constituent fermions
scattering
Lezione 19
riferimenti: Perkins 5,Kane
The Point Cross Section
 forse l’evidenza più
convicente dell’esistenza
dei quark e della validità
della QCD è il valore e la
distribuzione angolare
della della sezione d’urto
di annichilazione
 la grandezza della
sezione d’urto e la
distribuzione rispetto
all’angolo polare  sono
esattamente quelli
predetti per particelle
puntiformi di spin ½
 
e e  qq
annichilazione e+e-  coppia fermioni puntiformi con lo scambio di un solo 
 
e e  ff
e
quando s è molto minore
della massa al quadrato
della Z0, allora possiamo
considerare solo questo
diagramma
e
interazione
elettromagnetica
f
q
q è il
quadrimomento del
fotone
f
f  e,  , , u, d , c, s, t , b
esempi di reazioni misurabili, in cui i
prodotti finali sono chiaramente
identificabili
LABORATORI : Ada,ADONE
1955-
SLAC, PEP
PETRA, DESY
CERN, LEP
ee     
TEST QED
E MODELLO
STANDARD
e e  
 
LU (1) 
 




e
f

f
A

f e , 
lagrangiana di
interazione

 
1
M  e e  e   
s
2


ampiezza di
scattering
ee     
concentriamoci sul calcolo
della sezione d’urto
CMS system
per s >> me,,
x
e

s



z

e

e
trascuriamo le mase




quadrimomenti
nel CMS;
masse=0

e2
M
u  p'  vq' u  p   vq 
s


e4
M  2 Tr   p'     q'   Tr   p    q 
4s
4e 4 ' '
 2 p q  p' q'  p'q' g  p  q  p q   p  qg 
s
2


8e 4
 2  p' pq'q  p'qp  q'
s
d
1

M if
2
d  s64

1 P d 
d  
M if
2
s Pe 64
2
2
s
1;0,0,1
2
s
1;0,0,1
q
2
s
1; sin  ,0, cos  
p' 
2
s
1; sin  ,0, cos  
q' 
2
p
e

M  e 4 1 cos 2  
2
d
2

1  cos 2 
d  4s


4 2

3s
  86.8nb / sGeV 2 
e
Z

0

4
3s
d
2

1  cos 2 
d  4s

2

e
il contributo del
diagramma con
scambio di Z0, che
viola la parità, è
stato trascurato
nel conto
contributo
elettrodebole
notare la
simmetria (e+e- , s= 35.4
PETRA collider DESY
avanti-indietro
GeV)
di questa
distribuzione
a a
si può valutare,
osservando che
l’elemento di
matrice debole è
dell’ordine di GF, la
costante universale
di Fermi, che va
paragonata a 4/s
f 
f 
LZSU ( 2 ) 
g2
cos  w
  f  f T

f e, 
L
L
3
f
weak em
2
em
a

GF s
 10  4 s, GF  10 5 GeV  2 , s GeV 2
4



 Q f sin 2  w  f R  f R  Q f sin 2  w Z 


annichilazione e+e- in adroni
e
e
s
q
q
 ,,
 
e e  qq
q, q  hadrons
10
30
J /
'
,  '
Z0
cross
W W 
sec tion, cm2
4 2 87,0 2


cm
3s
s
point-like
cross-section!
10 38
1
s  csm energy , GeV
10 3
il rapporto R
 tot e  e   X 
R
 point
come cambia R, se si produce una
nuova particella, al crescere di s?
Se si producesse un nuovo neutrino, i
nostri rivelatori non lo vedrebbero
R  0
un nuovo leptone carico sarebbe
prodotto con una  pointlike:
RL L  1
e
q
s
qq    1 / 3  3  1 / 3
2
e
q
qq    2 / 3  3  4 / 3
2
un nuovo quark con carica -1/3
è prodotto con una  pointlike,
come un leptone, ma tenendo
conto che il vertice quark antiquark va moltiplicato per la
il
fattore di colore
carica al quadrato ed
un nuovo quark con carica -2/3
è prodotto con un fattore 4/3
CHE COSA OSSERVEREMO NELLA
CURVA DEL RAPPORTO R?
 togliendo i contributi di
ee,  e , si ha R
dovuto agli adroni
solo:Rhad.
 sotto la soglia del charm
Rhad=1/3+4/3+1/3=2
 sopra la soglia del charm
Rhad cresce di 4/3
 sopra la soglia del
bottom Rhad cresce di 1/3
 sopra la soglia del top
Rhad cresce ancora di 4/3
s  3GeV
s  10GeV
Rhad fino alla soglia della Z0
u , d , s , c, b
3
u , d , s, c
u, d , s
o
E, GeV
Il rapporto Rhad dal Particle Book
la prova del colore!
4
distribuzione angolare di due jets
adronici
1 d
 d cos 
dN
 1 cos 2  
d
cms energy = 34GeV
spin dei
quark=1/2
e e  
la sezione d’urto
delle variabili di mandelstam s,t,u
 


in funzione
e

s



z

e
e
quadrimomenti
nel CMS;
masse=0
s   p  q    p' q'  2 pq  2 p' q'
2
t   p  p'  q  q'  2 pp'  2qq'
2
2
u  q  p'   p  q'  2qp'  2 pq'
2
2
s  t  u   m 2  s  t  u, m  0
s
1;0,0,1
2
s
1;0,0,1
q
2
s
1; sin  ,0, cos  
p' 
2
s
1; sin  ,0, cos  
q' 
2
p


