Laboratorio Didattica speciale:
codici del linguaggio logico-matematico
( secondaria II grado)
Prof.ssa Rosella Tomassetti
III incontro 18/04/2014 (pom)
Ascoli Piceno
(5 ore)
La scelta degli obiettivi
La valutazione degli apprendimenti
Gli obiettivi proposti nelle precedenti slides non si
propongono certo in modo rigido o gerarchico.
Ugualmente sarà necessario all’insegnante
comprendere come una stessa abilità possa essere
presente e quindi valutata a diversi livelli,
La valutazione degli apprendimenti
Un metodo particolarmente efficace non può
essere dato in assoluto ed in astratto. Ogni
insegnante si accorgerà di quale strategia in un
certo momento e per una certa persona risulta la
più adatta.
Due esempi
Volendo valutare la capacità di misurare e la conoscenza di
semplici figure geometriche si potrà proporre un’attività di
costruzione di una cornice per la foto della classe, con
l’attenzione di graduare tale attività in funzione dell’abilità
manuale posseduta dal soggetto (dal semplice ritaglio del
supporto di cartone al taglio e montaggio di bacchette di
legno);
Volendo valutare il possesso delle abilità di calcolo si
potranno proporre in forma attiva semplici problemi di
compravendita (dall’acquisto della merenda al bar della
scuola all’organizzazione di una festicciola), i quali si prestano
bene ad essere sviluppati su differenti livelli o arricchiti anche
di concetti di economia
«Se l’insegnante saprà impostare il suo
lavoro con la consapevolezza che alla base di
molte competenze di autonomia sta la
conquista di opportune abilità matematiche,
una valutazione delle competenze possedute
dai ragazzi in termini di autonomia offrirà in
maniera naturale una lettura anche delle
competenze matematiche, coinvolgendo
l’allievo stesso»
La valutazione potrà così essere anche per lo
studente disabile occasione di autovalutazione,
come scoperta su se stesso, e dunque reale
strumento di crescita personale.
A. Canevaro, respingendo l’idea di una valutazione
speciale per l’alunno in situazione di handicap,
sottolinea l’esigenza che la valutazione contenga
elementi utili per sviluppare un’autovalutazione,
aiutando l’alunno a crescere nella consapevolezza
della propria situazione.
Per questo motivo “la valutazione... per chi è
handicappato... dovrebbe essere fatta due volte e
non una volta sola” (Canevaro, 1995): una volta in
presenza delle migliori condizioni di adattamento,
un’altra senza “appoggi” e accorgimenti particolari;
in tal modo il ragazzo potrà essere aiutato a
comprendere quale possa essere il proprio
rendimento con i supporti adeguati o senza di essi,
promuovendo in tal modo il suo inserimento
sociale.
L’autonomia personale è una conquista per ogni
ragazzo e dunque è evidente come le attività che si
possono impostare secondo le modalità sopra
indicate sono significative e utili per tutti. Una volta
di più bisogna riconoscere che i vantaggi
dell’inclusione illuminano angoli insospettati:
perfino la matematica, “lo spauracchio, l’incubo più
terribile del popolo studentesco italiano” (Piochi,
1998).
Difficoltà e disturbi nell’apprendimento matematico
L’apprendimento matematico si riferisce a molti campi, tra
loro abbastanza indipendenti (nel senso che un individuo può
avere significative difficoltà in uno di essi, ma non in un altro):
soluzioni di problemi, ragionamento logico, geometria ecc. Si
tratta di aree che hanno collegamenti con il pensiero e/o
l’orientamento spazio-temporale e/o le capacità visuo
motorie e/o il linguaggio ecc. L’intervento didattico in questo
settore richiede notevole competenza. L’insegnante dovrebbe
essere esperto per quanto riguarda lo sviluppo del pensiero
(ad esempio relativamente al passaggio da quello intuitivo a
quello operatorio concreto), le capacità visuo-motorie e
spazio-temporali, i processi di attenzione e di
memorizzazione e, molto importante, i processi
motivazionali.
