Studio funzioni
Premesse
Definizione di funzione
Considerazioni preliminari
Campo esistenza
Limiti
Funzioni crescenti, decrescenti
Massimi, minimi
Derivate
Chiudi
Premesse
Intervalli di numeri o punti
Gli intervalli possono essere :
a seconda che un estremo o tutti e due
Limitati, Illimitati
siano + o - infinito
Aperti,
Chiusi
a seconda che comprendano o no
gli estremi
Intorno di un punto o numero reale
Si chiama intorno di un punto x’ (o di un numero reale x’) ogni intervallo
che contenga x’.
Sommario
Dati due insiemi A e B, si dice funzione ( f : A B)
una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni
elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B
Esempi
A
ore
Temp
1 2
3 5
4
7
-5
8
-5
37
4 5
9
-4
10 11
-3 -2
B
12 13 14 15
0
1
2
4
Continua
Sommario
Quando i due insiemi A e B sono insiemi di numeri allora si parla
di funzioni numeriche. Spesso in questi casi la relazione è
esprimibile con espressioni algebriche.
Esempio :
la funzione f definita nell' insieme dei numeri reali
x  3x - 2
Indicata normalment e come y  3x - 2
cioè si associa ad ogni valore di x un valore di y.
f :R  R
Si può farne il
grafico sul piano
cartesiano.
( Es. : Se x  1  y  1 ; x  2  y  4)
In questi casi la variabile x viene detta variabile
indipenden te ed y viene detta variabile dipendente .
Nel nostro studio ci occuperemo solo di questo tipo di funzioni e
come definizione di funzione prenderemo la seguente :
Si dice che una variabile dipendente y è funzione di
una variabile indipendente x quando esiste un
legame di natura qualsiasi che ad ogni valore di x
faccia corrispondere uno e uno solo valore di y.
Sommario
Si definisce campo di esistenza (dominio) di una funzione
l’insieme dei valori che posso assegnare alla variabile
indipendente x in modo da poter calcolare il valore della variabile
dipendente y.
Normalmente il dominio di una funzione formato da uno o più
intervalli di numeri reali (graficamente intervalli di punti)
Clicca qui per semplici esempi di ricerca di dominio.
L’insieme dei valori assunti dalla y (variabile dipendente si
chiama codominio
Continua
Sommario
Noi sappiamo dal calcolo algebrico che :
• Una frazione non può avere un denominatore nullo
• Un radicale con indice pari non può avere un radicando
negativo
• L’ argomento di un logaritmo deve essere positivo (non può
essere nemmeno il valore 0)
Qualora nell’espressione delle funzioni che saranno oggetto
del nostro studio non compaiano né frazioni, né radicali con
indice pari, né logaritmi il campo di esistenza sarà tutto
l’asse reale.
Esempi
Sommario
Negli esempi escluderemo il caso meno significativo in
cui non ci siano limitazioni.
• Esempi con frazioni
• Esempi con radicali
• Esempi con logaritmi
Sommario
Trova il dominio della seguente funzione :
x -1
y
x 4
In questo caso il dominio è dato da tutti i numeri reali
2
che non annullano il denominato re.
I valori da escludere sono le soluzioni dell' equazione
x  4  0 cioè x  2, x  2.
2
1
2
Di conseguenz a il dominio è dato dai seguenti tre intervalli :
x  -2, - 2  x  2, x  2.
Il primo è illimitato a sinistra, aperto e limitato a destra
Il secondo è limitato ed aperto sia a destra che a sinistra
Il terzo è aperto e limitato a sinistra, illimitato a destra
Altro Es. frazioni
Grafico
Altri esempi
Sommario
Trova il dominio della seguente funzione :
x 1
y
x  2x  1
In questo caso il dominio è dato da tutti i numeri reali
2
2
che non annullano il denominato re.
I valori da escludere sono le soluzioni dell' equazione
x  2 x  1  0 cioè x  x  1. Quindi un solo valore.
2
1
2
Di conseguenz a il dominio è dato dai seguenti due intervalli :
x  1, x  1.Si può dire altrimenti , per x  1.
Il primo è illimitato a sinistra, aperto e limitato a destra
Il secondo è aperto e limitato a sinistra, illimitato a destra
Grafico
Altri esempi
Sommario
Trova il dominio della seguente funzione :
x -1
x2  4
In questo caso il dominio è dato da tutti i numeri reali
y
x -1
che rendono
