Giuseppina Trifiletti
IL CASO PIÙ SEMPLICE
ax  by  c
a ,b ,c sono numeri int eri
x , y sono numeri int eri
l’equazione può non avere soluzioni, può averne
un numero finito o un numero infinito.
Ammette almeno una soluzione se e soltanto se c
è multiplo del MCD(a,b)
PROBLEMA 3
All'ultimo
salone
francese del
rompicapo
matematico, 100 giovani visitatori hanno speso
2000 franchi.
Ogni liceale ha speso 100 franchi, ogni studente
di scuola media ha speso 20 franchi e ogni
scolaro di scuola elementare 5 franchi.
Trova il numero degli scolari di scuola
elementare, degli studenti delle medie e dei
liceali.
Indichiamo con x, y, z
il numero di studenti rispettivamente
scuola elementare, media, superiore.
 x  y  z  100
5 x  20 y  100 z  2000

da cui si ottiene l’equazione diofantea
3 y  19 z  300
della
3 y  19 z  300
3 y  19 z  300
Le soluzioni devono essere numeri interi positivi (si suppone
che alla mostra erano presenti allievi dalle elementari alle
superiori, escludiamo quindi lo 0.
Per ragioni di divisibilità per 3, z deve essere un multiplo di 3
minore o uguale a 15 (essendo 18x19>300) otteniamo così 5
soluzioni
x = num. scolari elementari
Y = num. studenti medie
Z = num. studenti superiori
16
32
81
62
3
6
48
64
80
43
24
5
9
12
15
Come possiamo trovare le stesse
soluzioni utilizzando il teorema
sulle equazioni diofantee?
3 y  19 z  300
 x  y  z  100

Soluzione
particolare
dell’equazione
 x  1600

 y  1800

 z  300
non accettabile
Soluzione generale dell’equazione
 y  1800  19 r

 z  300  3 r

 x  y  z  100
x  1800  19 r   300  3 r   100
 y  1800  19 r

 z  300  3 r

 x  1600  16 r
Ma per il problema x, y, z devono essere interi e positivi
x  0

N.B.  y  0

z  0
1600  16 r  0

 1800  19 r  0

300  3 r  0
1800

r 

19

r  100
soluzioni del problema
r  95 ,96 ,97 ,98 ,99 ,100
94
1800/19
 x  1600  16 r

 y  1800  19 r
 z  300  3 r
95
100
r
 x  80
r  95    y  5

 z  15
 x  64
r  96    y  24

 z  12
 x  48
r  97    y  43
 z  9
 x  32
r  98    y  62
 z  6
 x  16
r  99    y  81

z  3
x  0
r  100    y  100
 z  0
*
rb
ra
x  x0 
y  y0 
MCD ab 
MCD ab 
r numero
intero
qualunque
Perché siamo certi che le formule * sono le
soluzioni di un’equazione diofantea di primo grado
nelle due variabili x,y (N.B. x0,y0 è una soluzione
particolare dell’equazione)? Per accertarsi di questo
basta sostituire le formule nell’equazione ax+by=c
e si ottiene un’uguaglianza vera.
Perché siamo certi che non ce ne sono altre?
(x, y) soluzione generica e (x0y0) soluzione particolare,
quindi è vero che
ax  by  c
segue
ax0  by0  c
e anche
a  x  x0   b y  y0   0
x  x0
b

y  y0
a
 x  x0  kb
 y  y  ka

0
 x  x0  kb
 y  y  ka

0
k è una costante e può anche non essere un
numero intero,
ma deve essere k=r/MCD(a,b), dato che ka e kb
devono essere numeri interi
x  x0
b

y  y0
a
x  x0  kb
e
y  y0   ka
x 2
x e y possono essere

y 3
x  4 , x  6 , x  1 ,..., x  2 k
3
y  6 , y  9 , y  ,..., y  3 k
2
Esempio, se
k è una costante e può anche non essere un numero intero,
nell’esempio, anche x e y possono non essere numeri interi,
ma, nel nostro caso, le soluzioni (x,y) devono essere interi,
quindi deve essere k=r/MCD(a,b) - dove r è un numero intero
qualunque - dato che ka e kb devono essere numeri interi.
le formule delle soluzioni si possono semplificare
*
rb
ra
x  x0 
y  y0 
MCD ab 
MCD ab 
r numero
intero
qualunque
Le formule * si possono semplificare, se
nell’equazione iniziale ax+by=c si divide a, b e c
per il MCD(a,b). In questo caso l’equazione e le
formule, dopo la semplificazione, diventano
a xb y c
'
x  x0  rb'
'
'
y  y0  ra'
SOLUZIONI IN
ax  by  c
a , b , c sono numeri
x , y sono numeri
R
reali
reali
Se a e b NON sono CONTEMPORANEAMENTE NULLI
l’equazione ammette INFINITE SOLUZIONI che sono coppie di
numeri reali, ma non sono tutte le coppie di numeri reali
(graficamente, sul piano, le soluzioni dell’equazione sono tutti i
punti di una retta)
Se a e b sono CONTEMPORANEAMENTE NULLI allora, se
anche c vale 0, e cioè si ottiene 0=0, le soluzioni sono tutte le
coppie di numeri reali (graficamente sono tutti i punti del
piano).
Se invece c non è 0 allora l’equazione non ammette soluzioni,
perché si ottiene l’uguaglianza falsa c=0 (graficamente neanche
un punto del piano).