Scattering in Meccanica
Classica
Sommario
• Scattering
• Diffusione Thomson e Rayleigh
• Sezione d’urto in meccanica classica
• Attenuazione
• Scattering da una sfera rigida
• Sezione d’urto di Rutherford
F. Bianchi
2
Scattering (1)
• Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere
informazioni sulla struttura del sistemi fisici.
– Usato ampiamente anche dalla natura.
• Archetipo di tutti gli esperimenti di scattering: Visione
– Sorgente di luce
– Oggetto
– Rivelatore di luce
• La luce visibile, generata dalla sorgente (Sole, lampada,
LED, laser,..), viene diffusa dall’oggetto e raccolta dal
rivelatore (Occhio, lastra fotografica, CCD,
fotomoltiplicatore,..).
F. Bianchi
3
Scattering (2)
• Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia
corpuscolare sia ondulatorio: Collisione
– Es: Scattering di Onde elettromagnetiche/Fotoni
• Effetti della collisione dipendenti da forma, dimensione e
struttura interna del bersaglio.
• Descrizione della collisione fortemente dipendente dal tipo di
bersaglio e dal rapporto fra lunghezza d’onda e dimensioni del
bersaglio.
• Diffrazione: Forma/Dimensioni di uno schermo/apertura
– Trattazione classica
• Scattering: Forma/Dimensioni/Struttura di un bersaglio
– Trattazione classica sufficiente in qualche caso (Es Antenne)
– Trattazione quantistica necessaria a livello microscopico
F. Bianchi
4
Scattering di Onde Elettromagnetiche
• Collisione con oggetti macroscopici, risposta
coerente:
– d/l >> 1 ottica geometrica
– d/l ~ 1 ottica fisica
• Collisione con oggetti microscopici, risposta
incoerente:
–d~0
scattering Thompson (su elettroni liberi)
– d/l << 1 scattering Rayleigh (su elettroni legati)
– d/l ~ 1 scattering Mie
F. Bianchi
5
Scattering Thomson (1)
• Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero
• Onda elettromagnetica incidente lungo la direzione dell’asse z:
onda piana, polarizzata linearmente lungo l’asse x.
• L’elettrone oscilla sotto l’azione di E e B.
– Si puo’ trascurare B se ve << c
• Risultato: moto armonico -> dipolo oscillante -> emissione di
radiazione sotto forma di onde sferiche
F. Bianchi
6
Scattering Thomson (2)
F. Bianchi
7
Scattering Thomson (3)
1
• Potenza media incidente per unita’ di  I    0 cE02
superficie:
2



F  ma  eE
• Forza agente sull’elettrone:
2
2
2
2
e  E  e E0
• Accelerazione media dell’elettrone:  a 2  

2
m
2m 2
• Potenza mediata temporalmente
irraggiata per unita’ di angolo solido
da una particella accelerata non
relativistica:
• Potenza media diffusa per unita’
d’angolo solido
F. Bianchi
dP
e2 a 2 
2

sin

3
d 160 c
2
  0 cE02
dP  e
2

 
sin

2 
d  40 mc 
2
2
8
Scattering Thomson (4)
2
  0 cE02
ds
1 dP
2  e2
2




sin

2 
2 
d  I  d  0 cE0  40 mc 
2
• Sezione d’urto
(m2/sr)
2
2
 e

 e

2
2
2
2





sin


sin

sin


cos

2 
2 

 40 mc 
 40 mc 
2
2


• Sezione d’urto totale (m2)
2
2
 e

 8 2
8  e
2
2
2
 sin  sin   cos  sin dd   
  re
s T   
2 
2 
40 mc 
3  40 mc 
3
4 
2

• Raggio classico dell’elettrone

2
e2
re 
40 mc 2
• sT indipendente da frequenza ed ampiezza della radiazione
incidente
F. Bianchi
9
Scattering Rayleigh (1)
• Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati
– Nuclei pesanti, non risentono del campo elettrico dell’onda
• Modello supersemplificato della forza di legame:
– Termine elastico + Termine di smorzamento
– Equivale a:
• L’equazione del moto dell’elettrone:
•
Con:
• Una possibile soluzione e’:
F. Bianchi
10
Scattering Rayleigh (2)
• Sostituendo x(t) e
le sue derivate
nell’equazione del
moto dell’elettrone:
• L’accelerazione
quadratica media
dell’elettrone e’:
2
2



cE
dP

e
2
• Potenza irraggiata
0
0



sin

2
2 2
2 2 
2 
dall’elettrone
d (  0 )     40 mc 
2
4
F. Bianchi
2
11
Scattering Rayleigh (3)
• La sezione d’urto (m2/sr):
2
 e
  0 cE02
ds
1 dP
2

