Calcolo combinatorio e
probabilità
La probabilità
Tratta degli eventi (fatti, fenomeni) che non si
verificano con certezza e che sono detti aleatori
o casuali.
Gli eventi aleatori sono eventi incerti e possibili,
sono espressi da una proposizione che risulterà
vera se l’evento si verifica e falsa altrimenti.
Ci sono anche eventi impossibili, cioè che non si
verificano mai.
La probabilità
Lo spazio degli eventi o Universo è costituito da
tutti i possibili risultati di un certo esperimento
(reale o concettuale) e può essere rappresentato
mediante diagrammi di Eulero-Venn.
Un evento è un elemento dello spazio degli eventi.
L’evento certo è l’intero Universo.
L’evento impossibile è l’insieme vuoto.
La probabilità
Si definisce evento contrario o complementare
dell’evento A, l’evento che si verifica se e solo
se non si verifica A.
Si definisce somma logica o unione di due eventi
A e B, l’evento che si verifica quando si verifica
almeno uno degli eventi A o B.
Si definisce prodotto logico o intersezione di
due eventi A e B, l’evento che si verifica quando
si verificano entrambe gli eventi A e B.
La probabilità
Secondo la concezione classica di probabilità essa è
definita come rapporto tra i casi favorevoli al
verificarsi dell’evento ed i casi possibili (finiti ed
equipossibili).
𝑛
𝑃 𝐴 =
𝑚
Nell’interpretazione insiemistica la probabilità è la
cardinalità dell’insieme che rappresenta l’evento.
La probabilità
Dalla definizione classica 𝑃 𝐴 =
𝑛
𝑚
si deduce che:
• L’evento certo ha probabilità 1
• L’evento impossibile ha probabilità 0
• L’evento possibile ha probabilità 0<p<1
• L’evento complementare ha probabilità 1-p(A)
La probabilità
Inoltre si ha:
• La somma logica di due eventi incompatibili A e
B (che non possono verificarsi insieme) ha
probabilità p(A)+p(B).
• Il prodotto logico di due eventi A e B ha
probabilità p(A)∙p(B).
• L’evento complementare ha probabilità 1-p(A)
La probabilità
Problemi
•
Lanciando un dado non truccato qual è la probabilità che esca 5?
•
Qual è la probabilità che lanciando un dado non truccato esca un
numero maggiore di 2?
•
Qual è la probabilità di scegliere il 5 di quadri da un mazzo di
carte non truccato di 52 carte?
•
Qual è la probabilità di scegliere il 3 di cuori o una figura di
picche da un mazzo di carte non truccato di 52 carte?
La probabilità
Problemi
•
Si consideri un test a risposta chiusa composto da 10 domande con 4
risposte di cui 3 errate e 1 corretta. Qual è la probabilità di
rispondere correttamente a tutti i quesiti mettendo a caso le
risposte?
•
Un sacchetto contiene 4 palline bianche e 2 nere. Un secondo
sacchetto ne contiene 3 bianche e 5 nere. Se viene estratta una
pallina da ciascun sacchetto, qual è la probabilità che siano entrambe
bianche?
•
Una moneta non truccata è stata lanciata per 3 volte e ha sempre
mostrato croce. Qual è la probabilità che lanciandola ancora esca
ancora croce?
•
Qual è la probabilità che in 10 lanci di una moneta non truccata non
esca mai testa?
Il calcolo combinatorio
Ha come oggetto lo studio dei modi in cui si
possono associare, secondo regole stabilite, gli
elementi di due o più insiemi o di uno stesso
insieme.
Risolve il problema di conoscere in quanti modi
può presentarsi un fenomeno.
Per esempio il calcolo dei casi possibili.
Il calcolo combinatorio
Permutazioni
In quanti modi diversi posso disporre k oggetti
distinti?
k(k-1)(k-2) … 1 = k!
Esempio: Quante sigle diverse di 3 lettere posso
formare con le lettere R, G e B?
Il calcolo combinatorio
Permutazioni con ripetizione
In quanti modi diversi posso disporre k oggetti di
cui k1, k2 … kn uguali tra loro?
𝑘!
𝑘1 ! ∙ 𝑘2 ! ∙ … ∙ 𝑘𝑛 !
Esempio: In quanti modi diversi posso disporre 2
pennarelli blu, uno nero e 3 rossi?
Il calcolo combinatorio
Gruppi con ordine
diverso degli
elementi sono da
intendersi diversi.
Disposizioni
In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti
distinti da un insieme di n oggetti?
n(n-1) … (n-k+1) =
𝑛!
𝑛−𝑘 !
Esempio: Quattro fratelli possiedono un’auto a 2
posti. In quanti modi diversi possono uscire a due
a due, usando l’automobile?
Il calcolo combinatorio
Disposizioni con ripetizione
In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti
da un insieme di n oggetti?
n•n … n = 𝑛𝑘
Gruppi con ordine
diverso degli
elementi sono da
intendersi diversi.
Esempio: Quante possibili targhe di automobile si
possono ottenere con 2 lettere, 3 numeri e 2
lettere, considerando un alfabeto di 26 simboli e
senza che la prima lettera sia z?
Il calcolo combinatorio
Combinazioni
Gruppi con ordine
diverso degli
elementi sono da
considerarsi uguali
In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti
distinti da un insieme di n oggetti?
n(n−1) … (n−k+1)
𝑛!
𝑛
=
=
𝑘
𝑘!
𝑛 − 𝑘 ! 𝑘!
Esempio: In quanti modi si possono assegnare 13
carte da un mazzo da 52?
Il calcolo combinatorio
Combinazioni con ripetizione
Gruppi con ordine
diverso degli
elementi sono da
intendersi uguali.
In quanti modi diversi posso scegliere k oggetti
da un insieme di n oggetti?
Il problema equivale a ripartire k oggetti identici
(o considerabili come tali) i n contenitori.
𝑛+𝑘−1
𝑘
Esempio: In quanti modi posso collocare 3 matite
in 5 cassetti?
Il calcolo combinatorio
Problemi
•
In quanti modi diversi si possono collocare 10 libri diversi
in una libreria?
•
Quanti sono gli anagrammi della parola ORO?
•
Quanti sono gli anagrammi della parola ORRORE?
•
In quanti modi posso disporre 13 palline, sapendo che ce
ne sono 3 gialle, 5 rosse e 4 bianche?
•
Dati 5 frutti diversi, in quanti modi posso preparare una
macedonia con 2 di essi?
•
In quanti modi si possono scegliere i 3 rappresentanti in
una classe di 12 alunni?
Il calcolo combinatorio
Problemi
•
Quante quaterne si possono formare estraendo i 90
numeri del lotto?
•
In quanti modi posso scegliere 3 delle 7 note musicali,
tenendo conto che posso ripetere la stessa nota 3 volte?
•
In quanti modi posso sistemare 15 pennarelli in 6 astucci?
•
In quanti modi 3 persone possono occupare 6 posti?
•
In quanti modi 3 persone possono iscriversi avendo a
disposizione 5 palestre diverse.
La probabilità
Problemi
•
Qual è la probabilità che lanciando 10 volte un dado non truccato
esca 5 volte il numero 3?
•
Lanciando due dadi non truccati qual è la probabilità che la somma
dei punteggi sia 4?