 0. Infatti il radicando di una
2
x 4
radice di indice pari deve essere  0.
Bisogna quindi risolvere una disequazio ne fratta, le sue
soluzioni sono il dominio della funzione.
Le soluzioni, in questo caso, sono date dagli intervalli :
- 2  x  1 ed x  2.
Il primo è limitato, aperto a sinistra , chiuso a destra.
Il secondo limitato, aperto a sinistra, illimitato a destra.
Grafico
Tali intervalli sono il campo di esistenza della funzione.
Altro Es. radicali
Altri esempi
Sommario
Trova il dominio della seguente funzione :
y  3  2x  x2
In questo caso il dominio è dato da tutti i numeri reali
che rendono 3  2 x  x 2  0.( Il radicando di una radice
di indice pari deve essere  0)
Bisogna quindi risolvere una disequazio ne di 2, le sue
soluzioni sono il dominio della funzione.
Le sue soluzioni sono date dall' intervallo : - 1  x  3.
Tale intervallo è limitato, chiuso a sinistra ed a destra.
Grafico
Altri esempi
Sommario
Trova il dominio della seguente funzione :
x1
x2  9
In questo caso il dominio è dato da tutti i numeri reali
y  log
x1
 0. Infatti l' argomento di un
2
x 9
logaritmo può essere solo positivo (  0).
che rendono
Bisogna quindi risolvere una disequazio ne fratta, le sue
soluzioni sono il dominio della funzione.
Le sue soluzioni, in questo caso, sono date dagli intervalli :
- 3  x  1 ed x  3.
Il primo è limitato, aperto a sinistra ed a destra.
Il secondo limitato, aperto a sinistra, illimitato a destra.
Tali intervalli sono il campo di esistenza della funzione.
Grafico
Altro Es. logaritmi Altri esempi
Sommario
Trova il dominio della seguente funzione :
y  log (4 - x 2 )
In questo caso il dominio è dato da tutti i numeri reali
che rendono 4 - x 2  0, in quanto l' argomento di
un logaritmo deve essere maggiore di 0.
Bisogna quindi risolvere una disequazio ne di 2 grado,
le sue soluzioni sono il dominio della funzione.
Esse sono date dall' intervallo :
-2 x  2.
L' intervallo è limitato, aperto a sinistra ed a destra.
Tale intervallo è il campo di esistenza della funzione.
Grafico
Altri esempi
Sommario
Ci poniamo prima questi quesiti :
• Perché studiare una funzione ?
• Cosa significa studiare una funzione ?
• Che strumenti matematici ci occorrono
per lo studio di una funzione ?
Sommario
Il concetto di limite è uno tra i più importanti concetti
matematici ed anche uno tra i più difficili da acquisire.
Cercheremo di arrivarci in modo intuitivo adoperando anche
termini e diciture non formalmente corretti.
Partiamo da un fatto verosimile a cui voi sicuramente avete
assistito, o forse ne potreste essere stati protagonisti.
Un’ automobile sta percorrendo una strada, ad un certo
momento incomincia a sbandare e va a finire contro un
ostacolo.
Come potremo dare una risposta al seguente quesito :
Che velocità aveva l’automobile al momento dell’ impatto ?
Continua
Limiti
Prendiamo in considerazione una funzione di
cui riusciamo a calcolarci il valore:
x x
y
x 1
3
Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1.
Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1,
vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori
leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1.
Cliccare qui.
Continua
Limiti
Diamo la definizione di limite finito di una funzione in un punto con la
speranza di capire almeno i termini matematici che vengono
adoperati per formularla.
Si dice che la funzione y=f(x) ammette per x tendente
ad x0 , limite finito l e si scrive
Lim f ( x )  l
x  x0
Se fissato un numero e0 piccolo a piacere esiste un
intorno completo H del punto x0 tale che, per ogni x
appartenente ad H eccetto al più x0 , risulti
f ( x)  l  e
L’ultima disequazione si può anche scrivere sotto questa forma
Commenti
Esempi
l – e  f(x)  l + e
Limiti
Vogliamo verificare che
x3  x
2
Lim
x 1
x 1
per verificare questo limite dobbiamo risolvere questa disequazio ne
x3  x
2 e
x 1
x ( x  1)  2  e
x ( x  1)( x  1)
2 e
x 1
x2  x  2  e
Questa disequazio ne equivale al sistema
x2  x  2  e
x2  x  2  e  0
 2
 2
x

