Simmetrie e leggi di conservazione
1. Costituenti della materia
2. Le forze fondamentali
3. Simmetrie e leggi di conservazione
4. Cinematica relativistica
5. Il modello a Quark statico
6. L’interazione Nucleare Debole
7. Introduzione al Modello Standard e massa del Neutrino
8. Violazione di CP nel Modello Standard
“Mandala delle Cinque Divinità”
Tibet, dipinto nel XVII secolo
La parola è utilizzata, anche, per indicare un
diagramma circolare costituito, di base,
dall'associazione di diverse figure geometriche], le più
usate delle quali sono il punto, il triangolo, il cerchio ed
il quadrato. Il disegno riveste un significato spirituale e
rituale sia nel Buddhismo che nell'Hinduismo.
“Mandala”
da it.wikipedia.org
Simmetrie di un sistema fisico:
Sistema
classico
Formalismo
Lagrangiano
Formalismo
Hamiltoniano
Invarianza Equazioni del Moto
Sistema
quantistico
Formalismo
Lagrangiano
Formalismo
Hamiltonianl
•Invarianza Eq. Dinamica
•Invarianza relazioni di commutazione
(Invarianza della probabilità)
Il Teorema di E. Noether (teorie di campo lagrangiane, quantistiche e no)
stabilisce una relazione tra simmetrie e quantità conservate di un sistema
Un esempio “classico”:
T 

1 2 1
m1r1  m2 r22
2
2
 
r1  r2
 
V  V (r1  r2 )

 


m1r1    V (r1  r2 )
r1

 


m2 r2    V (r1  r2 )
r2

'  
Se facciamo una traslazione:
ri  ri  ri  a
 
   
 
V (r1  r2 )  V (r1  a  r2  a) V (r1  r2 )
'
 


mi ri    ' V (r1  r2 )
ri
Le equazioni del moto
sono invarianti per
traslazione
Se calcoliamo la forza totale che agisce su 1 e 2:

 
 
 
 
 




FTOT  F1  F2    V (r1  r2 )   V (r1  r2 )   V (r1  r2 )   V (r1  r2 )  0
r1
r2
r2
r2


dPTOT
 FTOT  0
dt
Nel formalismo lagrangiano classico:
L  L(qi , qi )
d L L

0

dt qi qi
L
pi 
qi
Invarianza di L rispetto q
dpi
L

dt
q i
p conservato
Nel formalismo Hamiltoniano
qi  qi , H 
p i  pi , H 
d (qi , pi )
  , H 
dt
Eventuale conservazione
di una quantità dinamica
Eventuale simmetria
Questo formalismo si trasporta facilmente al caso della Meccanica Quantistica
In Meccanica Quantistica si può partire dall’Eq. Di Schroedinger :

i   s (t )  H  S (t )
t
 s (t )  exp  i(t  t0 ) H /  S (t0 )
T (t , t0 ) Evoluzione temporale (unitaria)
Descrizione di Schroedinger e di Heisenberg :
Q   s (t0 )* Q(t ) S (t0 ) dV   S (t )* Q0  S (t ) dV
 S (t0 )* Q(t ) S (t0 )   S (t )* Q0  S (t )
Heisenberg
Schroedinger
 S (t0 )* Q(t ) S (t0 )   S (t0 )* T 1Q0 T S (t0 )
Q(t )  T 1Q0 T
Operatori nella descrizione di Heisenberg
Derivando:
d
dT 1
dT
i Q(t )  i
Q0 T  iT 1Q0
  HT 1Q0T  T 1Q0TH
dt
dt
dt
i
d
Q(t )   HQ  QH  Q, H 
dt
d
Q
i Q(t )  i
 Q, H 
dt
t
Quantità conservate:
commutano con H
Nel caso in cui vi sia una dipendenza
esplicita dal tempo (sistemi non isolati)
Invarianza traslazionale: una simmetria continua
 
 
 (r  r )  (r )  r
 1  r
  D
r 
r 
 i

D (r )  1  p  r 
 

L’operatore traslazione è naturalmente
associato al momento
Traslazione finita
n
 i

i

D (r )  lim 1  p  r   exp  p r 
n 
 



unitario
( r  n  r )
Autoaggiunto: è il generatore delle traslazioni spaziali
Se H non dipende dalle coordinate
D, H  0
 p, H  0
Il momento si conserva
Invarianza rotazionale: una simmetria continua

   i

  1  J z  
R ()  1   
   


L’operatore rotazione è naturalmente
associato al momento angolare
 
 

