Campo gravitazionale statico
•Teorie metriche della gravitazione
•La Relatività Generale in campo statico
•Traiettoria della luce
•Precessione di Mercurio
•Principio di equivalenza forte
•Formalismo Post Newtoniano parametrizzato
•Teorie alternative per la gravitazione
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Esperimenti locali non gravitazionali (I)
Le traiettorie di corpi in caduta libera in qualsiasi campo gravitazionale reale sono
approssimativamente parallele se i corpi non sono troppo distanti l’uno dall’altro.
Consideriamo per esempio due masse inizialmente ferme in un campo gravitazionale
centrale a una distanza R dal centro.
y
m1
R
M
D
x
fy
fx
Un osservatore nel centro di massa vede le
masse avvicinarsi come se fossero attratte
l’una dall’altra.
m2
La forza che i esercita apparentemente su j è
Fij = fy = G
M mj D
R2 2R
proporzionale a D/R.
Questi effetti si incontrano nelle deformazioni elastiche come quelle della crosta
terrestre sotto l’effetto delle maree. Sono misurati da grandezze del tipo δx/x, che
sono adimensionali.
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Esperimenti locali non gravitazionali (II)
Si parla di esperimenti locali quando gli effetti di marea possono essere trascurati.
Un esperimento locale non gravitazionale:
1.si svolge in un laboratorio schermato.
2.ha dimensioni sufficientemente piccole per cui gli effetti di marea sono
trascurabili
3.ha effetti di gravitazione propria trascurabili.
Tutti gli esperimenti di laboratorio, dove vengono rese trascurabili le influenze
esterne, ricadono in questa categoria, eccetto quelli di gravità.
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Principio di Equivalenza di Einstein
Un sistema di riferimento accelerato è anche equivalente localmente a un sistema
dove vi sia un campo gravitazionale. Questo è il Principio di Equivalenza Debole
(WEP).
Si può scegliere una accelerazione che annulli il campo gravitazionale. In questo
caso il sistema di riferimento è in caduta libera.
Einstein ha proposto che in un sistema di riferimento in caduta libera si cancellano
localmente gli effetti della gravitazione e rimangono valide tutte le altre leggi della
fisica.
Il Principio di Equivalenza di Einstein (EEP) dice quindi che:
1.Il Principio di Equivalenza Debole (WEP) è valido
2.Il risultato di un esperimento locale non gravitazionale non dipende dalla
velocità dell’apparato in caduta libera
3.Il risultato di un esperimento locale non gravitazionale non dipende da dove e
quando viene effettuato nell’Universo
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Teorie Metriche della Gravitazione
Se consideriamo corpi scarichi con massa, composizione e struttura diverse, questi
hanno in un campo gravitazionale lo stesso moto a parità di condizioni iniziali.
L’EEP suggerisce che il loro moto sia determinato dallo spazio-tempo circostante e
non dalla struttura dei corpi, quindi che la gravitazione sia originata da proprietà
dello spazio tempo, cioè dalla sua geometria (o curvatura).
In un riferimento in caduta libera le altre interazioni sono governate dalla metrica di
Minkowski
Le altre interazioni si adeguano alla curvatura dello spazio attraverso cambiamenti
di sistema di riferimento che si riflettono in cambiamenti della metrica
Se EEP è valido allora la gravitazione è un fenomeno geometrico dello spazio
tempo. Ovvero dovrà soddisfare:
1.Lo spazio-tempo è dotato di una metrica g
2.Le linee di universo percorse dalle masse di test sono le geodetiche di g
3.Nei riferimenti locali in caduta libera (RLCL) le leggi fisiche non gravitazionali
sono quelle della Relatività speciale
Questi possono essere considerati postulati per una teoria metrica della gravitazione
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Teorie Metriche della Gravitazione (II)
Vediamo meglio perché il principio di equivalenza di Einstein ci porta a considerare
la gravitazione come un fenomeno di curvatura dello spazio tempo.