x

2


e

x  x  2  e  0
La prima disequazio ne ha per soluzioni l' intervallo
- 1 - 9  4e
- 1  9  4e
x
2
2
La seconda disequazio ne ha per soluzioni gli intervalli
x
- 1 - 9  4e
2
x
-1  9  4ε
2
Grafico
Limiti
Vogliamo verificare che
x2  x  2
3
Lim
x 1
x 1
per verificare questo limite dobbiamo risolvere questa disequazio ne
x2  x  2
3 e
x 1
x23 e
( x  2)( x  1)
3 e
x 1
x 1  e
Questa disequazio ne equivale al sistema
x  1  e

 x  1  e
Risolvendo :
x  1  e

x  1  e
Grafico
Altro esempio
Limiti
Limite infinito in un punto
Prendiamo ora in considerazione la seguente
funzione:
x
y
x 1
Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1.
Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1,
vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori
leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1.
Cliccare qui.
Continua
Limiti
Definizione di limite infinito di una funzione in un punto.
Si dice che la funzione y=f(x) , ammette per x tendente
ad x0 , limite infinito e si scrive
Lim f ( x )  
x  x0
Se fissato un numero M grande a piacere esiste un
intorno completo H del punto x0 tale che, per ogni x
appartenente ad H, eccetto al più x0 , risulti
f ( x)  M
L’ultima disequazione è equivalente all’ unione delle seguenti
disequazioni: f(x) > M ed f(x) < - M ; cioè è soddisfatta dalle
soluzioni di ambedue.
Commenti
Esempi
Limiti
Vogliamo verificare che
x 1

Lim
x0
x
per verificare questo limite dobbiamo risolvere questa disequazio ne
x 1
 M le cui soluzioni si ottengono risolvendo le seguenti
x
x 1
x 1
disequazio ni
 M;
 M
x
x
la prima soddisfatt a per
1
0x
intorno destro di 0
M -1
la seconda soddisfatt a
1
 x  0 intorno sinistro di 0
M 1
Uniti formano l' intervallo
1
1
x
M 1
M -1
Chiarament e un intorno completo di 0.
Grafico
Altro esempio
Limiti
Vogliamo verificare che
1
  per verificare questo limite dobbiamo risolvere
Lim
2
x 1 (x  1)
1
questa disequazio ne
M.
2
(x  1)
Se le soluzioni comprendon o un intorno completo di 1, il limite è verificato.
Risoluzion e :
1  M(x 2  2x  1)
0
2
(x  1)
Il denominato re per x  1 è sempre positivo (  0)
Vediamo il numeratore
1  Mx 2  2Mx  M  0 Mx 2  2Mx  M - 1  0
Equazione associata : Mx 2  2Mx  M - 1  0
Soluzioni
2M  4M 2 - 4M 2  4M 2M  4M M  M
x