2




sin

2
2
2 2
2 2 
2 
d  I  d  0 cE0 (  0 )     40 mc 
2
4
2
2
 e

2


 2
sin

2 2
2 2 
2 
(  0 )     40 mc 

4
2
2
 e

2
2
2



 2
sin

sin


cos
 
2 2
2 2 
2 
(  0 )     40 mc 
4
 ds 
 2

2 2
2 2 
(  0 )     d Thomson

4
2
F. Bianchi
12
Scattering Rayleigh (4)
• L a sezione d’urto totale (m2) dipende fortemente dalla
frequenza dell’onda incidente.
4
8
4

2
sT   2
r
 2
s Thomson
2 2
2 2 e
2 2
2 2
3 (  0 )   
(  0 )   
 0  2
 s Thomson
• Massimo sezione d’urto:   0  s T 
 
  4
• Se
  0  s T   s Thomson
• Sezione d’urto di Rayleigh
 0 
– Il cielo appare blu perche’ le molecole dell’aria diffondono
preferibilemente le lunghezze d’onda piu’ corte.
– Al tramonto la luce del sole appare rossa perche’ attraversa
un maggior spessore d’aria
F. Bianchi
13
Scattering Rayleigh (5)
F. Bianchi
14
Scattering in Meccanica Classica
• Ogni singolo evento e’ definito in modo deterministico:
– Per ogni singolo urto, note le forze in gioco, gli angoli di
deflessioni (,) sono determinati dal parametro d’urto e
dalla velocita’ relativa.
• Caso macroscopico: conoscenza completa dei parametri che
fissano le caratteristiche della collisione.
– Es.: cometa e sole
• Caso microscopico:
– Parametri dell’insieme dei proiettili e’ noto
• Fascio di particelle incidenti
– Stato dell’insieme dei bersagli e’ noto
– Parametro d’urto (ed altre caratteristiche) di ogni singola
collisione non sono in generale noti.
• NB: in meccanica classica si tratta di una impossibilita’ pratica, in
meccanica quantistica e’ una impossibilita’ di principio (Principio di
Indeterminazione).
– E’ necessario un approccio statistico.
F. Bianchi
15
Sezione d’Urto
• Grandezze misurabili:
– F -> flusso di particelle incidenti, si misura in particelle m-2 s-1
– R -> flusso di particelle diffuse in un certo angolo solido d , si
misura in particelle sr-1 s-1
• Trascurando effetti cumulativi (particelle con >1 interazioni,..):
ds
R
F
d
• ds/d e’ una costante di proporzionalita’ che ha le dimensioni di
un’area e prende il nome di sezione d’urto differenziale.
• Sezione d’urto totale:
s 
 4
F. Bianchi
ds
d
d
16
Sezione d’Urto ed Attenuazione (1)
• Fascio di proiettili di flusso F che attraversa un volume
contenente N particelle per unita’ di volume.
– Consideriamo perduti i proiettili che interagiscono con un
bersaglio.
• Decremento del fascio dopo uno spessore dx (k costante):
• Introducendo r (densita’ di massa, g/cm3) ed A (massa
molecolare, g):
• Naturale identificare k con s. Integrando:
F. Bianchi
17
Sezione d’Urto ed Attenuazione (2)
• Quantita’ spesso usate:
• l-> cammino libero medio
• m-> coefficiente di attenuazione lineare del
fascio
• Per un singolo proiettile (F0 =1):
F. Bianchi
18
Ancora sulla Sezione d’Urto (1)
•
In Meccanica Classica la sezione d’urto ci dice qual’e’ la probabilita’
statistica di osservare un’interazione se spariamo un proiettile contro
un bersaglio.
– N.B.: non siamo in grado di dire cosa accade in ogni singolo evento per motivi
pratici.
•
La sezione d’urto totale s e’ una misura della probabilita’ totale
d’interazione tra proiettile e bersaglio integrata su tutti i valori del
parametro d’urto b.
•
La sezione d’urto differenziale ds/d e’ una misura della probabilita’
differenziale di avere un’interazione che causa una deflessione
nell’elemento di angolo solido d.
– Legata ad un particolare valore del parametro d’impatto b.
•
Questi concetti si applicano anche al caso in cui il risultato
dell’interazione non sia solo una deflessione del proiettile, ma anche:
– Ridristibuzione dell’energia cinetica tra proiettile e bersaglio.
– Modifiche alla struttura interna di proiettile e bersaglio.
– Produzione di nuove particelle (fenomeno quantistico e relativistico).
F. Bianchi
19
Interpretazione Classica della
Sezione d’Urto
• Fascio di particelle incidenti di flusso F che urta un centro
diffusore con distribuzione continua di parametri d’urto.
• Particelle deflesse in d (con angolo polare fra  e +d, angolo
azimutale fra f e f+df): Sono quelle che incidono in ds ( con
par.d’urto fra b e b+db, angolo azimutale fra f e f+df)
ds
RF
senddf
d
I  Fbdbdf
ds
senddf
d
ds
b db