Il WEP caratterizza lo spazio tempo con delle traiettorie preferite, le linee di
universo delle masse di prova in caduta libera.
In un riferimento che segue una di queste linee di universo le masse si muovono di
moto rettilineo uniforme.
Confrontando esperimenti in RLCL con origine coincidente e velocità diverse, l’EEP
dice che vi è invarianza di Lorentz: i risultati sono gli stessi. Questa è l’Invarianza
Locale di Lorentz (LLI).
Ci saranno quindi dei campi tensoriali Ψ(1) , Ψ(2) , . . . nell’Universo che diventano
proporzionali alla metrica di Minkowski in un RLCL riducendosi a
φ(1) (P)η, φ(2) (P)η, . . .
Gli Ψ(i) (P) dipendono dall’evento
Diversi Ψ(i) (P) si accoppiano ai vari campi non gravitazionali (bosoni, fermioni,
campo elettromagnetico ovvero fotoni . . . )
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Teorie Metriche della Gravitazione (III)
Questi esperimenti di test locali non gravitazionali sono anche indipendenti dalla
posizione del sistema di riferimento: è l’Invarianza Locale di Posizione (LPI). Allora,
di due casi l’uno:
1.I φ(i) (P) sono costanti e possono essere posti uguali a 1 con opportune unità
di misura cosı̀ gli Ψ(i) diventano tutti uguali a η.
2.I φ(i) (P) = c(i) φ(P): sono proporzionali a un singolo campo scalare φ(P), che
interviene sia sulla grandezza da misurare che sul campione dell’unità di
misura. La misura è il rapporto tra queste grandezze e si ha pertanto
cancellazione dei c(i) . Riscalando i c(i) e usando nuovi campi Ψ̄ = φ−1 Ψ la
versione locale di Ψ̄ può essere posta uguale a η
Ci sono quindi dei campi tensoriali che si riducono a η nei RLCL.
Applicando trasformazioni di coordinate al tensore η partendo dal RLCL si deduce
che il campo Ψ̄ è unico, ed è rappresentato da un tensore simmetrico g.
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Teorie Metriche della Gravitazione (IV)
Osserviamo che g possiede delle geodetiche.
Per varietà Riemanniane esistono degli spazi localmente piatti che seguono queste
geodetiche.
Cioè in ogni P vi sono dei riferimenti nei quali
X
|xα − xα (P)|2 ), ∂gµν /∂xα = 0 in P.
gµν (P) = ηµν + O(
che seguono queste geodetiche e che chiamiamo riferimenti di Lorentz locali.
In questi riferimenti di Lorentz locali le geodetiche sono linee rette.
Ma queste linee rette sono anche le traiettorie delle masse di test nei RLCL, quindi
i corpi si muovono sulle geodetiche.
I riferimenti di Lorentz locali coincidono con i RLCL.
Si sottolinea l’importanza dell’Invarianza Locale di Posizione, che consente di avere
un unico tensore metrico g.
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Vettori e 1-forme
In relatività ristretta si usano i quadrivettori, indicati con ~
x, p
~, . . . e con componenti
xµ , pµ , . . .
E’ stato sviluppato un formalismo che prevede anche delle 1-forme indicate con
x̃, p̃, . . .
Le componenti sono indicate con xµ , pµ , . . . Nel caso di una varietà con una metrica
si può stabilire una corrispondenza tra vettore e 1-forma. Per le componenti:
pµ = gµν pµ
Si abbassa l’indice usando la metrica.
L’archetipo della 1-forma è il numero d’onda, in maniera tale che
kµ xµ = φ
dia una fase, che è una quantità scalare, invariante.
La forma rappresenta le curve di livello, o il gradiente.
La derivata covariante di una 1-forma è data da:
Vα;µ = Vα,µ − Vν Γναµ
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La cinematica in Relatività Generale
La densità di energia-impulso determina la curvatura dello spazio-tempo e quindi la
metrica, da cui si deducono le geodetiche.
