Abelian &Non-Abelian
transformations
Abelian
groups
transformations
commute
U1 1U 2 1  U 2 1U1 1
Non-Abelian
groups
transformations do
not commute
SU1 2SU 2 2  SU 2 2SU1 2
phase
invariance in
QED
isospin yang-mills
theory
Non-Abelian Guage global Symmetry
Fino al ~ 1948: simmetrie di gauge
per costruire la elettrodinamica
quantistca (QED): l’invarianza di
gauge come controllo dei calcoli e non
come generatore di forza
invarianza per rotazione
nello spazio di spin
isotopico delle interazioni
forti.
“Any non-Abelian
global symmetry not
hidden reveal itself
in the existence of
multiplets that are
either exactly
degenerate in mass,
if the symmetry is
exact or nearly so if
the symmetry is
broken by small
explicit terms in the
Hamiltonian”
Dal 1948 osserviamo le particelle; notiamo qualche
simmetria; cerchiamo quale campo di gauge può
spiegarle : questo vuol dire determinare le proprietà
delle particelle scambaitrici (“virtuali”) associate al
campo, che poi bisogna scoprire sperimentalmente.
simmetria
globale non
abeliana
Exactly degenerate in
mass: Angular
momentum multiplets,in
the absence of
electromagnetic field
Broken: Strong
Isospin
p938.2 
n939,5
  139.5  0 135   139.5
K  493.6 
K 0 497.6 
  1189 
 0 1192 
 0 1315
  1321
  1197 
Yang-Mills e la
conservazione
dello SPIN
ISOTOPICO
notare
• simmetria nascosta hidden symmetry
• simmetria rotta
broken symmetry
• trasformazione (simmetria, gruppo)
abeliana
• trasformazione (simmetria, gruppo)
non abeliana
Strong Isospin Symmetry
protone (p) e neutrone (n)
mp=938.28 MeV, mn=939.57MeV
m 0,1%
(nucleons,pions and other hadrons)
Perché considerarli diversi? Hanno una carica e.m.
diversa, ma le interazioni forti non sentono la
carica e.m..L’interazione forte è molto più forte
dell’interazione e.m., che non conta molto.
(Heisemberg, 1932)
Questo modo di ragionare ha portato all’idea che dobbiamo pensare p e n
come due stati dello stesso oggetto: il nucleone N. La carica elettrica è
una “etichetta” per distinguere i due stati, se ce ne è bisogno. È utile
immaginare uno spazio, detto STRONG ISOSPIN SPACE, nel quale il
nucleone N punta in una direzione: in su se è un p, in giù se è un n
I I  1
 12
 12
Si assume che l’interazione forte sia invariante per rotazioni nello
spazio di spin isotopico, e si chiama questa invarianza:
I3
SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO delle
INTERAZIONI FORTI
In effetti, si è osservato che approssimativamente l’interazione forte non cambia se si
scambiano p ed n. (charge symmetry and charge indipendence delle forze nucleari)
Questa invarianza o simmetria è rotta dall’interazione e.m., ma tiene entro lo 0,1%
SIMMETRIA di SPIN ISOTOPICO
Questa è una simmetria che ha un ruolo importante nell’ interazione di
nucleoni,pioni e altri hadroni.
Ha però un ruolo molto importante anche da un punto di vista concettuale:
ha contribuito allo sviluppo delle idee che hanno portato alle moderne
teorie di gauge: le teorie
da questo punto di vista.
di Yang-Mills.
Qui ce ne occuperemo
Quello che è veramente fondamentale è la
simmetria di
isospin debole
come vedremo in seguito.
HADRONS AS STATES IN SU(2) MULTIPLETS
 p
N   
n 
Doppietto di SU(2) I=1/2
 1 
 
   2 
 
 3
Tripletto di SU(2) I=1
Q
B
 I3 
e
2
 12 
I 3   1 
2
    1  i 2  / 2

Q carica particella
e carica elettrone
B numero barionico
mp=938.28 MeV,
mn=939.57MeV
m=139.57 MeV,
m0=139.96MeV
 
 

   0
 


0






3


 1


I3   0 


  1




N
pion nucleon interaction Lagrangian
 Distrugge un antiprotone, crea un protone
p
n

Distrugge un neutrone,crea un neutrone
,0
potenziale del campo
forte,ma anche
operatore creazione
e distruzione del 
Lagrint  g pn p  n   g np n p   g pp p  p 0  g nn n n 0
Non invariante per rotazione nello spazio interno di spin isotopico per
qualsiasi g. Per esempio
pn
g  g
pp
nn
COME RENDERE INVARIANTE UNA LAGRANGIANA? UNO SCALARE
È INVARIANTE PER ROTAZIONE. DATO CHE IL  È UN VETTORE,

