Misura delle masse del Kaone neutro e carico
con il rivelatore KLOE a DaFne
Stage ai Laboratori Nazionali di Frascati dell’INFN fase b 2005
A. Catzola, A. Di Biasi, A. Di Lodovico, G. Tirabassi, A. Arena,
Fiumara
T.
1
Le trasformazioni di Lorentz
x'   ( x  vt)
y y
z'  z
con
t '   (t 
 
vx
)
2
c
y’
y
1
 
'
P(x;y)
1   
2
v
c
S’ e’ in moto con
velocita’ V rispetto
al sistema di
riferimento S
S’
V
x’
S
x
2
Le trasformazioni di Lorentz
Lorentz introduce queste equazioni per rendere covarianti le equazioni di Maxwell. Einstein
le ricava dai 2 postulati della relativita’ ristretta
Applicando le trasformazioni di Lorentz al quadrivettore energia-impulso si ottiene:
cp x'   (cp x  E )
E '   ( E  cpx )
Questo è la rappresentazione dello spazio-tempo su un piano cartesiano (prima e dopo aver
applicato le trasformazioni):
ct
ct’
ct
x’
x
x
3
Quadrivettori
1) Caratterizzati da una componente temporale e tre componenti spaziali:
Vμ=(V0,Vx,VY,VZ)
V0'   (V0  Vx )
Vx'   (Vx  V0 )
Trasf. Lorentz
Vy'  Vy
Vz'  Vz
Il modulo quadro di un quadrivettore e` cosi` definito:
V02  V
2
 V02  Vx2  V y2  Vz2
puo’ essere negativo
esso e’ un invariante ovvero:
2
V'  V
2
4
Invarianti
Qualunque sia il sistema di riferimento il valore del modulo dei quadrivettori non
cambia. Possiamo dire dunque che e’ un invariante.
P  m0  c
2

2 2
Assumendo c=1 otteniamo:
P  m0 
2
2
Anche la massa a riposo e’ dunque un invariante
5
Statistica
Abbiamo utilizzato alcune nozioni di statistica per:
•
•
•
Definire il valore medio di una distribuzione
L’errore sul valor medio
L’accordo della distribuzione con una gaussiana
6
LNF Stage 2005 A. Catzola, A. Di Biasi, A. Di Lodovico
Medie ed errori
Varianza:
Valore medio:
N
x
x
i
i 1
N
Deviazione standard:

x  x

var 
2
i
N 1
  var 
1
2
Errore sul valore
medio:
/N
Valore del chi-quadro:
N
ni  vi 
i 1
ni
 
2
2
ni= numero di eventi dell’intervallo i-esimo
ni = valore aspettano
7
Il Kaone
Il Kaone e’ prodotto nel decadimento del mesone Φ
K0(K+)
Φ
K0(K-)
La Φ puo’ decadere in differenti modi, tra i quali:
- una coppia di kaoni carichi (K+ e K-)
- una coppia di kaoni neutri (K0 e K0).
In ognuno di questi due casi si ha una coppia particella/anti-particella
8
Caratteristiche dei decadimenti
L’energia e l’impulso dei prodotti di decadimento del Kaone dipendono dallo
stato di moto del kaone stesso:
1) possiamo considerare il sistema del centro di massa del Kaone, in cui il
kaone e` in stato di quiete…
2)…o il sistema di riferimento in cui la Φ e’ in quiete ed il kaone in moto

1)
2)
μ
K+
ν
π+
K0
Φ
πK0
n
K+
Φ
K-
K0
ππ+
9
Energia del μ nel decadimento K++n
A causa del moto del K+, l’energia del  non ha un unico valore, ma e’ distribuita
nel seguente intervallo:



'
'
'
 E   P  E   E +  P
'

il coseno e’ una funzione
limitata tra -1 e 1
derivante dalla formula:

'
E   E +  P cos  '
'

y
y’

Visto che nel decadimento a riposo della f i
Kaoni carichi sono prodotti con un impulso di
~127MeV/c, abbiamo calcolato con le formule
sopra i limiti dello spettro di energia del ,
che sono:
PK +
EK +
 0.25
+
β
p’
θ’
p ' cos  '
x’
x
217 MeV e 313 MeV
10
Spettro di energia del μ nel decadimento K++n
misurato da KLOE
MeV
217 MeV
313 MeV
11
La massa del Kaone carico
Per calcolare la massa del kaone carico, abbiamo scelto il decadimento K++n.
La massa invariante e’ calcolata in base alle tracce lasciate nella camera di Kloe dai
suoi prodotti di decadimento tramite le formula:
•
•
2
K+
m
2
 ( E + En )  PK +
2
-
dove si misurano gli impulsi del K carico e
del muone, mentre l’impulso del neutrino e’
ricavato dalla conservazione dell’impulso:
+
+
m
2
K+
2

