario, modifica l’ordine nel quale hai messo
le addizioni.
4.Ricerca altre “famiglie” da inserire nella tua
lista.
5.Confronta il tuo lavoro …
6.… (altre consegne possibili) ………
30 + 40 =
50 + 70 =
43 + 20 =
7+3=
33 + 47 =
27 + 35 =
52 + 5 =
5+2=
70 + 30 =
8+5
30 + 5
3+7
60 + 8
5+4
20 + 7
40 + 50
70 — 5
30 + 20
60 — 8
10 + 70
20 — 6
8+5=
3+5=
9+7=
6+1=
6+6=
4+3=
8+2=
32 + 5
3+7=
41 + 4
4+6=
36 + 3
5+4
5+4
6+4
8+7
3+5=
3+7=
3+8=
6+2=
6+4=
6+6=
2+7=
2+8=
5+7=
1+6=
1+9=
9+6=
2+7=
5+5=
7+7=
2+2=
ecc...
9+2=
3+2=
5+8=
5+3=
5+9=
1+8=
9+9=
4+4=
4+7=
1+1=
9+3=
ecc...
ecc...
"Gioco delle famiglie" (per i docenti del corso)
1. Dapprima risolvi le sei
addizioni.
2. Ora, queste addizioni
appartengono
a
due
"famiglie" diverse. Quali
appartengono ad una
"famiglia"
e
quali
all'altra?
3. Cosa hanno di simile e
cosa hanno di diverso
queste due "famiglie"?
534 + 193 =
232 + 627 =
541 + 131 =
376 + 452 =
661 + 258 =
384 + 412 =
Dopo gli esempi e la riflessione che abbiamo fatto sulle “famiglie”, potrebbe essere
interessante proporre alla classe
un’ attività
di ricerca e di scoperta a coppie o a gruppetti.
“Cercate delle famiglie di
addizioni entro il 100.”
Esempi:
52 + 8 =
36 + 3 =
30 + 70 =
20 + 30 =
46 + 54 =
24 + 8 =
ecc...
Vincolo
I risultati
non possono
superare il 100
Osservazione:
Nelle prime settimane di 3a, attraverso questa attività di ricerca, avete la possibilità
di osservare e verificare il grado di padronanza di vostri allievi nel campo dei primi
100 numeri.
Annotazione:
Diverse sono le possibilità pratiche di proporre e di svolgere questa attività di ricerca per cui
proponiamo un momento di discussione a gruppetti, tra docenti, per analizzare le variabili e i
vincoli da mettere in gioco (sia da un punto di vista cognitivo che socio-affettivo).
Il lavoro è fatto al meglio quando riusciamo a definire in modo esatto le consegne e le procedure che
proponiamo alla classe. In qualunque caso l’attività che proponiamo agli allievi deve poter rispondere ad
interrogativi di questo genere:
- Quale il senso di questo lavoro? (cognitivo, metacognitivo, socio-affettivo)
- Come desideriamo che lavori il gruppo di allievi?
- Quali i momenti collettivi e quali i momenti individuali? Come stimolare o “vincolare” gli uni e
gli altri?
- Deve correggere l’insegnante?
- Che ruolo ha il docente durante il lavoro a gruppi?
- Prende posizione di fronte ad eventuali errori? Perché?
- ecc...
Gli allievi devono poter produrre un materiale (traccia del loro lavoro) nel quale appaiono le diverse
famiglie “scoperte”.
I lavori dei gruppi vengono poi messi in comune per una discussione e un bilancio finale:
comunicazione e validazione da parte dei singoli gruppi (sono delle importanti “lezioni di sintesi”)
ESEMPIO: ECCO DEI FOGLI (DA ME TRASCRITTI) CHE HANNO PREPARATO ALCUNI
ALLIEVI DI UNA CLASSE.
Seguono
altri
quattro
fogli, con altre “famiglie”.
Alla sera ogni membro del
gruppo si è portato a casa
un paio di fogli ed ha
aggiunto
un
po’
di
addizioni che sono poi
state
controllate
dai
compagni il giorno dopo.
In
un
altro
gruppo,
ognuno ha ricopiato su un
foglio i titoli delle famiglie
e a casa ha dovuto
pensare ad almeno due
nuovi membri. Il giorno
dopo hanno aggiunto ai
fogli i “nuovi arrivati.”
52 + 8
36 + 3
20 + 8
30 + 70
52 + 8 = 60
4 + 36 = 40
59 + 1 = 60
5 + 25 = 30
...
46 + 2 = 48
54 + 3 = 57
72 + 7 = 79
12 + 6 = ...
...
30 + 2 = ...
5 + 60 = ...
7 + 70 = ...
...
50 + 50 = 100
40 + 60 = 100
90 + 10 = 100
...
20 + 30
46 + 54
30 + 26
24 + 8
20 + 50 = ...
40 + 40 = ...
30 + 60 = ...
...
52 + 48 = 100
14 + 86 = 100
59 + 41 = 100
58 + 42 = 100
...
20 + 56 = ...
40 + 23 = ...
30 + 51 = ...
...
28 + 9 = ...
45 + 6 = ...
37 + 5 = ...
...
Esempio
“Da un’attività collettiva a un materiale di ripresa.”
23+5
30+50
4+3
41+36
Quali variabili entrano in gioco?
- “Distanza” tra le famiglie.
- Controllo (correzione a coppie, autocorrettivo, ...)
-
ecc. ............... . . . .
.
Per finire facciamo un gioco:
50+40= …
70+60= …
30+70= …
Questi calcoli appartengono a famiglie diverse, voi fate
delle squadre e vediamo chi riesce a trovare in 5 minuti il
maggior numero di calcoli che appartengono alla stessa
famiglia.
Con i bambini si può anche dare una sola famiglia per volta