J z   i   x  y    i
x 

 y
Operatore momento
angolare attorno
asse z (angolo phi)
Autoaggiunto: è il generatore delle rotazioni
Rotazione finita
unitario
n
 i

i

R ( )  lim 1  J z    exp  J z  
n 
 



  n
Se H non dipende dall’angolo di rotazione φ attorno all’asse z
R, H  0
J z , H  0
Il momento angolare si conserva
Invarianza temporale continua
Si potrebbe anche procedere come prima costruendo il generatore delle
traslazioni temporali (l’energia H), ma basta osservare che
i
d
Q
H (t )  i
 Q, H 
dt
t
i
d
H
H (t )  i
 H , H 
dt
t
Se H non dipende da t, l’energia si conserva
Simmetrie continue e gruppi: SU(2)
Combinazione di due trasformazioni: dipende dalle regole di commutazione
dei generatori del gruppo
 pi , p j   0
Algebra commutativa (Abeliana) delle traslazioni
Operatore traslazione lungo asse x:
i

Dx ( )  exp  p x  


i

i

i

i

Di ( ) D j (  )  exp  pi   exp  p j    exp  p j   exp  pi   D j (  ) Di ( )








(due traslazioni commutano). Inoltre:
i

i

i

Dx ( ) Dx (  )  exp  p x   exp  p x    exp  p j (   )   Dx (   )






e ovviamente
i

Dx (0)  exp  p x 0   1


Nel caso delle rotazioni:
Regole di commutazione per i generatori:
i

Rz ( )  exp  Lz  


L , L  i 
j
k
jkl
Ll
Algebra non commutativa
Rotazioni attorno ad assi diversi in genere non commutano
Nel caso di un sistema quantistico a due livelli, le trasformazioni sono descritte dal
gruppo SU(2) (due dimensioni) che ha struttura algebrica simile a SO(3) (rotazioni
in 3 dimensioni)
Simmetria di Isospin
Si consideri un sistema quantistico a due stati (originariamente il neutrone e il
protone, che per quanto riguarda le forze nucleari potevano essere considerati
degeneri). Siccome degeneri, potevano essere ridefiniti arbitrariamente:
H p  E p
 p   'p   p   n
H 'p  E 'p
H n  E n
 n  n'   p   n
H n'  E n'
Degenerazione
Ridefinizione
Doppia degenerazione simile a ciò che avviene nei sistemi a s=1/2.
La degenerazione viene rimossa da un campo magnetico
Si può allora introdurre lo spinore a due componenti:

(1/ 2 )
 p 
    p  1p/ 2  n  n1/ 2
 n 

1/ 2
p
1 
  
 0

1/ 2
n
0
  
1 
 (1/ 2)   (1/ 2) '  U  (1/ 2)
La ridefinizione precedente diviene:
Simmetria proposta per le interazioni forti (rotta dalla parte elettromagnetica)
U U  1
det U   1
U 1  i
Gruppo di Lie SU(2)
Proprietà determinate dalle trasformazioni infinitesime
  
(1  i )(1  i )  1

Tr   0
det U   1

Può essere scritto nella forma generale:

 
2
Matrici di Pauli
0 1
1   
1 0
0  i 
2 

i
0


1 0
3  

0

1


 i  j 
k
 ,   i  ijk
2
2 2
1  2 (1/ 2 ) 3 (1/ 2 )
 p  p
4
4
1  2 (1/ 2 ) 3 (1/ 2 )
 n  n
4
4
1
1 (1/ 2 )
(1 / 2 )
3  p   p
2
2
Isospin
1
1 (1/ 2 )
(1 / 2 )
 3 n   n
2
2
 
 'p  
 
   1  i    p 
 
 '  
2

 n
 n
Una rotazione infinitesima del doppietto p-n:
Una rotazione finita in SU(2):
 



U  lim 1  i
  exp i / 2
n 
n
2


2

(1/ 2 ) '

 exp i / 2 (1/ 2)
• Generalizzazione di una trasformazione globale di fase
• Tre angoli di fase
• Operatori non commutanti (Invarianza di fase non abeliana)
Il sistema a due nucleoni
Prendiamo una di queste trasformazioni:
 