2M
2M
M
M
M
M
1


1

1

M
M
M2
M
La disequazio ne è soddisfatt a dal seguente intervallo : 1 
1
1
 x  1
M
M
Chiarament e un intorno completo di 1.
Nota il valore 1 va escluso perchè annulla il denominato re.
Grafico
Limiti
Limite finito per x tendente all’infinito
Prendiamo ora in considerazione la seguente
funzione:
x
y
x 1
Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1.
Diamo ad x valori sempre maggiori in valore assoluto, cioè
valori grandi con segno positivo o negativo.
Cliccare qui.
Continua
Limiti
Definizione di limite finito di per x tendente all’infinito.
Si dice che la funzione y=f(x) , ammette limite finito l
per x tendente ad  , e si scrive
Lim f ( x )  l
x 
Se fissato un numero e piccolo a piacere, esiste un
numero N tale che, per ogni |x|>N, risulti
f ( x)  l  e
L’ultima disequazione si può anche scrivere sotto questa forma
Commenti
Esempi
l – e  f(x)  l + e
Limite infinito per x tendente all’infinito
Limiti
Vogliamo verificare che
x 1
1
Lim
x
x
per verificare questo limite dobbiamo risolvere questa disequazio ne
x 1
 1  e;
x
e constatare che è soddisfatt a per valori di x che superano i valore
assoluto un numero N molto grande.
x 1
x 1 x
1
1
 1  e;
 e;
e x 
le cui soluzioni
x
x
x
e
si ottengono unendo le soluzioni delle seguenti disequazio ni :
x
1
e
ed x  
1
e
.
Essendo e molto piccolo
1
e
 N è molto grande.
Grafico
Altro esempio
Limiti
Vogliamo verificare che
2x2  1
2
Lim
x
x2
per verificare questo limite dobbiamo risolvere la disequazio ne
2x2  1
2 e
x2
e vedere se è verificata per x in valore assoluto maggiore di un
numero N molto grande
2x2  1
2x2  1  2x2
 2  e;
 e;
x2
x2
1
e
x2
x2 
1
e
che equivale a :
1
x2 
.
e
Disequazio ne di 2 grado.
Equazione associata : x 2 
1
e
; Soluzioni x  
Disequazio ne verificata per x  -
1
e
e per x 
Essendo e un numero molto piccolo N 
Grafico
1
e
1
e
1
e

