Che cosa sono?
Università della LiberEtà
Giuseppina Trifiletti
Le equazioni incontrate nel problema cinese
della lezione precedente, sono equazioni
diofantee, 6 equazioni delle quali si dovevano
trovare le soluzioni comuni.
PROBLEMA 1
Al cinema ITRENI gli uomini entrano pagando
8€, le donne con 4€. Sapendo che l’incasso è
stato di 130 euro, quanti uomini e quante donne
sono entrate?
La seguente è l’equazione DIOFANTEA del
problema. Ha soluzioni?
4 D  8U  130
PROBLEMA 2
Al cinema ITRENI gli uomini (U) entrano
pagando 8 euro, le donne (D) con 4€ e i
bambini (B) 2€. Sapendo che in tutto le
persone sono 26 e che l’incasso è stato di 144
euro, quanti uomini, quante donne e quanti
bambini sono entrati?
4 D  8U  2 B  144
 D  U  B  26

Ha soluzioni?
PROBLEMA 3
All'ultimo
salone
francese del
rompicapo
matematico, 100 giovani visitatori hanno speso
2000 franchi.
Ogni liceale ha speso 100 franchi, ogni studente
di scuola media ha speso 20 franchi e ogni
scolaro di scuola elementare 5 franchi.
Trova il numero degli scolari di scuola
elementare, degli studenti delle medie e dei
liceali.
vedi soluzione problema 3
Soluzione problema 3
Indichiamo con
x, y, z il numero di studenti
rispettivamente della scuola
elementare, media, superiore.
 x  y  z  100
5 x  20y  100z  2000

Da cui si ottiene l’equazione diofantea
3 y  19 z  300
Le soluzioni devono essere numeri interi.
Per ragioni di divisibilità per 3, z deve essere un multiplo di 3 al più
uguale a 15 (essendo 18x19>300) otteniamo così 5 soluzioni
x = num. scolari elementari
Y = num. studenti medie
Z = num. studenti superiori
16
81
3
32
48
62
43
6
9
64
80
24
5
12
15
l’equazione di Diofanto
il caso più semplice
ax  by  c
a ,b ,c sono numeri int eri
x , y sono numeri int eri
l’equazione può non avere soluzioni, può averne
un numero finito o un numero infinito.
Ammette almeno una soluzione se e soltanto se c
è multiplo del MCD(a,b)
Torna all’inizio
Diofanto
Diofanto di Alessandria è noto come il padre
dell’algebra. Della sua vita si sa ben poco; non
sappiamo neppure il secolo in cui è vissuto,
probabilmente tra il 150 ed il 250 d.C. Alcuni
ritengono che sia stato l'ultimo dei grandi
matematici greco-ellenistici.
Diofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e
sulle frazioni, ma la sua opera principale è
l'Arithmetica, trattato in tredici volumi dei quali
soltanto sei sono giunti fino a noi. La sua fama è
principalmente legata a due argomenti: le
equazioni
indeterminate
ed
il
simbolismo
matematico.
TEOREMA: data l’equazione ax  by  c
l’equazione ammette una soluzione se e
soltanto se c è multiplo del MCD(a,b)
L’equazione del problema 1: 4D  8U  130
(D=x, U=y), non ammette soluzioni, infatti
a=4, b=8, MCD(4,8)=4, c=130 non è multiplo di 4
4D  8U  160
ammette invece soluzioni intere, infatti
a=4, b=8, MCD(4,8)=4, c=160 è multiplo di 4
clicca qui se vuoi saltare la dimostrazione e andare alla conclusione
PRIMA PARTE: data l’equazione
IPOTESI: si sa che c=d.q,
cioè si sa che c è multiplo
del MCD
ax  by  c
TESI: allora esiste
almeno
una
soluzione intera
DIMOSTRAZIONE
Per l’algoritmo di Euclide, esistono due numeri interi, k
e l, tali che la coppia (k,l) verifica la seguente uguaglianza
Ricorda che d  MCD( a ,b )
ak  bl  d
Se c=d.q, l’equazione
la soluzione particolare
ax+by=c
ammette
(x0=kq, y0=lq)
infatti se moltiplico per q da ambedue le parti
ottengo
cioè
akq  blq  dq
ax0  by0  c
come volevasi
dimostrare
SECONDA PARTE: viceversa … scambio ipotesi e tesi
IPOTESI: si sa che l’equazione ax + by = c
ammette una soluzione intera (x0,y0)
TESI: allora c deve essere multiplo di d
DIMOSTRAZIONE
a  n1d
b  n2 d
Ricorda! d  MCD( a , b )
n d x  n d  y  c  n x  n y d  c
n x  n y   q dove q è un numero intero
1
0
1
2
0
0
2
1
0
0
Quindi
c = q.d
cioè c è multiplo di d
come volevasi dimostrare
2
0
IN CONCLUSIONE
ax  by  c
(1)
l’equazione (1) ammette una soluzione se e soltanto
se c è multiplo del MCD(a,b).
Se c è multiplo del MCD(a,b) si può trovare
inizialmente una soluzione particolare dell’equazione
(1) che chiamiamo (x0,y0),
tutte le altre si trovano con le seguenti formule
ra
rb
y  y0 
x  x0 
MCDab
MCDab
r numero
intero
qualunque
Perché?
clicca qui se vuoi saltare il perché e fare solo gli esercizi
Perché questo
sistema
rappresenta tutte
le soluzioni?
1. rb/d
ed
ra/d
rb