2
per s >> me,,
trascuriamo le mase
x
e
CMS system
s  4 p2
t  2 p 2 1  cos    4 p 2 sin 2  / 2 
u  2 p 2 1  cos    4 p 2 cos 2  / 2 
2
2
2


d  

t

u
 

e e     2 
2
d
8p  s 


per “crossing symmetry” possiamo ottenere la sezione d’urto di scattering
si rimpiazza il positrone entrante
con un elettrone uscente e un
muone positivo uscente con un
muone positivo entrante
e



z
e
q'
p'
e
p

e
x




q

s
1;0,0,1
2
s
1;0,0,1
q
2
s
1; sin  ,0, cos  
p' 
2
s
1; sin  ,0, cos  
q' 
2
p
2
2
2


d  

t

u
 

e   e   2 
2
d
8p  s 



2
8 p 2 sin 4
in questa reazione il
quadrimomento del fotone
virtuale è
annichilazione
quadrimomenti
nel CMS;
masse=0

1  cos  / 2
 / 2
4
t  p  p'  0
spacelike
t  pq0
timelike
previsioni QED per lo
scattering di fermioni
puntiformi, nel CMS.
Masse fermioni
trascurabili rispetto
energia in gioco
sezione d’urto elastica e-+e-+ CMS
x
CMS
z
p
e
e




LAB
Lorentz
e

1  cos 
y

Ee
2
E
   1  cos 
cos 2   
 1 y
2
2
d  2d cos    4dy
e

E  p1 cos  

Ee  2p
Lorentz
factor
Energia e
nel
laboratorio
Energia 
nel
laboratorio
sezione d’urto elastica e-+e-+ LAB
scattering di
particelle con la
stessa elicità


2
d  
2

s
2


e   e   
1

1

y
;
4
dy
q


scattering di
particelle con
opposta elicità
q2
y
4 p2
t  q ; s  4 p  2m Ee  m  m  2m Ee
2
4
2
2
2
e
d
16 2 2 dy 4 2
 y  0  4 p 2  4
2
dq
q
dq
q
d
2 2 s
e  e   4 1  y 
dy
q
Rutherford
Mott
DIS
scattering di
elettroneparticelle con
spin 0
sezione d’urto elastica e-+e-+, e-+e-+
LAB
15


d  
2 s
2
 


e  e  
1

1

y
;
4
dy
q


2
d
16 2 2 dy 4 2
 y  0  4 p 2  4
2
dq
q
dq
q
d
2 2 s
e  e   4 1  y 
dy
q
q2
y
4 p2
Mott
scattering tra
particelle
puntiformi con
spin 1/2
scattering di una
particella puntiforme,su
Rutherford
una particella
puntiforme ferma,si
trascurano gli spin
scattering di una
particella puntiforme,su
una particella
puntiforme con spin 0
sezione d’urto elastica e-+e-+, e-+e-+
LAB
scattering e
 ee  ee
g
W
e
e
W
g
g
g
e
e
e
d
G2
 ee  ee 
2
dq

g / 2 
M
2
2
q 2  M W2
e
e
consideriamo solo il
diagramma di corrente
carica
dal calcolo della
sezione d’urto di 4
fermioni “point-like”,
(e cioè in s-wave)
interagenti

g / 2
M
e
è una interazione debole
q 2  2mE  M W2
d 2
2
2 2 dp d

M
p
dq 2
v
dE f dq 2 2 3
M W2
v  2c; dp / dE f  1 / 2;
d / dq 2   / q 2
g2

2M W2
G
g2

2
2 8M W
d 2  g 2
 
2
dq
  8M W2



scattering neutrino elettrone: un esercizio
nelle
interazioni
deboli i
leptoni sono
polarizzati
longitudinalm
ente
questo vuol
dire che lo
spin
dell’elettrone
è parallelo o
antiparallelo
al momento
Si definisce polarizzazione il
rapporto tra la somma e la
differenza degli eventi in cui
lo spin dell’elettrone e’
parallelo e quelli in cui è
antiparallelo
elettroni

relativistici sono in
uno stato di elicità
quasi puro. i neutrini

sono in uno stato di
elicità puro
d
G2
 ee  ee 
2
dq

 
 p
I  I
P
I  I
una teoria V-A dà
e
J 0
Jz 1
  e e   e e  
d
G2
 ee   ee  1  cos  2
d cos 
8
Polarizzazione degli elettroni
emessi in -decay
e
G2s