Modelli cognitivi dello sviluppo del
numero, del calcolo e dell’algebra
Rappresentazione mentale del numero e
del calcolo
Il modello del triplice codice di Dehaene
Secondo questo modello i numeri vengono
manipolati nel cervello umano attraverso tre
tipi di rappresentazioni:
• Le rappresentazioni visivo-arabe,
• Le rappresentazioni linguistiche verbali,
• La rappresentazione analogica di grandezza.
elementi lessicali primitivi
( i numeri da 1 a 9; le decine,
i numeri da 11 a 16)
e i miscellanei (cento, mila,
milione)
dipendenza funzionale
dal sistema dei numeri
diversi codici
ASPETTI
è rappresentabile
attraverso
• alfabetico orale
(dire “sette”)
• alfabetico scritto
(scrivere “sette”)
• codice arabico
(ideogramma 7)
• codice pittografico

• sistema di numerazione
romano (VII)
COMPRENSIONE
PRODUZIONE
• comprensione dei
simboli
•ordinare i numeri
•confrontare i numeri
quantitativamente
•conoscere il valore
posizionale dei numeri
• enumerare in avanti
e indietro
•scrivere i numeri
sotto dettatura
•ricordare le tabelline
•Incolonnare
•Ricordare combinazioni
e fatti aritmetici (i multipli
5, 10, somme ricorrenti)
esempi
ASPETTI
analizza i meccanismi
coinvolti nel processo
di transcodifica che
vengono attivati al
cambiamento del codice
di presentazione di un
numero
Nel codice alfabetico orale
sono presenti tutti gli
elementi lessicali e anche i
miscellanei.
Nel codice arabico
i miscellanei non hanno
una rappresentazione
grafica in cifre (uso del
segno convenzionale come
il punto).
Lo zero, invece, appare nel
codice arabico ma non nel
codice alfabetico (valore
posizionale delle cifre).
ESEMPI
ASPETTI
progressi dei bambini
verso lo svolgimento
dei compiti aritmetici
strategie per eseguire
un’addizione:
• primo livello: conteggio
singole unità
• secondo livello: somma
del valore cardinale
maggiore alle singole unità
del valore minore
• terzo livello: scomporre
gli elementi da sommare
per facilitare i riporti
Capacità di ripercorrere all’indietro, mentalmente, l’azione eseguita,
fino a ritornare al punto di partenza
Capacità di riconoscere uguaglianze e differenze fra le cose in base
ad un criterio stabilito a priori
Capacità di confrontare, comparare gli oggetti tra loro, ordinandoli in
serie (es.: dal più piccolo al più grande)
Disturbo delle abilità numeriche ed aritmetiche che si
manifesta in bambini di intelligenza normale, che non
hanno subito danni neurologici. Essa può presentarsi
associata a dislessia, ma è possibile che ne sia dissociata.
N.B.: Le abilità compromesse non fanno riferimento a
tutta la matematica, ma solo ad alcune abilità di base,
come il processamento numerico (leggere e scrivere
numeri, identificarne la grandezza, ecc.) e la conoscenza
degli algoritmi di base del calcolo (saper eseguire
addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni a mente e per
iscritto).
difficoltà esibite dal bambino discalculico:
Le maggiori difficoltà del bambino discalculico riguardano:
L’identificazione e il riconoscimento dei simboli numerici;
La scrittura dei numeri;( difficoltà nello scrivere numeri
complessi, come quelli che contengono lo zero) o lunghi (come
quelli composti da molte cifre)
La comprensione dei termini o dei segni matematici
L’allineamento dei numeri, l’inserimento dei decimali o dei
simboli durante i calcoli
L’associazione del numero alla quantità corrispondente;
le numerazioni orali in senso ascendente e discendente
l'automatizzazione delle procedure di conteggio, come ad
esempio nel contare a salti, o contare all'indietro;
l’organizzazione spaziale dei calcoli aritmetici
l'esecuzione delle quattro operazioni scritte, dovuta al
mancato rispetto delle regole procedurali degli algoritmi;
la ripetizione la maggior parte delle tabelline;
la difficoltà nel comprendere quali numeri e quali operazioni
sono pertinenti al problema aritmetico che si sta
considerando
AMBITI
COMPITI
Mancato rispetto delle regole di
transcodifica:
Utilizzo del codice alfabetico orale anche
quando i numeri andrebbero rappresentati
secondo il codice arabico (centodue=1002)
Errata procedura nell’esecuzione di
operazioni aritmetiche (esegue l’operazione
secondo l’ordine di menzione dei numeri)
ERRORI
Mancata comprensione del valore
posizionale delle cifre
La grammatica dei numeri: 1203  2103
Errata attribuzione agli operatori
aritmetici delle relative procedure di
calcolo
Mancata associazione tra simbolo
arabico e quantità numerica
SISTEMA DEI NUMERI – linea dei numeri
Ricomporre il disegno seguendo la giusta progressione
dei numeri.
·4
·1
·3
·2
Questo esercizio si presta a diverse modalità di
esecuzione (contare in avanti o all’indietro).