1
e
.
sarà molto grande.
Limiti
Definizione di limite infinito di per x tendente all’infinito.
Si dice che la funzione y=f(x) , ammette limite infinito
per x tendente ad  , e si scrive
Lim f ( x )  
x 
Se fissato un numero M grande a piacere, esiste un
numero N tale che, per ogni |x|>N, risulti
f ( x)  M
L’ultima disequazione equivale alle seguenti due disequazioni
f(x) >M ; f(x)< -M
Commenti
Limiti
Concetto intuitivo di limite
Limite finito in un punto
Limite infinito in un punto
Limite finito all’ infinito
Limite infinito all’ infinito
Utilità dei limiti
Calcolo dei limiti
Funzioni continue
Asintoti
Sommario
Utilità dei limiti nello studio di funzione
Dopo aver dato le varie definizioni di limite, vediamo a cosa
servono ilimiti nello studio di funzioni.
Essenzialmente il calcolo dei limiti ci serve per conoscere il
comportamento della funzione, che si sta studiando, agli estremi
del campo di esistenza.
Cioè, dopo che noi abbiamo trovato gli intervalli che formano il
campo di esistenza, dobbiamo vedere come si comporta la
funzione avvicinandosi a gli estremi di detti intervalli.
Dobbiamo vedere se la funzione tende ad un valore finito, se ha
un andamento asintotico, o un ramo parabolico .
Limiti
Abbiamo dato il concetto di limite, abbiamo visto come si possa
verificare l’ esistenza oppure no di un limite in un punto o all’infinito.
Vediamo ora come si opera, normalmente, per calcolare un limite.
Come prima operazione si sostituisce, nell’ espressione della funzione,
ad x il valore per cui si deve trovare il limite e si vede cosa capita.
I casi, che si possono presentare, si possono assimilare, nella
maggior parte delle volte, a questi tre :(Note per il calcolo)
1.
Il calcolo si può fare senza nessun problema: il valore trovato è
proprio il limite cercato. (Esempi)
2.
Nel calcolo entrano, come operandi, 0 (zero) o  (infinito), ma
ciononostante, calcolare il limite. (Esempi)
3. Nel calcolo si presenta una forma indeterminata, ed allora si cerca
qualche artificio per cercare il valore del limite.(Esempi)(Esempi)
Limiti
Si dice che una una funzione f(x) definita in un intervallo (a,b)
è continua in un punto c (interno a questo intervallo), se
risulta:
Lim f(x) = f(c)
xc
.
.
. .
In altre parole, f(x) è continua in un punto c quando:
1. La funzione f(x) esiste nel punto c
2. La funzione f(x) ammette limite per x --> c
3. Il valore del limite coincide col valore della funzione in c
Quando una funzione è continua in tutti i punti dell’intervallo
(a,b), si dice che la funzione è continua nell’intervallo (a,b).
Continua
Limiti
Abbiamo visto quando una funzione è continua in un punto.Se
non è continua si dice discontinua. Il punto in cui non è continua si
dice punto di discontinuità.
I punti di discontinuità possono essere di tre specie :
Prima specie: Un punto di discontinuità si dice di Ia specie, se in tale
punto la funzione ammette limite destro, ammette limite sinistro, ma tali
limiti non coincidono.(Esempio)
Seconda specie: Un punto di discontinuità si dice di IIa specie, se
in tale punto almeno uno dei limiti destro o sinistro, o è infinito o non
esiste(Esempio)
Terza specie: Un punto di discontinuità si dice di IIIa specie, se in
tale punto la funzione ammette limite destro, ammette limite sinistro,
tali limiti coincidono ma la funzione in quel punto o non esiste, o se
esiste ha un valore diverso dal valore del limite. In questo caso si parla
di discontinuità eliminabile. (Esempio)
Limiti
Una retta r è detta asintoto della curva y=f(x) se la distanza, di
un punto P(x,y) della curva, dalla retta r tende a zero, quando il
punto indicato si allontana indefinitamente dall’origine delle
coordinate.(Quando almeno una delle due coordinate del punto P
tende all’infinito)
Se la retta r è parallela all’asse x si dirà asintoto verticale
cioè sarà del tipo x=k. Esempio
Se la retta r è parallela all’asse y si dirà asintoto orizzontale
cioè sarà del tipo y=k. Esempio
Se la retta r non è parallela né all’asse x, né all’asse y si dirà
asintoto obliquo, cioè sarà del tipo y=mx+q.
Bisogna trovare sia m che q per determinarlo. Esempio
Limiti
Concetto di derivata
Definizione di derivata
Regole di derivazione
Significato geometrico della derivata
Sommario
Concetto di derivata
Consideriamo due problemi già incontrati anche in altre
discipline : il calcolo del costo marginale (Tecnica, Economia), la
ricerca della tangente ad una curva.
Costo marginale : Il costo marginale è sicuramente stato definito
come il costo che si sostiene per produrre una unità aggiuntiva di
prodotto e per calcolarlo supposto che C(x) sia la funzione costo
C(x0+1)-C(x0)
totale si opera in questo modo :
(x0+1)-x0
Supponiamo che invece di produrre una unità in più volessimo
vedere la tendenza del costo totale per produrre qualcosa ( h ) in
più, il costo sarebbe :
C(x0+h) – C(x0)
C(x0+h) – C(x0)
(x0+h) - x0
h
Il costo marginale
si definisce come :
Lim C(x0+h) – C(x0)
h ->0
h
Continua
Derivate
Vediamo ora il problema della tangente ad una curva :
Prendiamo due punti sulla curva P e Q corrispondenti alle
ascisse x0 ed x0 +h, avranno come ordinate f(x0 ), f(x0 +h)
troviamo la retta congiungente i due punti, che taglierà la curva
in P ed in Q :
Retta per due punti P(x 1 , y 1 ), Q(x2 , y 2 ) :
y - y1
x - x1

