Omnidirectional mirror
2000 BC
Omnidirectional mirror
Riflessione metallica
Metalli riflettono a tutti gli angoli ma
esiste un angolo di pseudo Brewster
Omnidirectional mirror
Riflessione metallica
Riflessione ideale
TE & TM
1D PhC
Evanescent wave in the barrier
Incidenza obliqua
d
…….
TE
Forte dipendenza
dall’angolo
TM
Incidenza obliqua: perdita del band gap
y
TM
x
Ht
Et
Near Brewster
angle
Perdita gap
Terminologia TE e TM
y
x
H
Saleh
Joannopoulos
TM
TE
z
E
y
x
TE
E
TM
z
H
Qui si cerca di usare per 1D la notazione Saleh
ATTENZIONE:nelle figure prese da Joannopoulos si invertono le sigle
Struttura a bande per propagazione nel piano
Cono di luce
Evanescent waves
(0, k y ,  / a )
(0,0, k z )
Modi Ex (TE)
(0, k y ,0)
kz
Assenza band gap
completo anche in
TE
Struttura a bande per propagazione nel piano
Assenza band gap
completo sia in TM
e TE
(0, k y ,0)
TE
TM
Tipologia dei modi
Modi EE Extended-Extended
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
All’interno di una banda e dentro il cono di luce
Tipologia dei modi
Modi ED Extended-Decay
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
All’interno di un gap e dentro il cono di luce
Tipologia dei modi
Modi DE Decay-Extended
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
All’interno di una banda e oltre il cono di luce
Tipologia dei modi
Cono di luce
Evanescent waves
Modi Ex (TE)
LEGENDA
ED=Extended in air, Decay in PhC
EE=Extended in air, Extended in PhC
DE=Decay in air, Extended in PhC
DD=Decay in air, Decay in PhC
Tipologia dei modi
Cono di luce
Evanescent waves
Modi Ex (TE)
LEGENDA
ED=Extended in air, Decay in PhC
EE=Extended in air, Extended in PhC
DE=Decay in air, Extended in PhC
DD=Decay in air, Decay in PhC
Tipologia dei modi
Modi DD Decay-Decay
a
e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e1 e2 e 1 e2
Stati di interfaccia
Omnidirectional mirror
Nel band gap propagazione proibita: Modo ED
Tutta l’energia è riflessa
True band gap  Omnidiretional mirror
Omnidiretional mirror  True band gap
Nel band gap propagazione proibita: Modo ED
Tutta l’energia è riflessa
Omnidiretional mirror  ED states for any directions
within the light cone
n1
n2
Bande Bragg mirror
TM
No band gap
TE
n1
n2
n1
 B1
Angolo di Brewster
TM
Angolo di Brewster
ky 

c
n1 sin  B1
n2
TE
n1
n2
n1
Bande Bragg mirror
TM
Cono di luce
1
ky 

c
n1
n2
L
TE
n2
n1
Bande Bragg mirror
n2
n1
n2
L
TM
TE
Cono di luce
ky 

c
Omnidirectional mirror
Angolo di Brewster
tan  i   t 
Er 
Ei
tan  i   t 
 B  t 

2
n2
tan  B 
n1
Onda TM non è riflessa
Angolo di Brewster è simmetrico
n1
n2
n1
 B1
n2
tan  B1 
n1
n2
B2
tan  B 2
n1

n2
 B1   B 2 

2
tan   tan 
tan     
1  tan  tan 
Angolo di Brewster
Cono di luce
tan 1, B
sin 1, L
n2

n1
n1
1

n1
n2
n1
1, L  1, B
Onda esterna TM può propagarsi a Brewster
1, B  1, L
Onda esterna TM non può propagarsi a Brewster
n1
n2
n2
n1
Angolo
Confronto angolo Brewster vs angolo limite (n1=1.5)
70
n
65
 B  arctan 2
n1
60
55
n1
n2
n1
n2
Air
50
 L  arcsin
45
40
1
n1
35
30
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
n2
70
65
Angolo
60
55
50
n2
45
40
35
n1
n2
1
 L  arcsin
n2
 B  arctan
30
25
20
15
10
1,0
1,5
2,0
2,5
1
1