In relatività speciale abbiamo leggi del moto che contengono grandezze fisiche che
si trasformeranno con un cambiamento di sistema di riferimento
Abbiamo anche coordinate e derivate rispetto alle coordinate.
La derivata rispetto a una coordinata deve tener conto del sistema di coordinate
Dalla derivata parziale semplice
∂V α
α
= V,µ
µ
∂x
si passa alla derivata covariante
DV α
α
α
= V;µ
= V,µ
+ V ν Γα
νµ
µ
Dx
Γα
νµ è chiamato simbolo di Cristoffel e si può scrivere in termini di derivata della
metrica
1 ρα
Γα
g (gρν,µ + gρµ,ν − gνµ,ρ )
=
νµ
2
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La cinematica in Relatività Generale II
La linea retta nel sistema di riferimento localmente piatto si può scrivere come:
~
∇U
~U = 0
~ la quadrivelocità.
con U
Questa diventa in termini di componenti
U β U α;β = U β U αβ + Γαµβ U µ U β
Usando un parametro λ per descrivere la curva
α
µ
α
d
dx
α dx dx
+ Γ µβ
=0
dλ
dλ
dλ dλ
che è l’equazione della geodetica.
Si tratta di una equazione differenziale del second’ordine in xα (λ). Fissata una
α
posizione iniziale xα
0 e una direzione iniziale U0 si ottiene una unica geodetica.
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 11/61
Quantità conservate
Usando la 1-forma pβ = mUβ corrispondente a pµ = mU µ è possibile scrivere
l’equazione della geodetica come
pα pβ;α = 0
ovvero
pα pβ,α − Γγβα pα pγ = 0
o ancora
m
dpβ
= Γγβα pα pγ .
dτ
Il secondo membro è semplice
Γγβα pα pγ
=
=
=
1 γν
g (gνβ,α + gνα,β − gαβ,ν )pα pγ
2
1
(gνβ,α + gνα,β − gαβ,ν )g γν pγ pα
2
1
(gνβ,α + gνα,β − gαβ,ν )pν pα
2
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Quantità conservate II
Da
Γγβα pα pγ =
1
(gνβ,α + gνα,β − gαβ,ν )pν pα ,
2
per simmetria di scambio tra ν e α si vede che
1
Γγβα pα pγ = gνα,β pν pα
2
Se la metrica non dipende dalla componente β,
dpβ
1
= gνα,β pν pα
dτ
2
è costante lungo la traiettoria della particella.
m
ci dice che pβ
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La metrica di Schwarzschild
Esiste una metrica relativamente semplice che è soluzione delle equazioni di
Einstein nel caso statico con simmetria sferica.
Si tratta della metrica di Schwarzschild
ds2 = −Zdt2 + Z −1 dr2 + r2 dΩ2
con
Z=
2M
1−
r
e dr2 = dx2 + dy 2 + dy 2 e dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2
Il limite a grandi distanze è lo spazio di Minkowski.
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Equazioni del moto per i fotoni
La geodetica ottenuta nel limite dell’ottica geometrica è
kν kµ;ν = 0
kµ è il vettore d’onda tangente alla traiettoria del fotone (kµ kµ = 0)
Usando il parametro affine σ tale che kµ = dxµ /dσ si ottiene
ν
λ
d2 xµ
µ dx dx
=0
+ Γ νλ
dσ 2
dσ dσ
Si può sostituire t a σ usando
ν
λ
d2 t
0 dx dx
+ Γ νλ
=0
dσ 2
dσ dσ
Si ottiene cosı̀ per le componenti spaziali
j dxµ dxν
d2 xj
dx
j
0
+
Γ
−
Γ
=0
µν
µν
dt2
dt
dt dt
D’altra parte kµ kµ = 0 si può scrivere come
dxµ dxν
gµν
=0
dt dt
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Equazioni del moto per i fotoni (II)
Parleremo di approssimazione Postnewtoniana quando si introdurranno gli effetti
della metrica.