 x  x0  d
(2) 
y  y 0  ra

d
Le (2)
soddisfano
l’equazione (1)
dato che è vera
l’uguaglianza
ax0+by0=c
sono numeri interi
2. x e y soddisfano l’equazione (1), infatti basta
sostituire nell’equazione a x e y le (2)
(1)
ax  by  c
rb 
ra 


a x0 
  b y0 
  c
d 
d 


ax0 
rab
rab
 by0 
c
d
d

ax0  by0  c
Ma perché
solo le (2)
soddisfano
l’equazione
(1)?
Risolvere la seguente equazione diofantea
Soluzioni intere (anche negative quindi)
3 x  4 y  29
MCD( 3 ,4 )  1
3( 1 )  4( 1 )  1
c  29  1  29
Una soluzione particolare è (-29,-29), cioè x0=-29, y0=-29
Utilizzando le seguenti formule si ottengono le infinite
soluzioni :
rb
x  x0 
MCDab 
ra
y  y0 
MCD ab 
Una soluzione generica è (-29-4r,-29-3r)
con r numero intero qualsiasi
Risolvere la seguente equazione diofantea
Soluzioni intere (anche negative quindi)
15 x  20 y  30
a  15
MCD(15 ,20 )  5  (15 ,20 )
b  20
c  30  5  6
15( 3 )  20( 2 )  5
Una soluzione particolare è (18,12)
rb
x  x0 
ab 
x  18 
r ( 20 )
5
y  y0 
ra
ab 
r 15 
y  12 
5
Una soluzione generica è (18-4r,12-3r)
PROBLEMA 2
Al cinema ITRENI gli uomini (U) entrano
pagando 8 euro, le donne (D) con 4€ e i
bambini (B) 2€. Sapendo che in tutto le
persone sono 26 e che l’incasso è stato di 144
euro, quanti uomini, quante donne e quanti
bambini sono entrati?
4 D  8U  2 B  144
 D  U  B  26

Soluzione particolare dell’equazione del probl. 2
2U  B  20
MCD( 2 ,1 )  1
2 1  1  1
U  20

 B  20

 D  U  B  26
U  20

 B  20

 D  14
non
accettabile
per il
problema
Soluzione generale dell’equazione
U  20  r

D  20  R  20  2R  26
 B  20  2 r

 D  U  B  26
U  20  r

 B  20  2 r

 D  14  3 r
Ma per il problema…deve essere
N.B.
D  0

U  0

B  0
quindi
20  r  0

20  2 r  0

 14  3 r  0

r  20

r  10

14
r



3
soluzioni del problema: numeri interi positivi

r  20

r  10

14
r



3
r  5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10
14/3
10
U  20  r

 B  20  2 r

 D  14  3 r
20
r
U  15
r  5   
 B  10

D  1
U  14
r  6   
B  8

D  4
U  13
r  7   
B  6

D  7
U  12
r  8   
B  4

 D  10
U  11
r  9   
B  2

 D  13
U  10
r  10   
B  0

 D  16
SPUNTI TRATTI
• da vari siti internet
• dal testo
CHE COSA è LA MATEMATICA, di
Courant
e
Robbins,
Universale
Scientifica Boringhieri
• da personali riflessioni