Matematiche elementari da un punto di vista superiore
Io e i Numeri
Sintesi dei lavori
Galimberti Alessandra
II anno Scienze della Formazione
Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano
Contenuti
I numeri oggi (spunto didattico)
Richiami e approfondimenti sull’evoluzione dei numeri
I numeri cinesi
La scuola finlandese vincitrice secondo il rapporto OCSE
Modalità
Lettura del libro Luisa Girelli “Noi e i numeri”
Lettura dei rapporti OCSE di PISA e dei relativi articoli
Condivisione delle impressioni personali
Ricerche di approfondimento su WEB
I numeri…..
un percorso affascinante verso un mondo forse ancora poco
conosciuto………
I numeri nella nostra vita
(Spunto didattico)
Dove sono i numeri oggi?...un
semplice esercizio da fare ai
bambini per stimolare la loro
Osservazione e capacità di
classificazione su categorie
concettuali.
Per poi suscitare curiosità
Verso la storia e
fare lezioni sulla loro storia
storia….
Codificare
….
Matricola
Conto corrente
Targa automobile
…
Classificare
Azioni/effetti
Cellulare
Telecomando
Telefono
…
Ordinare
Numeri civici
Calendario
Pagine di un libro
…
Contare
Soldi
Tempo
…
Che percorso ha permesso tutto questo?
E’ una lunga storia a partire dalla nostra innata capacità di contare...
LA NASCITA DEL CONTARE…INNATA
Osso di Ishango
Scoperto nel 1960 dal belga Jean de Heinzelin de Braucourt durante una
campagna esplorazione vicino Ishango vicino al confine tra l'Uganda e il Congo. La
popolazione che nel 20.000 a.C. abitava le rive del lago potrebbe essere stata tra
le prime a utilizzare i numeri per contare; purtroppo questa società durò poche
centinaia di anni perché fu distrutta da un'eruzione vulcanica
Colonna centrale inizia con tre tacche (leggendo da destra
verso sinistra) e subito 6 tacche (il doppio). Lo stesso per il 4,
seguito da 8. Poi inverte il sistema 10 seguito dal 5. Questi
numeri, quindi, non sonocasuali, ma suggeriscono una
qualche comprensione della moltiplicazione e divisione per
2. L'osso può essere stato utilizzato come uno strumento di
"calcolo" per semplici procedure matematiche
Le tacche su entrambi i lati della colonna centrale parrebbero indicare una maggiore capacita di "calcolo". Su
entrambe le colonne di destra e sinistra sono tutti dispari (9, 11, 13, 17, 19 e 21).
nella colonna sinistra sono tutti numeri primi compresi tra 10 e 20
sulla colonna destra sono composti nella maniera 10 + 1, 10 - 1, 20 + 1 e 20 - 1.
Se si sommano i numeri presenti sulle colonne esterne possiamo ottenere i totali 60 e 48 nella colonna centrale,
entrambi divisibili per 12; si ritrovano ancora i concetti di moltiplicazione e divisione
LA NASCITA DEL CONTARE….INNATA
Osso di Lartet
Un osso istoriato di tacche trasversali e da incisioni di
forma circolare proviene da Abri Lartet, regione di
Les Eyzies de Tayac sita nel Perigord francese.
Questo oggetto, appartenente al Periodo
Aurignaziano (30.000 a.C.), presenta serie di incisioni
di 29 e 30 segni abbinate a cinque gruppi di tacche.
I segni circolari sembrerebbero, anche in questo
caso, avere la forma delle varie fasi lunari, riprodotte
con la medesima sequenza che appaiono nella realtà.
Secondo gli studiosi il conteggio delle lunazioni su
questo oggetto venne fatto più volte e
rappresenterebbe i giorni contenuti in un mese
sinodico.