d sen d
 bdbdf 
•
•
Sezione d’urto: Superficie (totale o differenziale) trasversale alla
velocita’ relativa fra proiettile e bersaglio.
Parametri d’urto inferiori al raggio della superficie -> Interazione
F. Bianchi
20
Scattering da Sfera Rigida
• Barriera di potenziale
infinita per r<a.
• Per il proiettile vale la
legge della riflessione.


b
2    
b  a sin   a sin
db a

 sin
d 2
2
 
2
a cos
 a cos


2
a cos

2
ds
b db
a

a

a
2 sin 
2


sin 


d sin  d
sin  2
2 2 sin cos 2
2 4
2
2
s  a 2
F. Bianchi
21
Sezione d’Urto di Rutherford (1)
• Classico problema a due corpi con un potenziale
centrale repulsivo.
• Per ricavare la sezione d’urto:
ds
b db

d sen d
• Occorre ricavare la relazione che c’e’ tra il
parametro d’impatto b della particella incidente e
l’angolo di scattering 
• Prendiamola un po’ alla lontana…
F. Bianchi
22
Sezione d’Urto di Rutherford (2)
La Lagrangiana di un sistema a due corpi di massa m1 ed m2 che
interagiscono con un potenziale centrale:
e’:
Introducendo le coordinate:
Si puo’ riscrivere come:
F. Bianchi
23
Sezione d’Urto di Rutherford (3)
• Introducendo:
• La Lagrangiana diventa:
• Non dipende dalle coordinate del baricentro (coordinate cicliche)
e quindi i loro momenti coniugati (le componenti dell’impulso del
baricentro) si conservano.
– Abbiamo ritrovato che il baricentro di un sistema in assenza di
forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme
• La lagrangiana del moto relativo e’:
F. Bianchi
24
Sezione d’Urto di Rutherford (4)
• In coordinate polari:
•  e’ una coordinata ciclica, il suo
momento coniugato (il momento
angolare) si conserva:
• Anche l’energia si conserva:
F. Bianchi
25
Sezione d’Urto di Rutherford (5)
• Da cui:
• Separando le variabili:
• Integrando con la condizione iniziale
• Sostituendo r(t) con
:
:
F. Bianchi
26
Sezione d’Urto di Rutherford (6)
• A questo punto sono note r(t) e (t). E’ possibile
ricavare l’equazione della traettoria:
• Integrando:
• Consideriamo ora il caso:
F. Bianchi
27
Sezione d’Urto di Rutherford (7)
• L’equazione della trettoria diventa:
• Questo e’ un integrale del tipo:
• Con:
F. Bianchi
28
Sezione d’Urto di Rutherford (8)
• La soluzione e’:
• Ritornando ad r:
• Infine:
• Definendo:
F. Bianchi
29
Sezione d’Urto di Rutherford (9)

ZZ ' e 2
V (r )   
r
r
l  mvincb  b 2mE
2
f/2
1
mZZ ' e
1   cos  

2
r
l

0  0
mm
2 El 2
 2 Eb 
  1
 1 
2 2
2 
m( ZZ ' e )
 ZZ ' e 
1

 cos
F. Bianchi
f
2
 sin

2
   cosec
2

2
30
Sezione d’Urto di Rutherford (10)
ctg 2

2

cos 2
sin 2

2 
1  sin 2

2


2  cosec 2   1   2  1

2
sin 2
2

2 Eb
 2 Eb 
ctg 2  1  

1

ctg


2
2
2 ZZ ' e 2
 ZZ ' e 

2
2 
ZZ ' e

db 1 ZZ ' e
1

b
ctg 

2E
2
d 2 2 E  sin 2 

2

2







ctg
ds
b db 1  ZZ ' e 
1
2


 


d
sin  d 2  2 E  sin  sin 2
2
2
2
2
1  ZZ ' e 2 
1

 
4  2 E  sin 4 
2
Sezione d’urto totale e’ divergente
Conseguenza del range infinito di V(r)
F. Bianchi
31
Estensione a Processi Qualunque (1)
• Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da
potenziale:
F. Bianchi
32
Estensione a Processi Qualunque (2)
F. Bianchi
33