DOBBIAMO FORMARE UN VETTORE CON N
N N

Lagr int


 
 g N N   ,


 i  matrici di Pauli
charge indipendence interaction Lagrangian
 
   1 1   2 2   3 3
0  i
 01
10 


     1 
  2      3
i 0 
01
10 



 2  
Relazione tra

  0


i

1
2
 3



  1  i 2  3   2 

 

 0 

1,2,3 e 
  0  2  
  0 p  2n  
   
   
 p 

 
N   N   p n 
    p n 


0 n 

0

 2

 2 p   n 
 






 p p  2 p n  2n p  n n
1 1
g pp : g nn : g pn : g np  1 : 1 : 
:
2 2


Lagr int  g N  N   ,

0







0
Lagr int  ig   5
Lagr int
 
 ig N  5     N 
Lagr int  ig N  5  11   2 2   33  N 
Lagrint  ig N  5


2   2     33  N
Lagr int
 p 
0  
 n 
3


 i 2 g p n 5    i 2 g p n 5    i 2 g p n 5 

0 
 p 
  n 
Lagr int  i 2 g p n 5 n  i 2 g p n 5 p   ig p n 5 p3  ig p n 5 n3
n  p  
p  n  
basic nucleon-nucleon
interaction
 n p
  pn
p
g
p

0
g
n
n

2g
n

p
 2g
n
p
n p
force
amplitude
 g  2g  g
2
2
2
Lagrint  g pn p  n   g np n p   g pp p  p 0  g nn n n 0
Non-Abelian Gauge Theories
SPAZI INTERNI E
INVARIANZA DI FASE
p e n sono nello spazio interno di spin isotopico forte SU(2):
Rotazione
dallo stato N
allo stato N’
 p'  i .  p 
   e  
 n' 
n 
 p
 
n 
trasformazione di fase
per cui la variazione è
espressa da un
i parametri della rotazione
operatore nello spazio
i matrici di Pauli
di spin isotopico
n.b.: l’ordine delle rotazioni è
importante, perche’ le rotazioni non
commutano.
 ,   2i
i
j

ijk k
commutatore
In linea di principio possiamo considerare particelle in una rappresentazione
di un gruppo qualsiasi, ed applicare la trsformazione appropriata
Se le particelle a1,a2,a3 portano numeri quantici in uno spazio SU(3), si ha:
a1  
 a'1 

  i      1 , 2 ,...... 8 
 a ' 2   e  a2  
 a' 
 a    1 , 2 ,......8 
 3
 3
parametri
matrici
I quark hanno questo grado di libertá:
di
di
rotazione
SU (3)
il COLORE
Si vedrà in seguito che uno spazio nel quale delle particelle portano numeri quantici non banali,
conduce ad una interazione tra particelle mediate da nuovi bosoni di gauge
Quali sono gli spazi interni della fisica delle particelle?
Sperimentalmente si è verificato che gli “spazi” che descrivono tutte le
particelle conosciute oggi, e le loro proprietà sono:
SU(3)(COLORE)
SU(2) e U(1)
interazione forte
interazione elettrodebole
STANDARD MODEL
Quark e leptoni hanno “etichette” ( o numeri quantici) che permettono di
distinguere 3 “spazi interni.”
SU(3)(COLORE)
SU(2) U(1)
interazione forte
interazione elettrodebole
L’invarianza di fase della teoria quantistica (gauge invariance)
deve esistere per trasformazioni in questi “spazi interni”.
TEORIE di GAUGE NON-ABELIANE per QUARK e LEPTONI
invarianza di gauge locale
teorie di Yang-Mills
Si può dimostrare che teorie di guage non-abeliane sono pienamente
gauge –invarianti, cioè esiste un insieme di trasformazioni per  e i
bosoni di gauge che fa si che D  si trasformi come 
u 
 
d 
c
 
s
t 
 
b
 e 
 
e 
1. Si richiede invarianza in
trasformazioni
locali
3. Nessuna particella
libera è invariante per
una trasformazione di
gauge non-Abeliana
dato che non è
invariante l’equazione
di SCHROEDINGER

U (1)   ( x, t )
 
SU 2   
 
SU 3    
  
 
 
 
  
 
 
“weak” isospin
rappresentazioni  in uno
spazio di isospin debole
2. Questo equivale a fare i
parametri dipendenti dal
tempo e dallo spazio.


 i ( x, t );i x, t 
4. Covariant derivatives:
generalizzazione del
caso “abeliano” U(1)




i ( t , x )
t , x   ' t , x   e
(t , x )




 i 
t , x   ' t , x   e (t , x )
 



 i 
t , x   ' t , x   e (t , x )
Passando da U(1) a SU(2), abbiamo bisogno di 3 campi quadrivettoriali ()
Con U(1) abbiamo bisogno di un A ; con SU(2) abbiamo bisogno di Wi  per
ogni i.



