Da dove saltano fuori
Lagrangiane ed
Hamiltoniane?
Come facciamo a
sapere che una certa
interazione descrive
un certo processo
fisico?
Ma perché
l’interazione e.m. è
dovuta ad una
particella priva di
massa, di spin 1,
scambiata tra oggetti
elettricamente
carichi?
GAUGE THEORIES and Gauge invariance
In linea di principio, se esistono certi tipi
di materia che interagiscono in modo
consistente con la teoria quantistica,
allora dovrebbe essere possibile dedurre
la struttura dell’interazione.
In precedenza, la forma dell’interazione,
dedotta da astuti fisici da fatti
sperimentali, era semplicemente una
descrizione matematica della situazioe
Teorie dove la forma dell’interazione è
determinata perché la teoria è invariante
per qualche trasformazione sone dette
teorie di gauge
NON DIMENTICARE CHE QUALSIASI BELLA TEORIA
DEVE ESSERRE VERIFICATA SPERIMENTALMENTE
pfd
lez4
1
GAUGE INVARIANCE IN CLASSICAL ELECTRODYNAMICS


A
E  V 
t


B   A
CAMPI E POTENZIALI IN ELETTRODINAMICA CLASSICA
GAUGE TRANSFORMATION



A  A'  A  

V V ' V 
t


A'
E  V '
t


B    A'
 continua
derivabile ma
arbitraria .
FORMALISMO RELATIVISTICO
Questa relazione mette in evidenza
che le trasformazioni devono
essere fatte simultaneamente
pfd

 

A  V, A




A  A ' A   
lez4
2
Le teorie di gauge sono teorie nella
quali l’interazione è determinata da
un principio di invarianza locale
Se la teoria è invariante per una
certa trasformazione locale, si dice
che è una “gauge theory”, o teoria di
gauge.
pfd
lez4
3
GAUGE INVARIANCE IN QUANTUM THEORY
Gli osservabili dipendono da 
2
Si richiede che la teoria sia
invariante per    '  e  i 
Se ora vogliamo una teoria
invariante anche se si sceglie una
fase diversa in ogni punto dello
spazio-tempo, deve valere la :




i ( t , x )
t , x   ' t , x   e
(t , x )
pfd
lez4

GLOBAL GAUGE
TRANSFORMATION.
costante
 è arbitraria, ma costante nello
spazio tempo. (x,t) si trasforma
ovunque nello stesso modo
LOCAL GAUGE
TRANSFORMATION.
Possiamo fissare in questo caso le
nostre convenzioni di fase come ci
pare sulla terra, senza curarci di
come dovrebbero essere sulla luna
4

1 2 
 x , t 
  x , t   i
2m
t
SORPRESA! L’equazione di
Schroedinger NON è invariante per
trasformazione di guage locale.Ma:
2
CASO ELETTROMAGNETICO.
1


 i  eA   i  eV  Equazione di Schroedinger modificata
2m
 t

per una particella carica in un campo




t , x   ' t , x   e


 1
A  A'  A  
e
1 
V V ' V 
e t

i ( t , x )

(t , x )
e.m è gauge invariante
e è la carica dell’elettrone. Le
trasformazioni sono simultanee. Vale
l’invarianza locale. Il formalismo
relativistico è mantenuto
A  A '  A     / e
La invarianza locale di gauge ( o fase) richiede l’esistenza
del campo vettoriale A = (V,A)
pfd
lez4
5
Il campo deve poter essere espanso in termini di operatori
creazione e distruzione:


1
i k .r t 
i k .r t 

e
e
2


Quindi deve esserci una particella associata, e dato che il
campo è descritto da un quadrivettore, questa particella deve
avere spin 1.
Questo succede per ogni particella carica, e l’interazione è la
stessa con ogni particella carica. E’ una interazione universale
L’invarianza di fase della teoria quantistica dell’interazione
di particelle cariche elettricamente richiede l’esistenza del
fotone
Commenti sulla diapositiva precedente
pfd
lez4
6
SIMMETRIA di GAUGE
L’origine del nome :(Weyl 1918) Simmetria di gauge nell’elettromagnetismo. Gauge =
“misura campione” o “asta di misurazione”. Per esempio il metro dei falegnmi o delle
sarte. ( che può dare cm ,pollici etc) (l’oggetto misurato mantiene le sue
dimensioni, indipendentemente dallo strumento di misura che si usa)
Invarianza o simmetria globale o locale.
Esempio simmetria globale: Se il reddito di tutte le persone ed il costo di tutti i
beni aumentasse di 10 volte ovunque, la domanda e l’offerta non cambierebbero, ed i
mercati conserverebbero il loro equilibrio.
Esempio simmetria locale: Se redditi e prezzi cambiassero quà e là in modo casuale,
offerta e domanda non sarebbero più coordinate. Ma, secondo gli economsti, le
“leggi del mercato” porterebbero presto ad un riequilibrio della domanda e
dell’offerta, nel suo insieme: in questo caso questo è il principio di simmetria o
conservazione.La forza è la forza del mercato
Noether e la simmetria. La simmetria è il motore della dinamica. Se
c’é na simmetria cé’un campo che esercita una forza.
Le particelle sono pacchetti di energia e quantità di moto. Energia e quantità di moto sono
numeri quantici definiti dalle traslazioni temporali e spaziali. Il momento angolare è il numero
quantico della rotazione. Una particella elementare è definita dalle sue proprietà di simmetria.
Una particella elementare è una rappresentzione del suo gruppo di simmetrie.
Simmetria locale
I mutamenti nella simmetria locale sono completamente arbitrari: si ha una simmetria quando I
mutamenti di un aspetto del sistema sono compensati esattamente da mutamenti di un altro
aspetto, in modo tale che si conservi una quantità connessa ad entrambi. Una tale compensazione
non può aver luogo senza l’intervento di una forza. Per avere una “simmetria locale di gauge”
l’Universo deve agire. Non può restare passivo. In questo senso i nostri teorici ci dicono che “una
simmetria di gauge locale genera una forza”.
Local guage symmetry (un cenno storico)
1918 Weyl: In elettromagnetismo la simmetria locale di guage dello spazio-tempo, permeato dai
campi elettromagnetici porta alla conservazione della carica elettrica. Einstein: non può essere una
simmetria nello spazio tempo! ( un orologio portato in giro per una stanza cambierebbe ora!) 1927
London: E’ l’invarianza di fase dell’equazione dei potenziali dell’elettromagnetismo (di
Scrhoedinger per l’elettromagnetismo)che conserva la carica. Per cui può cambiare la fase di un
elettrone anche se la sua carica non cambia mai. “Cancellando gli effetti dei mutamenti di fase il
campo protegge la carica con interventi costanti”


D    ieA

0
D 
 ieV
t
Equazione di
Schroedinger
Covariant Derivatives:
un formalismo utile
Facciamo una
trasformazione di gauge
locale, cioè usiamo le
equazioni:
 

 i (t , x )

t , x   ' t , x   e
(t , x )
e vediamo
cosasuccede :



 i
 iD'  '  i    ieA  i e 

 i
 e    ieA 
e
 i



 iD


  i

 iD '  '  i  ieV 
e 
t 
 t
0

 e i  iD 0 
pfd

1 2
iD   iD 0 
2m

  1
1 
A  A'  A   V  V '  V 
e
e t
definiamo:
“derivata
covariante”



0
D  D D

Osservazione: anche D si trasforma
come una funziona d’onda, se lo fa  . Ed
anche D (D )
lez4
9
“derivata covariante”
Quadrivettore covariante. Semplifica le notazioni



0
D  D D

GENERALIZZIAMO:
Definiamo
carica non elettrica
dove A è il campo interagente di cui
non conosciamo il funzionamento.
Vogliamo anche che : D  '  '  U D  
trasformazione: 
'
 U


D    igA

E questo può essere scritto:
Risolviamo per A’:


 igA  'U    U   U    igUA 



  U   igUA 







 igA ' U  U   igA 
Dato che la  è arbitraria, e
moltiplicando a destra per U-1


i 
A '    U U 1  UAU 1
g

pfd
lez4
10
Abelian &Non-Abelian
transformations (remind)
Abelian
groups
phase
invariance in
QED
transformations
commute
U1 1U 2 1  U 2 1U1 1
Non-Abelian
groups
transformations do
not commute
isospin yang-mills
theory
SU1 2SU 2 2  SU 2 2SU1 2
pfd
lez4
11