In fondo alla pagina si può anche disegnare la retta
numerica in modo tale da aiutare il bambino nei
momenti di indecisione.
SISTEMA DEI NUMERI – linea dei numeri
Collocazione dei numeri su retta numerica
oppure
SISTEMA DEI NUMERI – linea dei numeri
•“pronti via”: decidere che un certo gioco parte solo
quando il bambino avrà contato fino a …; si può
eseguire anche all’indietro, partendo da un numero
dato.
•riconoscimento di un errore nel conteggio di un altro.
• conteggio (x2, x3)
•gioco dell’oca
SISTEMA DEI NUMERI – linea dei numeri
Utilizzo di carte coperte in numero vario, con scritti
dietro i numeri; le carte vanno girate in un dato ordine
e riproducono parole o disegni. Si possono riordinare in
numero regressivo, o cominciando dall’ultimo, o
parzialmente.
SISTEMA DEI NUMERI – transcodifica
Unisci i numeri uguali
Dodici
20
Venti
18
Diciotto
12
SISTEMA DEI NUMERI – transcodifica
•Ripetizione di serie di cifre: il bambino si allena a ripetere
correttamente
• Confronto di serie di cifre aventi una solo cifra diversa da
individuare (es.: 638/648)
•Ripetizione di coppie di numeri che si differenziano
gradualmente, sia fonologicamente sia lessicalmente
•Ripetizione di coppie di numeri con due unità lessicale in
comune (es.: 615/715) (es.: 329/829)
•Ripetizione di coppie di numeri con tre cifre in comune ed
un diverso valore posizionale (es.: 480/840)
SISTEMA DEI NUMERI – transcodifica
Inserire, nella griglia, i numeri a diverse cifre.
(4329 – 786 – 1089 - 654)
SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica
Chiedere al bambino prima quante possono essere
le stelle e dopo chiedergli di contarle
SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica
tanti
pochi
SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica
uno
niente
SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica
Ordina in modo crescente i seguenti numeri:
56 – 201 – 78 – 65 – 12 - 20
SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica
SISTEMA DEI NUMERI – codifica semantica
SISTEMA DEL CALCOLO – fatti aritmetici
•Strategia facilitante che deve essere incentivata
perché spontanea
•Aiutano a ricordare con rime a carattere lessicale (es.:
6x8=48 “asino cotto”).
SISTEMA DEL CALCOLO – elaborazione degli
operatori aritmetici
•Variante: dopo aver lanciato i dadi si estrae una carta,
prima di muovere l’ochetta; se sulla carta compare il
segno “+” si procede in avanti, se compare il segno “-” si
retrocede.
•Obiettivo: possedere un numero consistente di
mattoncini. A seconda delle carte estratte con il segno
“+” o “-”, il bambino potrà far aumentare o diminuire il
patrimonio dei mattoncini. Esaurite le carte, ogni
bambino avrà un capitale di mattoncini con cui
eseguire la costruzione.
SISTEMA DEL CALCOLO – elaborazione degli
operatori aritmetici
Completa con il simbolo che manca: <, >, =
48 …………………………….61
51 …………………………….54
84 …………………………….45
67 ……………………………67
SISTEMA DEL CALCOLO – procedure
•Usare facilitazioni,
calcolo:
strategie
che
semplificano
il
7 + 21 = 21 + 7
10 + 14 = 10 + 10 + 4
2 x 9 = 2 x 10 – 2
• Uso della calcolatrice: gli insegnanti dovrebbero
superare la diffidenza circa l’uso di tale mezzo, e di
distinguere
tra
conoscenza
della
struttura
dell’algoritmo (componente logica) e conoscenza
procedurale, relativa alla memorizzazione e messa in
atto dei passaggi necessari a svolgere l’operazione.
Tutti i bambini dovrebbero essere aiutati a
comprendere l’algoritmo, ma nel momento in cui non ci
riescono è il caso di utilizzare “strumenti compensativi”.
Processi coinvolti nel trattamento
numerico
•
•
•
•
•
Subitizing
Stima
Conteggio
Calcolo (mentale, scritto)
Memorizzazione e recupero di fatti aritmetici
Subitizing
L’automatismo del subitizing consiste in una
funzione visiva che consente un rapido e preciso
giudizio numerico eseguito su insiemi di piccole
numerosità di elementi
Stima
La stima è un processo numerico a base semantica
che consiste nel determinare in modo
approssimativo e senza contare valori incogniti
(grandi numerosità).
semantica regola la comprensione delle quantità
3=
Conteggio
• Contare costituisce il primo collegamento tra la
capacità innata del bambino di percepire le
numerosità e le acquisizioni matematiche più
avanzate della cultura nella quale è nato
• Imparare la sequenza delle parole usate per
contare è il primo modo con il quale i bambini
connettono il loro concetto innato di numerosità
con le prassi culturali della società in cui sono nati
(Butterworth, 1999).