I GETTONI DEI SUMERI
Le somme e sottrazioni venivano
eseguite aggiungendo o togliendo
gettoni, la moltiplicazione veniva
eseguita come somma ripetuta
(per esempio per moltiplicare 27
per 5 si sommava 27 cinque volte)
e la divisione si effettuava tramite
"spicciolature" successive e
suddivisione in mucchietti
La numerazione è additiva, cioè i numeri venivano scritti disponendo uno accanto all'altro i simboli
fondamentali occorrenti. Come si vede un ruolo speciale spetta, accanto al 10, al numero 60.
le somme e sottrazioni venivano eseguite in modo ovvio e cioè aggiungendo o togliendo gettoni (nel caso
della sottrazione poteva essere necessario prima “spicciolare” un gettone di valore maggiore in
gettoni di valore minore, come facciamo con le monete); la moltiplicazione veniva eseguita tramite
somme ripetute (ad esempio per moltiplicare 123 per 32, si sommava il 123 per 32 volte); ed infine
anche la divisione si poteva effettuare, tramite "spicciolature" successive e divisione in
mucchietti. Per esempio per fare 60: 3 bisognava “spicciolare” un grosso cono da 60 in 6 bilie da
dieci che si potevano dividere in 3 mucchietti uguali, ognuno contenente 2 bilie, da cui si ricavava
che 60:3 = 20 .
I GETTONI DEI SUMERI Esempio di divisione
LA NUMERAZIONE BABILONESE
il passaggio
successivo
fu quello di
utilizzare,
invece dei gettoni,
delle tavolette di argilla su cui
venivano disegnate le forme dei
gettoni stessi, ottenendo così una
delle più antiche forme di
"scrittura dei numeri", con la
nascita di vere e proprie "cifre"
scritte, come simboli numerici.
Questo metodo di scrittura
cambiò successivamente sotto i
Babilonesi, che adottarono invece
una più evoluta scrittura
cuneiforme, sempre su tavolette
d'argilla, nella quale il valore dei
simboli è posizionale, come nella
nostra scrittura, ma in base 60
(con base ausiliaria 10). La
mancanza dello zero portava a
rischi di ambiguità.
LA NUMERAZIONE GRECA
sistema erodianico
Il più antico
Questo sistema di scritture è additivo, in quanto più
simboli l'uno accanto all'altro significano la somma dei
loro singoli valori, ma anche moltiplicativo, in quanto
un simbolo sotto un altro indica il prodotto dei due
45.678
sistema ionico
i numeri da uno a quattro erano rappresentati da trattini
verticali ripetuti. Per il numero cinque si adottava un nuovo
simbolo: la prima lettera (o ) della parola cinque, pente.
Vi erano poi altri simboli per il dieci e le sue potenze come si
vede nel seguente semplice schema riassuntivo
V secolo a.C. (anche se c'è chi ipotizza risalga all'VIII secolo a.C.).
Maiuscole
Minuscole
LA NUMERAZIONE GRECA
sistema ionico
I caratteri speciali
utilizza sempre le lettere dell'alfabeto:
nove per i numeri interi inferiori a 10,
nove per i multipli di 10 inferiori a 100, e
nove per i multipli di 100 inferiori a 1000.
L'alfabeto greco dell'Età classica contiene soltanto ventiquattro lettere; pertanto si
dovette far uso di un alfabeto più antico che comprendeva tre lettere arcaiche
addizionali, (vau o digamma o stigma), (coppa) e (sampi), in modo da stabilire
la seguente associazione di lettere e numeri:
Per i primi nove multipli di mille, ricorreva alle prime nove lettere dell'alfabeto; ciò
rappresentava un uso parziale del principio di posizione. Ma per maggiore chiarezza
queste lettere erano fatte precedere da un trattino o apice in basso (o iota):
L'uso delle stesse lettere per indicare le migliaia e le unità avrebbe dovuto indurre i greci a fare il
passo definitivo verso il principio di posizione dell'aritmetica decimale; non sembra, però, che essi si
rendessero conto dei vantaggi offerti da tale innovazione. Questo sistema, rimane a tutti gli effetti un
sistema non posizionale
LA NOTAZIONE POSIZIONALE IN BASE 10
I primi esempi noti di una
scrittura numerica basata
sui seguenti elementi:
notazione posizionale,
base dieci,
Manoscritto indiano del Vi secolo
presenza dello zero,
nove simboli (cifre) oltre lo zero
risalgono al V secolo d.C. (nel trattato indiano di cosmologia Lokavibhaga, 485
d.C.); questo metodo si diffuse piuttosto rapidamente in India e in Indocina, come è
confermato dai documenti che testimoniano l'uso di tale cifre per eseguire i conti,
già nel secolo successivo.