D


 ig 2 W
D    igA
2
arbitraria  la forza dell’interazione

g2
Wi




Questa è
un’equazi
one di
matrici
22
necessario, per l’invarianza per rotazioni di weak isospin
Come cambia Wi
Dato che
 ' e 
Si assume che:
Si puó dimostrare che
analogo a U(1)
(abelian)


i 

con una trasformazione di gauge?
si deve avere
W 'i  Wi   Wi 
'
D  ' e

i 
1 
Wi    i   ijk jWk
g2

A    / e
Esiste quindi una soluzione non banale
consistente con l’ipotesi della gauge
invarianza di una teoria non-Abeliana!
D
. Si deve determinare

trasformazione
di un vettore per
rotazione (nonabelian)

Wi 
'
D  ' e

 

i 
Wi  

D

D' '   '  ig 2 i Wi ' 2 1  i j j 

 ig 2 i Wi

2  ig 2 i Wi

1 
  i   ijk jWk
g2
 i j j 

2 1 
2 


    ig 2 i Wi  2  ig 2 i Wi  2

j
2
i   j   ig 2 i Wi   i j  4  ig 2 i Wi   i j  4
    ig 2 i Wi  2  ig 2 i Wi  2

e
 
i 
2
j
2
i   j   ig 2 i Wi   i j  4


D   1  i i i     ig 2 j W j 2 
   ig 2 j W j 2  g 2 i i j W j



 i i i  
4   
  
 2 
Dimostrazione
   ig 2 i Wi  2  ig 2 i Wi  2

j
2
 iWi  

 i  Wi  


 i  
  i i   
 2 
i   j   ig 2 i Wi   i j  4
 ig 2 i Wi  2  ig 2 i Wi  2 

    ig 2 j W j 2  g 2 i i j W j 4 

j
2
i   j 




  g 2 i i j W j 4 
1 
i

  i  i   iW j  i j   j i
g2
2


1 
  i   ijk iW j   0
g2



1 
Wi    i   ijk jWk
g2

OSSERVAZIONE
abbiamo
quindi visto una derivazione esplicita del
fatto che una teoria non abeliana può essere
pienamente gauge-invariante
esiste cioè un set di trasformazioni per  e W
tali per cui D si trasforma come 
 non è un risultato banale che esista una
soluzione consistente
covariant
derivative per
doppietti di
SU(2)




D    ig 2 W
2
fermioni
 sinistrorsi
SU(2)
Bisogna generalizzare questo risultato
1. spazio interno di weak isospin .  in una diversa
rappresentazione.
 weak isospin t, con (2t+1) componenti ,T è la rappresentazione
operatore matriciale
(2t+1) (2t+1) dei generatori di SU(2) in quella
base.




D    ig 2T W
2. Consideriamo un diverso spazio interno
SU(n) invariance con generatori
dimensioni, e

F
in uno spazio vettore a (n2 -1)
F  F   ic F , allora
 


D    ig n F  G
i
j
ijk
k
i G sono i bosoni di gauge che devono essere introdotti per avere una teoria
di gauge invariante.
La natura ci offre uno spazio interno “di colore”
SU(3)
SU(3) richiede (n -1)= (9-1)=8 bosoni di gauge
2
Sommando a  svariati termini siamo sicuri di poter scrivere un differenziale
covariante D che ci permetterá di scrivere Lagrangiane gauge-invariant per
trasformazioni di gauge , simultaneamente o separateamente in tutti gli spazi
interni
ii 
aa 
Y 
D   ig
ig11 B ig
ig22 Wii ig
ig33 Gaa
2
2
2
i  1,2,3
  1,2....8

MAIN
EQUATION
OF THE
STANDARD
MODEL

g i ,i 1, 2,3
numeri
reali
arbitrari
Il campo abeliano di U(1) è B. Dimostreremo che in natura questo campo
coincide con A, il campo e.m, cioè il fotone.
Y è chiamato “Hypercharge generator”ed e’un numero
 è un quadrivettore di Lorentz, come tutti gli altri termini dell’equazione.
singoletto
in SU(2)
ed SU(3)
singoletto in U(1)
ed SU(3). Matrice
22 in SU(2)
singoletto in U(1)
ed SU(2). Matrice
33 in SU(3)