G2s
  e e   e e  
3
P
v
P
c
Ancora sullo scattering
elastico e
e  e 




e , k '

e ,k
one-photon-exchange
approximation
q
Fsr ,s 'r '   eu k ' , s'  uk , s 
g 
q
2
 eu  p' , r ' u p, r 
invariant amplitude
unpolarized d  1
cross section
4
, p
 F
sr , s 'r '
s , r s ', r '
2
  , p'
2
e 
  2  L M 
q 
2
tensore
leptonico
tensore
muonico
richiami
e  e 




L
 '
q 2  
'
 2 k  k  k k  
g 
2


M 
2
 '
q
'
 
 2  p p  p p 
g 
2


To evaluate the cross-section
we must “contract” L M 
we get:


d   2 cos 2  2 k   q 2 tan 2  
 1 

  2 4
2
d  4k sin  2 k '  nsns
2M

no-structure
cross section
d  d   q 2 tan 2  


 1 
2
d  d  nsns
2M

richiami
e  e 



 d 


 d  ns

d  d   q 2 tan 2  


 1 
2
d  d  ns 
2M

is the “no-structure” cross section;it describe
the kinematics of an electron scattering from a
target that recoil; the target is supposed
pointlike and with no spin
 q 2 tan 2  
1 

2
2M


additional term to the “no-structure”
cross section ;this is due to the spin
½ of the  that gives rise to both
the charge and the magnetic
component
richiami
elastic scattering ep
DIS
24
sappiamo che il protone non è
puntiforme
elastic scattering ep
vogliamo determinare la sua
distribuzione di carica e.m (r)

e

e pe p
p


e
dovendo esplorare una distribuzione di
p
carica elettrica, userò un fascio di
particelle cariche, gli elettroni,che
sono puntiformi
calcolando la sezione d’urto
differenziale dello scattering elastico
degli elettroni dalla distribuzione di
carica (r) del protone, essa risulta
proporzionale (nell’aprozssimazione di
Born) al quadrato della quantità:
 r 

e
G(q )    r e d r
2
iq.r 3
G (q )    r e d r
2
iq.r
3
q  p1  p2  2 p sin  / 2

 r 
2
p2
è la trasformata di Fourier
della distribuzione di carica
quadrimomento
trasferito
scattering elastico
p1  p2  p
Quindi misurare la sezione d’urto
per scattering elastico, in

e
funzione dell’angolo , permette
p1
di determinare G(q2), e di qui si
può risalire a (r)
è il fattore di
forma del
protone
G (q )
G (q )    r e d r
2
iq.r
due casi estremi
3
se la distribuzione di carica
è puntiforme,
 r    r   G(q )  1
2
per ogni valore di q
se q=0,cioè per un elettrone di bassa
energia o scatterato in avanti
G (0)  1
usando elettroni di bassa energia o scatterati in avanti
non si è sensibili alla distribuzione di carica; in questo
caso G(0) fornisce solo il valore totale della carica:
G (0)    r d r
3
conosciamo il
vertice
leptonico,per
esempio, dallo
scattering e
e
e
p


non conosciamo il
vertice adronico
p
e , k '

one-photon-exchange
approximation
e ,k
q
d  d   q 2 tan 2  


 1 
2
d  d  ns 
2M

cross section for a
point-like photon
P, p
P, p '
hadron tensor
unpolarized d  1
cross section
4
 F
sr , s 'r '
s , r s ', r '
Using Lorentz invariance and real
proton charge conservation it is
possible to obtain:
2
2
e 
  2  L T 
q 
2
d  d 
2

 A  B tan 
d  d  ns


A and B must be related to charge and magnetic form
factors
richiami



e2
M
u  p'  vq' u  p   vq 
s

e4
M  2 Tr   p'     q'   Tr   p    q 
4s
2
e 4 e 
M  2 L TP
4s
2

 

F2 q 2
2

J P  u  p' F1 q    k
i  q u  p 
2
M


F1 0  1; F2 0  1; k  1,79 Bohr mag
 



d  d 
E ' 
k 2q 2 2  q 2
2

F2  
F1  kF2 tan 

 F1 
2
2
d  d  Mott E 
4M
2
 2M
kq2
GE  F1 
F2
2
4M
GM  F1  kF2
fattori elettromagnetici del
protone
è possibile
riscrivere questa
sezione d’urto in
modo molto
compatto,nel
CMS system delle
particelle A e B,
utilizzando le
proprietà della
funzions 
4

2   4 PA  PB  PC  PD  d 3 pC
d 3 pD
2
d 
M
3
3
2
2 2




2
E
2

2
E
2

4 PA  PB   mA mB
C
D

1 PC dC
d  
M
2
s PA 64
Lorentz scalar
DIS
2
s  PA  PB 
2
33