Nel 773, arrivò a Bagdad un'ambasciata indiana con un omaggio per il califfo
Mansour ed ai suoi saggi: il calcolo e le cifre. Muhammad ibn Musa al-Khuwârizmi
scrisse il primo testo in lingua araba presentando la numerazione indiana
posizionale nel IX secolo (dal suo nome deriva la parola "algoritmo").
Nel X secolo, il monaco francese Gerbert d'Aurillac apprese il nuovo metodo dai
Mori di Spagna e iniziò a introdurlo in occidente, specialmente dopo esser divenuto
Papa nel 999, col nome di Silvestro II.
Le tracce di uso della numerazione indo-araba in Europa sono comunque scarse fino
al XIII secolo, quando il matematico pisano Leonardo Fibonacci (che aveva viaggiato
molto fra gli arabi) scrisse il Liber Abaci, che illustra il sistema posizionale ed il suo
uso, e che fu il testo che più contribuì alla sua introduzione sistematica in Europa
L’ABACO
Esemplare di
antico Abaco
romano, in
metallo con
palline
scorrevoli in
scanalature
una tavola divisa in sezioni che rappresentano unità,
decine, centinaia, ecc. (come le cifre nel nostro sistema
posizionale). In tali sezioni si posano dei gettoni con cui
eseguire i conteggi; in questo caso i gettoni non hanno
un valore assegnato, essi indicano sempre una unità del
tipo indicato dalla colonna in cui si trovano.
Strumento per "far di conto" che ebbe la
vita più lunga nel continente europeo (e
anche altrove, con forme diverse) fu
l'Abaco.
usato prima dai Greci poi dai Romani
rimase in uso in Europa fino quasi al
1700 e oltre.
La parola stessa "calcolo" viene dal latino
"calculus" = sassolino, nome usato per i
gettoni dell'abaco.
Versione
semplice e
Versione
modificata
LA NUMERAZIONE CINESE
Antichità
Gli antichi cinesi avevano sviluppate notazioni basate su corde e nodi, nodi bianchi per i numeri
dispari, richiamanti le giornate, nodi neri per i pari, assegnati alle notti.
Ci sono poi i cosiddetti "numeri-bacchetta" o "numeri-asta" per il lavoro matematico-scientifico,
usati dal II secolo a.C. Venivano usate bacchette rosse e nere che rappresentavano numeri positivi
e negativi (e per questo motivo la matematica cinese è stata una delle prime ad elaborare motivi
algebrici e forse ad influenzare in questo l'India).
A partire dal III secolo a.C. circa, i Cinesi cominciano a usare 13 segni.
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-100-1000-10000
Verso il moderno
Numeri
1 2
3
4
5
6
7
8
9
六
七
八
wǔ liù
qī
bā
Carattere 一 二 三
四 五
Pronuncia Yī èr Sān
sì
10
20
100 1000
10000
九 十
二十
百
万
jiǔ shí
èrshí
bai qian
千
Wàn
LA NUMERAZIONE CINESE
79.564
qi wan jiu qian wu bai liù shi sì = (7x10.000)+(9x1000)+(5x100)+(6x10)+4
487.390.629
sì wan wan ba qian wan qi bai wan san shì wan jiu wan liù bai er shì jiu
(4x10.000x10.000)+(8x1000x10.000)+
(7x100x10.000)+(3x10x10.000)+(9x10.000)+(6x100)+(2x10)+9
Ho letto dell’esistenza di modi più economici ma anche più ambigui di rappresentazione
che non approfondisco
LA NOTAZIONE ATTUALE
I caratteri normali compaiono nella vita di tutti i
giorni, sono quelli insegnati alla scuola elementare.
Esistono anche delle versioni dette guanzi (“cifre
ufficiali”) usate per atti pubblici di acquisto e vendita,
o per scrivere gli importi degli assegni.
Sono più elaborate, e sono usate allo scopo di evitare
frodi (da questo la descrizione “cifre finanziarie”).
In alcune cifre finanziarie vengono riportate 2 versioni:
tradizionale (T) e semplificata (S)
tale differenza nasce durante la rivoluzione maoista, in
cui è stata creata una commissione che semplificasse
per quanto possibile i caratteri cinesi
Attualmente la versione semplificata è quella usata in
Cina, mentre a Taiwan si usa la versione tradizionale
Figura 6: Cifre cinesi usate normalmente e in ambito finanziario (T=versione
tradizionale, S=versione semplificata)
LO ZERO CINESE
Sun Tzu Suan Ching (“Sun Tzu’s ClassicCalculation”) scritto da Sun Tzu e datato dal V al III secolo a.C.
si parla dell’importanza di conoscere le posizioni e la struttura dei numeri.