 'p  cos 2
 
 '   
 n
sin
 2
 sin

2   p 
 
   n 
cos
2 
Uno stato a due nucleoni può essere:
1
 pn  np 
2
1
 pn  np 

2
 1  pp
2 
 3  nn
4
In seguito a questa rotazione:
 4'   4
I  1 ( I 3  1,0,1)
I  0 ( I 3  0)
Singoletto di isospin
Gli altri tre stati si traformano l’uno nell’altro in rotazioni di isospin, come
farebbe un vettore nello spazio 3-d per rotazioni ordinarie
Invarianza per isospin significa che vi sono due ampiezze, I=0 e I=1
E significa che gli stati con I=1 sono tra loro indistinguibili (interazione forte)
Simmetrie di gauge (globali e locali)
Sono simmetrie continue (gruppo continuo) che possono essere locali o
globali.
Globali: quantità conservate (carica elettrica)
Locali: nuovi campi e loro leggi di trasformazione (teorie di gauge)
Consideriamo l’Equazione di
Schoedinger
 2  2
  

 
  V (r )  (r )  E (r )
 2m

Consideriamo una trasformazione di fase globale: il cambio di
fase è lo stesso in tutti i punti


i
 (r )  e  (r )
L’equazione di Schroedinger è invariante per tale trasformazione. Tale invarianza
è associata (T. di E. Noether) alla conservazione della carica elettrica
Ma cosa succede se consideriamo una
trasformazione di gauge locale ?

  k     (r )


i
 (r )  e  (r )



i ( r )
 (r )  e  (r )
Come si fa a garantire l’invarianza di gauge locale?



i ( r )
 (r )  e  (r )

 2  2
  i ( r ) 

i ( r )
 
  V (r )  e
 (r )  E e  (r )
 2m

Non invariante! Il problema deriva dal fatto che:


 

 i  ( r ) 


 

i
i ( r )
 e  (r )  e i      e
 ( r )
extra termine !
Per risolvere il problema possiamo introdurre un nuovo campo!
E la sua legge di trasformazione!
Dal momento che l’Eq. Di Schroedinger libera non è invariante per:
 
 2

 i
 
 ( x, t )  i   ( x, t )
2m
 t 
   e
'
La modifichiamo introducendo:

' 

G  G  G  q

Campi compensanti

Che si trasformano:

i q  ( x ,t )

  2

 i  G

 
 ( x , t )  i   R  ( x , t )
2m
 t

R  R '  R  iq


t
In questo modo l’invarianza viene ripristinata


Gq A
Per dare un significato fisico, scegliamo:
R  iqV


'

 i  qA
2m
  ( x, t )  i    iqV
 2


 i  qA

 
 ( x , t )  i   iqV  ( x , t )
2m
 t


'  
A  A  A  
E si ha l’invarianza:
  '  eiq
V  V ' V   t 

2
'
L’invarianza di gauge locale del campo di Schroedinger
• richiede il campo EM
• ne stabilisce la legge di trasformazione
 t
'
 ' 
 ( x , t )

Vi sono molti altri esempi del principio di gauge
In physics, a gauge principle specifies a procedure for obtaining an
interaction term from a free Lagrangian which is symmetric with respect to a
continuous symmetry -- the results of localizing (or gauging) the global
symmetry group must be accompanied by the inclusion of additional fields
(such as the electromagnetic field), with appropriate kinetic and interaction
terms in the action, in such a way that the extended Lagrangian is covariant
with respect to a new extended group of local transformations.
LIBERO
INTERAGENTE
 
 2

 i
 
 ( x, t )  i   ( x, t )
2m
 t 
 2


 i  qA

 
 ( x , t )  i   iqV  ( x , t )
2m
 t



Simmetrie discrete: P,C,T
Le simmetrie discrete descrivono cambiamenti non continui di un sistema (non
possono essere ottenute integrando trasformazioni infinitesime).
Questi cambiamenti sono associati a gruppi di simmetria discreti
Parità P
 x   x 
   
Inversione di tutte le coordinate spaziali: P:  y     y 
 z   z 
   


P (r )  (r )
Il determinante di questa trasformazione è -1. Mentre le rotazioni sono



