TEORIE DELLA
GRAVITAZIONE
1) AUTOCONSISTENZA
2) COMPLETEZZA
3) COMPATIBILITA’ CON I
DATI SPERIMENTALI
4) LIMITE NEWTONIANO
5) LIMITE RELATIVITA’
SPECIALE
Teorie metriche della Gravità
1. Lo spaziotempo possiede una metrica
2. Tale metrica soddisfa il Principio d’Equivalenza
In cosa differiscono
le diverse teorie
metriche?
R
1
8G
 g  R  4 T
2
c
Teoria di Brans-Dicke
G 
8

T 
Nella diversa formulazione
delle leggi che generano la
metrica
    
Relatività
Generale
8
T
3  2

1
1
, 





g





g





,

,


,

,



2
 
2
 
  10 6
v 2  10 7
Tik
0
 10 6

  0 

 10 6
0
Idea: per descrivere una teoria metrica all’interno del Sistema
Solare espandiamo nei piccoli parametri!
Campo debole
Piccole velocità
Ordine zero: spaziotempo vuoto
Ordine uno: trattazione Newtoniana
Ordine due: correzioni post-Newtoniane
Formalismo Parametrizzato
Post-Newtoniano (PPN)
Teoria approssimativa
Le prime formulazioni si devono a:
•Eddington (1922)
•Robertson & Schiff (1962)
•Nordtvedt (1968)
•Will (1972)
Sistema di coordinate PPN:
(t , x j )  1  3
g    h  h
con
M sun

Rsun
Si sceglie un riferimento comovente con la materia e si definiscono
le seguenti quantità:
 : densità totale di massa/energia t ij : componenti di T
 0 : densità di massa barionica
1

: densità d’energia interna
p  (t xx  t yy  t zz ) : pressione
3
0 ( x)
U       d 3 x
x  x
Potenziale Newtoniano
 2 : valore massimo del potenziale Newtoniano
p tij
 U,v , , ,
2
2
0 0
A / t
 vj  
A / x j
Si espandono i coefficienti della metrica in potenze di
 
 O  
 O  
g0 j
g ij
n
n pari
 
g 00  1  2U  O  4
g 00  O  n
n 1

Primo ordine
 
g0 j  O  3
 
g ij   ij  O 
2
Limite Newtoniano
Campo debole e stazionario
piccole velocità
g      h  h  1


dx i
dx 0
v  c 

d
d


2
d x
d x
 dx dx
  cdt 



0



 0

00 
2
2
d
d d
d
 d 
Equazione delle
2
geodetiche

d x 1
 h00
2
d
2
g
1
00   g  00
2
x
2
Affinché sia soddisfatta:
2


d 2x
 
2
d
 
a  U  a k  00k  gij   ij
g 0i  0
h00  2

c
2
 2U
g 00  1  2U
Correzioni post-Newtoniane: k
Debbono essere di ordine post-Newtoniano:
k00   4 ; k0 j   3 ; kij   2
Debbono essere adimensionali
k 00 :scalare sotto rotazione; k 0 j
: 3-vettore;
k ij
: tensore 3-dim
Andamento 1/r
Generati da  0 ,  0  , tij p moltiplicati per la velocità o derivati
rispetto al tempo
Correzioni
componenti
spaziali
 ijU  x, t  U ij x, t   
 0 x, t xi  xi x j  xj 
x  x
kij  2 ijU  2U ij
d 3 x
V j  x, t   
Correzioni a
k0 j
W j  x, t   
 0 x, t v j x, t 
x  x
d 3 x
  