Fino all’VIII secolo d.C., lo zero non era indicato da un simbolo, ma la sua posizione veniva lasciata
vuota.
Manoscritti Thang delle grotte-tempio di Tunhuang nel rotolo intitolato “Li-Cheng Suan Ching”
vi sono tabelle moltiplicative dove ad esempio il 405 è rappresentato con un 4 e un 5 separati da uno
spazio.
Il simbolo dello zero appare per la prima volta stampato nel Su Chiu Chang di Chin Chiu-Shao (1247)
si ritiene che possa essere stato usato da un secolo almeno, e l’uso potrebbe essere stato importato
dall’India, ma non vi sono prove.
Attualmente lo zero viene indicato come (ling)
Originariamente indicava le goccioline di pioggia all’esaurirsi della tempesta, o le goccioline che
rimangono sugli oggetti in seguito indicò “quello che resta”
Nel rappresentare numeri come 105, l’idea era di avere 100, più quello che resta, ovvero altri 5
Lo zero, come cerchio vuoto, somiglia a una gocciolina d’acqua, per cui veniva chiamato ling.
CONCLUSIONI
La rappresentazione dei numeri cinese ha una storia, plurimillenaria
Alcuni elementi caratterizzanti sono rimasti costanti nel tempo, come :
- la base decimale
- il sistema posizionale.
Nella civiltà cinese sono emerse parecchie idee interessanti in maniera in
alcuni casi sicuramente indipendente, in altri, come nell’introduzione dello zero,
non del tutto indipendente, ma comunque lo spirito matematico di tale civiltà è
stato ben presente fin dalle origini.
LA SCUOLA IN FINLANDIA. MOTIVI DI SUCCESSO
Secondo il rapporto OCSE di Pisa
2006, la Finlandia si pone al primo
posto sui test che dovevano
riscontrare le conoscenze dei ragazzi
e la loro capacità di comprensione
La ricerca compiuta ha messo in luce come il successo
sia l’esito di uno sforzo organizzativo globale che ha
saputo portare ottimi benefici sui diversi aspetti
(finanziamenti, struttura, formazione docenza,
programmi ecc ) del mondo scuola e incentivare
l’interesse dei ragazzi.
Nella pagine seguenti sintetizziamo :
i motivi emersi valutando un poco il sistema scolastico finlandese
Alcune testimonianze trovate su blog web di docenti e alunni
Attenzione…
Come sempre le cose da lontano sembrano più belle….
Certo, alcune cose sono da prendere come esempio, ma molte sono già presenti anche
da noi. Basta con il vederci sempre in negativo…..
LA SCUOLA IN FINLANDIA. MOTIVI DI UN SUCCESSO
SOSTEGNO
DALLO STATO
• Oltre l’11 % del bilancio alla scuola (3 miliardi 360 milioni di euro).
• Libri di testo nel ciclo obbligatorio (7-16 anni, 6 anni di elementari e 3 di media
inferiore) sono a carico dello stato.
• Accesso al liceo (16 anni) facoltativo, ma sempre a spese dello stato
STIPENDI
• Insegnanti (43.000) ben pagati (2.500 euro lordi. Stipendio di
ingresso, 4.500 preside).
• Ogni ora in più passata in classe viene pagata a parte
FORMAZIONE
• Addestramento in master post-universitari con la missione di
mantenere il primato scolastico del paese
CARRIERA
• Possibilità di aumentare le proprie entrate scrivendo libri di testo,
facendo consulenze
STRUTTURA
• computer collegati ad internet, videoproiettori e schermi televisivi
in ogni classe, biblioteche ed emeroteche, giochi educativi per
imparare la matematica o la geografia, laboratori aule di musica
con tanto di sintetizzatore elettronico, basso, batteria, microfoni,
palestre attrezzate, piscine, saune.
LA SCUOLA IN FINLANDIA. MOTIVI DI UN SUCCESSO
DIDATTICA
VALUTAZIONE
SOTEGNO
MATEMATICA
• Sforzo costante dei docenti di attualizzare i programmi
• Forte spirito di iniziativa dei docenti grazie agli incentivi.