PP (r )  P (r )  (r )
Inoltre è autoaggiunto:
PP  1
 P   dr  * (r ) (r )   dr  * (r ) (r )  P 
Operatore unitario.
Autovalori: +1, -1 (se stati a parità definita)
Autostati: stati a parità definita
PP 1  P  P
H , P 0
La parità è conservata in un sistema se
L’esempio del potenziale centrale:



PH (r )  H (r )  H (r )




P, H  (r )  PH (r )  H (r ) P (r ) 




H (r ) (r )  H (r ) (r )  0
Gli stati legati di un sistema a simmetria centrale hanno parità definita.
Ad esempio l’atomo di idrogeno
Atomo di idrogeno: autofunzioni senza spin :
      

P :    
      
P : Yl m ( ,  )  (1) l Yl m ( ,  )
Transizioni di Dipolo Elettrico ∆l = ± 1
 (r , ,  )   (r ) Yl m ( ,  )
Parte radiale
Armoniche sferiche
P ( )  1
Considerazioni generali sulla parità
Trasformazione discreta: operazione di inversione spaziale
delle coordinate:
x,y,z  -x, -y –z
Questa operazione è prodotta dall’operatore parità P
P(r) = (-r)

Cosa si intende classicamente per la riflessione spaziale ?
 Nello spazio a 3 dimensioni, la terna -r si può pensare
ottenuta della terna +r eseguendo prima una
rotazione e poi una riflessione
zz
Rotazione 180
gradi attorno a z
az
x
x
yy


z
yx  -x, y -y, z-z y
z -z
y
Riflessione
rispetto al piano
xy
x
x
y
y

Es.:
=cosx, P cos(-x)=cos(x) = + positiva (P=+1)
=sinx, P sin(-x)=-sin(x) = - negativa (P=-1)
Mentre
=cosx+sinx, P cosx-sinx  ± non ha P definita

Scalare: (temperatura o pressione, prodotto scalare fra 2
vettori polari, prodotto scalare fra 2 vettori assiali): è una
quantità che non dipende dall’orientazione del sistema di
coord. ed è invariante per riflessione

Vettori (o vettori polari):
 r, p… velocità, impulso, campo E
 Sotto l’operazione P cambiano segno
 Consideriamo l’operazione P come
Riflessione(R)+Rotazione (Ro)
z
Una rotazione più una riflessione speculare rispetto
ad un piano è equivalente ad una inversione dei 3 gli
assi.
Le equazioni del moto o la Lagrangiana sono
invarianti per rotazione, la loro invarianza per la
trasformazione r -r equivale all’invarianza per la
riflessione speculare, cioè rispetto a un piano
R+Ro
vv
p rp rotazione
zione
R
R+Ro
v
p rotazione
Azione della parità su quantità fisiche notevoli
Posizione:


P: r  r
Momento:
Momento angolare:
P: t  t




dr
dr
P: pm
   p
dt
dt
  

 
P : L  r  p  (r )  ( p)  L
Tempo:
Carica:
Corrente:
P:
Campo E:

P: E
Campo B:

P: B  k
Spin:
P: q  q




J  v  v J



r
r
 kq 3  kq 3  E
r
r
 



s r
( s )  (r )
I  k
I B
2
2
r
r
P: s  s
Parità di sistemi composti: prodotto delle parità delle parti
Parità: spaziale e instrinseca delle particelle: il pione
s  0, sd  1  s1  1 / 2, s2  1 / 2
L0
   d n n
d: parità positiva
J  L  S 1
Conservazione del momento angolare: J=1= L+S
(1) LS 1   1
Simmetria globale n+n
P ( n, n )   1
P(  )   1
L  1, S  1
L  S pari con J  1
Alcune parità intrinseche non sono osservabili (protone, neutrone) e sono
convenzionali (+1 in questo caso).
Parità del pione neutro, dalla polarizzazione delle coppie in :
 0   , e  e  e  e 
P( 0 )   1
J P  0  : pseudoscalari ( )
J P  0  : scalari

J 1 : vettori
P
Diverse proprietà di trasformazione per
rotazioni e riflessioni spaziali
J P 1 : vettori assiali
P(particella) = - P (antiparticella)
FERMIONI
P(particella) = P (antiparticella)
BOSONI
Coniugazione di carica C
Cambia i segni delle cariche (e dei momenti magnetici)
Isospin
Simmetrie di Gauge
Numeri di particelle: barionico e leptonico