y 2  y 1 x 2  x1
y - y1 
Il coefficiente angolare é
y 2  y1
( x - x1 )
x 2  x1
y 2  y1
x 2  x1
Nel nostro caso P(x 0 , f(x0 ), Q(x0  h, f(x0  h) ) :
y - f(x0 ) 
f(x0  h)  f(x0 )
(x - x0 )
(x0  h)  x 0
Il coefficiente angolare é
y - f(x0 ) 
f(x0  h)  f(x0 )
h
f(x0  h)  f(x0 )
(x - x0 )
h
Grafico
Derivate
Definizione di derivata
Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto
x0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto
incrementale, al tendere a 0 dell’ incremento h
della variabile indipendente.
f ( x0  h)  f ( x0 )
f ( x0 )  Lim
h0
h
'
Quando si vuole generalizzare prendendo invece di x0 un
punto generico qualsiasi si scrive :
f ( x  h)  f ( x )
f ( x )  Lim
h0
h
'
Esempio
Derivate
Abbiamo dato la definizione di derivata, abbiamo visto che la
derivata di una funzione, calcolata per un generico valore x, è
essa stessa una funzione.
Ci chiediamo ora se, per calcolare una derivata, dobbiamo
sempre calcolarci il limite del rapporto incrementale.
Rispondiamo subito di no. Ci sono le regole di derivazione,
applicando le quali, data una qualsiasi funzione f(x) possiamo
calcolarci f ’(x).
Abbiamo visto da esempi precedenti, calcolando il limite del
rapporto incrementale, che :
Data f(x) = x2 – 2x + 3
f ‘(x) = 2x – 2
Data f(x) = x3 + 3
f ‘(x) = 3x2
Continua
Derivate
Enunciamo ora le regole di derivazione più semplici che però
ci daranno la possibilità di derivare la quasi totalità delle
funzioni che ci si presenteranno :
f(x)=
f ‘(x)=
k
0
Esempi
xn
nxn-1
Esempi
f(x)*g(x)
f ’(x)*g(x)+f(x)*g’(x)
Esempi
f(x)
g(x)
f ’(x)*g(x) - f(x)*g’(x)
g(x)2
Esempi
f(g(x))
f ’(g(x))*g’(x)
Esempi
Derivate
Una funzione f(x), definita in un intervallo (a,b), si dice
crescente nell’intervallo (a,b) se per ogni coppia di valori x1
, x2 con x2> x1 risulta f(x2)> f(x1) (esempi 1, 2)
(Detto in altre parole :Una funzione è crescente in un intervallo (a,b) se al
crescere di x cresce anche y)
Una funzione f(x), definita in un intervallo (a,b), si dice
decrescente nell’intervallo (a,b) se per ogni coppia di valori
x1 , x2 con x2> x1 risulta f(x2)< f(x1).(Esempi 1, 2)
(Detto in altre parole :Una funzione è decrescente in un intervallo (a,b) se al
crescere di x , y decresce)
Esempi di funzione con intervalli di crescenza e intervalli di
decrescenza 1, 2
Sommario
Diciamo subito, visto che spesso si fa confusione che si
deve distinguere tra due tipi di Massimo(Minimo): Massimo
assoluto e Massimo relativo. I due concetti sono
profondamente diversi.
Il massimo assoluto (Minimo assoluto) non è altro che il più
grande (il più piccolo) valore assunto dalla funzione ed è
unico.
Un punto x0 è di massimo relativo (minimo relativo) se esiste
un intorno H di tale punto tale che per ogni x H risulta
f(x)f(x0 )
[f(x)  f (x0 ) minimo relativo].
Commenti
Esempi(1,2,3,4)
Sommario
Abbiamo visto che la derivata di una funzione ci dà il coefficiente
angolare della tangente alla curva nel punto in cui si calcola la
derivata.
Ricordiamo che se una retta ha coefficiente angolare nullo è parallela
all’asse x, se ha coefficiente angolare > 0 (positivo) forma un angolo
minore di 90° con l’asse x, se ha coefficiente angolare < 0 (negativo)
forma un angolo maggiore di 90° con l’asse x.
Possiamo dire che: dove la derivata prima è > 0(positiva), la tangente
ha coefficiente angolare >0 e di conseguenza la funzione è
crescente. (Grafico)
Dove la derivata prima è < 0(negativa), la tangente ha coefficiente
angolare <0 e di conseguenza la funzione è decrescente. (Grafico) .
Dove la derivata prima è =0 (nulla), la tangente ha coefficiente
angolare =0 e di conseguenza la funzione è ha un massimo relativo o
un minimo relativo o un flesso. (Grafico)
Derivate