Sviluppo della capacità di contare
Gelman e Gallistel hanno individuato cinque
principi che essi ritengono soggiacenti al processo
di contare:
1. Il principio della corrispondenza biunivoca: secondo il
quale per ogni oggetto deve essere utilizzata una sola
etichetta numerica, e viceversa.
2. Il principio dell’ordine stabile:
Per contare occorre rispettare un determinato ordine di
enunciazione. Nel conteggio, oltre ad assegnare etichette
arbitrarie agli item, è necessario che tali etichette siano
organizzate in un ordine stabile ripetibile;
La capacità di contare
3.Il Principio della cardinalità:
l’ultimo numero utilizzato rappresenta e contiene tutti gli
oggetti contati. L’applicazione del principio della cardinalità
richiede un’adeguata applicazione dei principi della
corrispondenza biunivoca e dell’ordine stabile
4 il principio dell’irrilevanza dell’ordine, secondo il quale
una determinata etichetta numerica può essere assegnata a
qualunque oggetto.I bambini iniziano a contare senza
considerare rilevante l’oggetto da cui partire;
5 Il principio di astrazione, secondo il quale la
procedura di conteggio può essere applicata a
qualsiasi tipo di item (concreto costruzioni mentali).
Il calcolo
• Il calcolo viene realizzato per risolvere
problemi di tipo numerico.
• I problemi possono essere di struttura additiva
o di struttura moltiplicativa
Sviluppo delle capacità di calcolo
• Differenti strategie basate sulla conta nella
soluzione di problemi di struttura additiva (Cter &
Moser):
• 1. Count-all : i bambini contano separatamente i
due insiemi da addizionare, uniscono gli insiemi e
contano tutti gli elementi dell’insieme somma
• 2. Count-on: i bambini concettualizzano il valore
cardinale e contano in avanti a partire dal primo
insieme o dall’insieme maggiore
Sviluppo delle capacità di calcolo
3. Know fact: i bambini danno una risposta
direttamente, senza contare, recuperando
conoscenze fattuali dalla memoria
4. Derived fact: i bambini utilizzano fatti numerici
conosciuti per ricavare ulteriori conoscenze
(16+3=19 perché 6+3=9 e 10+9=19)
Sviluppo delle capacità di calcolo
Nei compiti di sottrazione:
• 1. Take away: i bambini contano gli elementi
dell’insieme più grande, contano il sottoinsieme
da sottrarre ed infine contano il sottoinsieme che
rimane.
• 2. I bambini concettualizzano il valore cardinale e
contano all’indietro partendo dal primo termine
sino al secondo termine, tenendo traccia dei passi,
o contano in avanti dal secondo termine sino al
primo, tenendo traccia dei passi.
Rappresentazione mentale del numero e del calcolo
Sistema di elaborazione del numero
Esempio:
Supponiamo di voler scrivere in cifre il numero
centottantacinque
Meccanismo sintattico: sovraintende l’elaborazione
di una struttura a tre cifre.
Meccanismo lessicale: inserzione delle cifre che
compongono il numero « 1 », « 8 », « 5 ».
Rappresentazione mentale del numero e del calcolo
Esempio
Supponiamo di voler realizzare la somma 185 + 17
La comprensione del simbolo “+” orienta verso la
mobilitazione di procedure di calcolo ad esso coerenti.
La comprensione dei simboli 185 e 17 viene realizzata
attraverso il processo lessicale e il processo sintattico.
Le procedure di calcolo possono essere sia di calcolo
scritto che di calcolo mentale.
• Procedure di calcolo
scritto
Corretto
incolonnamento dei
numeri Realizzazione di
somme parziali
Gestione del riporto
185+
17=
______
202
Le somme parziali avvengono
mobilitando strategie quali
“counting on” oppure
mobilitando “fatti aritmetici”:
Fatti aritmetici memorizzati dal
soggetto: 5+7=12
o Fatti aritmetici (5+5=10 ;
10+2=12) utilizzati con
strategie del tipo derived fact
• Procedure di calcolo mentale
Possono essere mobilitate strategie del tipo di
quelle evidenziate da Carpenter e Moser
• Counting on
185, 186, 187, ... 202
• Fatti numerici del tipo derived fact o del tipo
known fact
17=15+2
185+15=200
200+2=202