Vedremo in maniera più generale che possono esserci delle famiglie di teorie
gravitazionali, che hanno effetti simili sulle equazioni del moto, quantificati da
parametri.
Nelle equazioni del moto entra il parametro Postnewtoniano γ. Nel caso della
Relatività Generale, si ha
γ=1
In questa approssimazione le equazioni del moto diventano
2 !
2
j
j d~
d~
x
dx
x
d x
~
= −U,j 1 + γ −2
· ∇U
(1 + γ),
2
dt
dt
dt
dt
0
=
1 − 2U − |d~
x/dt|2 (1 + 2γU )
All’ordine zero la soluzione di queste equazioni è un moto rettilineo uniforme con
velocità 1.
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Equazioni del moto per i fotoni (III)
Scrivendo xj ≡ ~
nj (t − t0 ) + xjP e sostituendo nella penultima equazione si ottiene
l’equazione postnewtoniana per la deviazione xjP dal moto rettilineo uniforme
d2 ~
xP
~ − 2~
~ )],
= (1 + γ)[∇U
n(~
n · ∇U
2
dt
d~
xP
~
n·
= −(1 + γ)U
dt
La soluzione all’ordine zero è il moto rettilineo uniforme Newtoniano
xjN = ~
nj (t − t0 ), |~
n| = 1
Viene fatto ampio uso delle seguenti relazioni qui presentate in maniera semplificata
Γ000
=
−U,0 , Γ00i = −U,i
Γ0ij
=
γδij U,0
Γi00
=
−U,i + ∂/∂xi [(β + γ)U 2 ]
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Deflessione della luce
Secondo quanto detto la traiettoria del fotone è data da
x0 (t)
=
t,
~
x(t)
=
n(t − te ) + ~
xP (t)
~
xe + ~
con ~
xe posizione della sorgente e te tempo di emissione, ~
xP (te ) = 0
Scomponiamo ~
xp in componenti parallele e perpendicolari
xP (t)k
=
~
n·~
xP (t)
~
xP (t)⊥
=
~
xP (t) − ~
n[~
n·~
xP (t)]
Si ottiene quindi
dxP k
dt
d2 xjP ⊥
dt2
=
−(1 + γ)U,
=
~ )]
(1 + γ)[U,j − ~
nj (~
n · ∇U
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Deflessione della luce II
Prendendo U = m/r, lungo il percorso non perturbato del fotone
m
m
=
U =
r(t)
|~
xe + ~
n(t − te )|
Si può quindi integrare lungo il percorso imperturbato
m~b ~
x(t) · ~
n
n
d
~
xe · ~
~
xP ⊥ (t) = −(1 + γ) 2
−
dt
b
r(t)
re
con ~b = ~
n × (~
xe × ~
n) parametro d’impatto
In definitiva abbiamo
d
m~b ~
x(t) · ~
n
~
xe · ~
n
~
xP (t) = −(1 + γ)U~
n − (1 + γ) 2
−
dt
b
r(t)
re
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Deflessione della luce III
Considerando l’angolo θ tra una stella di riferimento (~
xr ) e un’altra stella
!
(
~
nr
~
x⊕ · ~
m b·~
n
~
xe · ~
n
cos θ = ~
n·~
nr − (1 + γ)
−
b
b
r⊕
re
!
)
~
nr
nr
~
xr · ~
nr
m br · ~
~
x⊕ · ~
+
−
br
br
r⊕
rr
con ~br parametro d’impatto per la sorgente di riferimento
Se la sorgente di riferimento è il Sole medesimo, ~br = 0 e si ottiene
x⊕ · ~
1 + γ 2m ~
n
~
xe · ~
n
δθ =
−
2
b
r⊕
re
Per un fotone emesso da una stella lontana
xe · ~
n/re ≃ −1
re ≫ r ⊕ , ~
nonché, chiamando θ0 la distanza angolare tra il centro del Sole e la stella
~
x⊕ · ~
n/r⊕ ≃ ~
nr · ~
n = cos θ0
si ottiene in definitiva
δθ =
1+γ
2
4m
b
1 + cos θ0
2
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Deflessione della luce IV
La deflessione è composta da un pezzo fisso e da uno di curvatura. Il primo
proviene dal principio di equivalenza e il secondo dalla curvatura dello spazio-tempo.