 2 2
2
 ( P + m + PK +  P )  PK +
En=|Pn|, perche’ mn=0
12
•
Il valor medio della massa e’ data dalla media della distribuzione ottenuta:
mK
m


N
i
K


N
deviazione standard della
distribuzione
MeV
Abbiamo ottenuto il seguente valore:
mK+=(493.80±0.05) MeV
13
Decadimento della Φ in K0 e K0
π+
K0
s
Φ
d
π-
s
s
K0
s
d
I decadimenti in 2 corpi sono i piu’ semplici
e i piu’ studiati in fisica delle particelle elementari
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LNF Stage 2005 A. Catzola, A. Di Biasi, A. Di Lodovico
Decadimenti in due corpi di particelle
Nel caso del decadimento della F in
kaoni, poiche` i prodotti di
decadimento sono di uguale massa,
l’energia dei kaoni nel sistema a
riposo della F sara’:
Calcoliamo E e P del kaone nel
centro di massa della f:
f
 K 0 K 0
E 
*
k0
2
k0
2
mF

2
2mf
P  E m
*
k0
E
mf + m  mk 0
2
*
k0
2
k0
2
k0
2
1
Ek*0 
1019.417
 509.71Mev
2

P  509.708  497.67
*
k0
LNF Stage 2005 A. Catzola, A. Di Biasi, A. Di Lodovico
2

1
2 2
 110.12Mev
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Spettro di energia dei kaoni nel sistema di
riferimento del laboratorio
In DaFne il mesone F non e’ prodotto proprio a riposo ma ha un piccolo impulso,
dell’ordine della decina di MeV/c. Non ci troviamo piu` nel centro di massa quindi i kaoni
hanno uno spettro di energia di cui noi abbiamo calcolato i limiti utilizzando le
trasformazioni di Lorentz
Sistema a riposo della F
E= γ(E*– β P* cosθ )



 EK*   PK*  EKLab   EK* +  PK*
0
0
0
0
0

K0
β
θ
Sistema del Laboratorio
F
K0
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LNF Stage 2005 A. Catzola, A. Di Biasi, A. Di
Energia del K0 a DAFNE
EK0 = Ep+ + Ep



 EK*   PK*  EKLab   EK* +  PK*
0
0
0
0
0

Applicando le trasformazioni di
Lorentz abbiamo calcolato i
limiti della distribuzione in
energia del K0 prodotto nel
decadimento della f a DaFne
(Pf ~13 MeV)
508.3Mev  Eklab0  511.2Mev
in accordo con quanto misurato da KLOE
17
MeV
La massa del Kaone neutro
• La massa del Kaone neutro e’ calcolata in base alle tracce lasciate nella
camera di Kloe dai suoi prodotti di decadimento. Consideriamo come gia’
detto il decadimento K0p+p-:
m2  ( Ep + + Ep  ) 2  PK20

m  P +m + P +m
2
2
p+
2
p+
2
p
2
p
  (P
2
p
+
+ Pp  )2
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Misura della massa del K0
mK
m

2 
N
i
K


N
2


m

m
 i
N 1
Media ottenuta con dati che si riferiscono
all’istogramma riportato in figura.
Abbiamo considerato gli intervalli
con piu’ di 15 eventi (ni > 15)
mk 0  497.62  0.01 Mev c 2
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Misura della massa del K0
Calcolo del chi quadro dei valori
utilizzati nella media:
N
2 
 n
i 1
i
2
 vi 
vi
Assumendo che i dati siano
distribuiti secondo una gaussiana:
 2   ( Ni 
N  Bin 
e
2p  
( mi 0  m
K
2
K0
2
)2
)2 / Ni
  / d .o. f .  306.5 / 278
Il chi quadro ridotto e’ ~1
20
Conclusioni
•
Abbiamo calcolato i limiti di energia del K0 prodotto dal decadimento della f a
DAFNE e del + prodotto dal decadimento del K+ +n. Essi sono risultati in
accordo con le distribuzioni sperimentali misurate da KLOE.
•
Abbiamo misurato le masse del Kaone neutro e carico ottenendo i seguenti valori:
MK+ = (493.80±0.05) MeV
MK0 = (497.62±0.01) MeV
•
Abbiamo valutato solo gli errori statistici. Per completare la misura occorre valutare le
sistematiche dell’esperimento.
•
I valori ottenuti sono consistenti con la media mondiale:
MK+ = (493.677±0.016) MeV
MK0 = (497.648±0.022) MeV
Stage ai laboratori nazionali di Frascati dell’infn fase B 19-30 giugno 2005,
A. Arena, A. Catzola, A. Di Biasi, A. Di Lodovico, T. Fiumara, G. Tirabassi. 21