 o x , t x  x   v x, t x j  xj 
x  x
3
d 3 x
7
1
k0 j   1V j   2W j
2
2
2
k
k


2

U
 4    A  D
Correzioni a 00
00
x, t   
A x, t   
0 x, t  x, t 
x  x



d 3 x
 0  x, t  x  x   v x, t 2
x  x
3
d 3 x
1
2
3
2
  1v 2   2U   3   4

0
1





t
x
,
t

 jk tll x, t  xi  xj xk  xk 
 ik
3

D  x, t   
d 3 x
3
x  x
RELATIVITA’ GENERALE
k00  2U 2  4
7
1
k0 j   V j  W j
2
2
k jk  2U jk
  1   2   3   4  1
  1   2  1
   0
TEORIA DI BRANS-DICKE
k00  2U 2  4
1  10  7 
1
k0 j   
V j  W j
2  2 
2
 1  
kij  2
 ijU
 2 
    0;  2   3    1
1 
3  2

; 1 
2
4  2
1 
10  7
4 
; 1 
2
14  7
Riassunto dei
parametri
Post-Newtoniani
Passaggio al
formalismo di Will
Vincoli sperimentali sui parametri
post-Newtoniani
1) DEFLESSIONE DELLA LUCE
1
4 M 1  cos  
  1   
2
b  2 
1 
 0,99992  0,00014
2
Eddington
VLBI
Hipparcos
Quasar
2) RITARDO DELL’ECO RADAR

 d 2 
1
t  1   240  20 ln   s
2
 r 

1 
 0,1%
2
Pianeti (Mercurio, Venere)
Satelliti artificiali (Mariner,
Voyager, Viking Mars,…)
3) PRECESSIONE DEL PERIELIO DI MERCURIO

6M  1
1

R2
2  2     21   2   3  2 2   J 2 
 
2 
2
a 1 e 3
6
M
2
Ma
1

e




2  10 7
J2 




CA
7

10
mR 2
Termine classico:
momento di 4-polo solare
1
3
  42,98 2  2     3 10  4
J2 
10 7 
1
2  2     1  10 3
3
  1  10
3
EFFETTO NORDTVEDT
Violazione di SEP tramite violazione di WEP:
  mp  
U
a  
 mI 
dove
 Eg
 1   
mI
m
mp



Nel sistema Terra-Luna genera una
polarizzazione dell’orbita verso il Sole, con
conseguente perturbazione della distanza TerraLuna:
r  13,1 cos0  s t
1

2
27
Sole
10 5
Giove
10 8
Terra
4,6  10 10
Luna
0,2  10 10
(m)
10
2
2
1
  4     3    1   2   1   2
3
3
3
3
GR
 0
BD
Laboratorio 10
  0,001
Gli altri parametri da vincolare:
Effetti locali privilegiati
 , 1 ,  2 ,  3 ,  1 ,  2 ,  3 ,  4
Esistenza di
riferimenti privilegiati
Violazione della
conservazione
d’energia e momento
Un loro valore non nullo genera
una violazione di SEP:
VARIAZIONE DI G
Conseguenze:
Anomalie nelle maree terrestri
  10
Variazione sul periodo di una pulsar
3
 3  2  10 20
Distribuzione casuale dell’asse solare rispetto all’eclittica
 2  4 10
7
Il parametro  4 è legato alla pressione del fluido, quindi
connesso all’energia cinetica e all’energia interna.
Risulta essere dipendente dagli altri parametri:
6 4  3 3  2 1  3 3
Conseguenze:
Violazione della Terza legge della dinamica
mA  mP
1 Ee
m A  mP   3 2
2 c
 3  10
KREUZER
BARTLETT & VAN BUREN
18
Violazione della conservazione del momento
aCM
1
m  m
e
  2   3  2
2
a a m 1  e2

PSR 1913+16:
 
1
1 
3 arc sec
1    1 42 10
2
4 
yr
2
nˆ P
3   2  4 105
 2  4 10


EFFETTO LENSE-THIRRING
dS 
  LT  S
d




1
1   J  3n n  J 
 LT   1    1  

2
4 
r3


3
5
E quindi uscimmo a riveder le stelle.
Dante (Inf.,34,139)
?
Fine