1
2
2
n1 n2
3,0
3,5
n2
1
1
 2 1
2
n1 n2
Air
1, B  1, L
n1
n2
n1
Confronto angolo Brewster vs angolo limite
 B  arctan
n2
n1
 L  arcsin
Se i due angoli coincidono
B  L  

tan  

 sin  

n2
n1
1
n1
Quindi
1
1
 2 1
2
n1 n2
1

cos



n2

1
 sin  

n1
1
n1
Confronto angolo Brewster vs angolo limite
 B  arctan
n2
n1
 L  arcsin
1
n1
Se i due angoli coincidono
B  L  

tan  

 sin  

n2
n1
1
n1
Quindi
1
1
 2 1
2
n1 n2
1

cos



n2

1
 sin  

n1
Se
n1  n2
1
1
 2 1
2
n1 n2
dà
n1  2
Ovviamente non
funziona
Condizione
1, B  1, L
Se
n1  n2
1
1
 2 1
2
n1 n2
dà
n1  2
Ovviamente non
funziona
è necessaria, ma non sufficiente
Specchio Omnidirezionale
TM
L  U
TE
gap
TM
Omnidirectional Mirror: condizione 2
TE
TM
TE
L
(ωL)TM
U
(ωL)TE
𝜔𝑈 > 𝜔𝐿
𝜔𝑈 < 𝜔𝐿
Per avere un omnidirectional mirror occorre che
𝝎𝑼 > 𝝎𝑳
𝝅
𝒂
𝝎𝑼 = 𝝎(𝒌𝒛 = , 𝒌𝒚 = 𝟎)
𝝅
𝒂
𝝎𝑳 = 𝝎(𝒌𝒛 = , 𝒌𝒚 =
𝝎𝑳
)
𝒄
Omnidirectional Mirror: condizione 2
Per determinare le due frequenze si impone che Re{1/t*}=-1
n1
n2
n1
d2
𝝅
d1/2
• Calcolo 𝝎𝑼 = 𝝎(𝒌𝒛 = 𝒂 , 𝒌𝒚 = 𝟎)
d1/2
2
2
 1   n2  n1 

 n2  n1 


Re   
cos ( n1d 1  n2 d 2 )  
cos (  n1d 1  n2 d 2 )    1
t
*
4
n
n
c
4
n
n
  


c

2 1
2 1
𝝅
• Calcolo 𝝎𝑳 = 𝝎(𝒌𝒛 = 𝒂 , 𝒌𝒚 =
𝝎𝑳
)
𝒄
~ n
~ 2
~ n
~ 2
 1   n

 n


2
1
2
1
Re    ~ ~ cos ( n1d 1 cos  1  n2 d 2 cos  2 )  
cos
(

n
d
cos


n
d
cos

)

1 1
1
2 2
2    1
~n
~
4n
c
 t *   4n2 n1
c



2 1
𝒏𝒊
𝒏𝒊 =
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊
n1
𝜃1
n2
sin𝜃1𝐿 =
sin𝜃2𝐿 =
𝜃2
z
1
𝑛1
1
𝑛2
n1
𝜃1𝐿
n2
𝜃2𝐿
1, B  1, L
è necessaria, ma non sufficiente
3.5
3.0
Omnidirectional
Mirror
U>L
2.5
2.0
n2/n1
Condizione
1.5
1.0
0.5
1
1

1
2
2
n1
n2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
n1
2.5
3.0
3.5
Specchio Omnidirezionale
Gap/midgap
Omnidirectional Mirrors in Practice
[ Y. Fink et al, Science 282, 1679 (1998) ]
Te / polystyrene
contours of omnidirectional gap size
10 0
normal
50
0
Dl/lmid
Re flec ta nc e (%)
(%)
Reflectance
10 0
450 s
50
0
10 0
450 p
50
0
10 0
800 s
50
0
10 0
800 p
50
0
6
9
12
Wavelength (microns)
15