• Volontà di innovare e progettare
• Esigenti con i loro studenti, che sanno che per andare avanti
hanno bisogno di conseguire ottimi voti
• I voti sono considerati utili perché spinge i ragazzi a una sana
competizione
• Insegnante di supporto, specialista formato in duri training postuniversitari che segue i ragazzi più fragili, svogliati o meno dotati.
• Ogni scuola è dotata di un Osservatorio per il benessere dei
ragazzi, con tutor e psicologo
• Il tutor coinvolge anche mamma e papà
• Applicazione concreta di concetti astratt
• Coinvolgimento dei ragazzi, volontà che capiscano davvero l’utilità
quotidiana, reale, del calcolo matematico
LA SCUOLA IN FINLANDIA. Testimonianze dei docenti
Sanna Pakkanen, laureata in fisica e insegnante di matematica e scienze
“ Imparare è fare ” e anche per capire l’algebra o la fisica bisogna usare il cervello, gli
occhi, le orecchie e le mani ”.
Hiekki Lauttasaaren
“ La forza della nostra scuola è che è gratuita, paritaria, flessibile….e inflessibile ”
LA SCUOLA IN FINLANDIA. Testimonianze degli alunni
<< Non so se i finlandesi sono i migliori del OCSE – Pisa, ma diciamo che non sarebbe una
sorpresa… Specialmente dopo il mio anno in Italia, ho iniziato a apprezzare la nostra sistema
di scuola molto di più… Io penso che il problema in Italia è che le persone devono studiare
a casa e poi vengono a scuola a fare l’interrogazione in cui devono proprio ricordare tutto
a memoria parola a parola e poi se gli chiedi “perché?”, non sanno rispondere perché non
hanno davvero capito quello che hanno studiato… in Finlandia invece io a volte non
studiavo niente a casa e prendevo otto o nove dal compito soltanto perché avevo capito le
cose durante le lezioni… e in Finlandia nel liceo i professori non guardano se io ho fatto i
compiti a casa, lì loro pensano che siamo assai adulti per decidere le nostre cose e cmnq fa
male a noi se non studiamo perché è la nostra vita. E questo fatto ci dava la possibilità di
studiare di più quella materia che per noi era difficile e meno quella che era facile. E ci sono
anche altre cose che non mi piacevano nella scuola italiana, per esempio l’ingelse… Io non
ho mai nella mia vita studiato per esempio shakespeare qui in Finlandia, qui è importante
che io so parlare inglese, invece in Italia voi studiate 2-3 anni la grammatica e poi iniziate
a studiare shakespeare il quale scriveva inglese che nemmeno Samantha, che parla
ingelse come la lingua materna, capiva totalmente… quindi come le persone possono
imparare a parlare inglese, se studiano quel modo della lingua che è morto cento anni
fa…questi sono i miei pensieri “
Livelli di competenza OCSE PISA – Matematica
Livello 6 Concettualizzazione, generalizzazione e uso di informazioni basate su situazioni e
problemi complessi. Collegamento fra diverse fonti di informazioni e forme di
rappresentazione differenti, in seguito combinazione di diversi elementi. Sviluppo
di nuove soluzioni e strategie di gestione di situazioni non familiari.
Livello 5 Sviluppo e utilizzazione di modelli per situazioni complesse. Scelta, confronto e
valutazione di strategie opportune per affrontare problemi complessi. Utilizzazione
strategica di forme di rappresentazione adatte e applicazione di conoscenze riferite
alle situazioni.
Livello 4 Utilizzazione corretta di modelli espliciti per situazioni complesse. Scelta e
integrazione di varie forme di rappresentazione e loro collegamento con aspetti di
situazioni reali, argomentazione flessibile.
Livello 3 Svolgimento di procedure descritte chiaramente, comprese quelle che
presuppongono decisioni sequenziali. Utilizzazione e interpretazione di
rappresentazioni basate su varie fonti di informazioni e capacità di trarne delle
conclusioni dirette.
Livello 2 Estrazione di informazioni pertinenti da un’unica fonte e comprensione di un’unica
forma di rappresentazione. Applicazione di algoritmi, formule, procedure o
convenzioni fondamentali.
Livello 1 Risposte a domande formulate in un contesto familiare, contenenti tutte le
informazioni pertinenti e definite chiaramente. Svolgimento di procedimenti di
routine secondo istruzioni dirette.