Per un raggio che sfiora il sole, θ0 = 0, b ≃ R⊙ ≃ 6.96 × 105 km, m = m⊙ = 1.476 km
1
(1 + γ)1.′′ 75
2
I risultati delle misure ottiche sono del tipo
1
(1 + γ) = 0.95 ± 0.11
2
(R A Brune et al, Astron J 81(1976)452)
In contrasto una precisione ben maggiore si ottiene dall’osservazione di impulsi radio
con interferometria su grande base (VLBI) D E Lebach et al. PRL 75 (1995) 1439
δθmax =
γ = 0.9996 ± 0.0017
Grazie all’osservazione di quasar lontani in occultazione con il sole, in 10 giorni di
presa dati è stata raggiunta la precisione indicata.
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Ritardo dell’eco radar
Se riprendiamo U calcolato lungo la traiettoria non perturbata
m
m
=
U =
r(t)
|~
xe + ~
n(t − te )|
possiamo integrare
dxP k
dt
= −(1 + γ)U
per ottenere
r(t) + ~
x(t) · ~
n
xP k (t) = −(1 + γ)m ln
re + ~
xe (t) · ~
n
Se consideriamo il tempo di andata e ritorno, misurato dal ritardo dell’eco radar
x⊕ · ~
n) · (rp + ~
xp · ~
n)
(r⊕ + ~
∆t = 2|~
x⊕ − ~
xp | + 2(1 + γ)m ln
d2
dove ~
n è la direzione del fotone durante il ritorno.
L’effetto è massimo quando il pianeta è in congiunzione superiore
~
x⊕ · ~
n ≃ r⊕ , ~
xp · ~
n ≃ −rp , d ≃ R⊙
Si ottiene
δt = 2(1 + γ)m ln (4r⊕ rp /d2 ) =
"
1
(1 + γ) 240 µs − 20 µs ln
2
d
R⊙
2 a
rp
#
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Ritardo dell’eco radar II
Sono state fatte misure di tre tipi
1.Il riflettore è costituito dalla superficie di un pianeta (Mercurio o Venere).
Problemi di orografia (∼ 5 µs)
2.Il riflettore è attivo: satellite artificiale. Errori in posizione dovuti a
accelerazioni spurie, dai sistemi di controllo dell’assetto al vento solare e alla
pressione di radiazione (errori di 50 m nella posizione)
3.Il riflettore è un satellite orbitante intorno a un pianeta o ancorato a esso
(Mariner 9 intorno a Marte) e la sonda Viking atterrata su Marte.
Risultati per (1 + γ)/2 entro 0.1 %.
Questo risulta in un limite per il parametro ω delle teorie tensore-scalare
ω > 500 1σ
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Ritardo dell’eco radar per Venere
−4
2.5
x 10
2
1.5
1
0.5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
x 10
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Deviazione di onde radio
Occultazione delle sorgenti radio extragalattiche 3C273B e 3C279
Suggerimento di I I Shapiro, Science 157 (1967) 806
Prime misure nel 1968 (10 %) poi nel 1971 (7 %)
Selezionando per due radiotelescopi la stessa banda di frequenza, molto stretta, si
misura il ritardo di fase, per varie frequenze. Derivando la differenza di fase rispetto
alla frequenza si ottiene il ritardo di gruppo (che viene usato per evitare l’ambiguità
di fase).
Il modello adottato per il ritardo è
τ (ω, t) = τgeom (t) + τstruc (ω, t) + τplasm (ω, t) + τatm (t) + τinst (ω, t) + τclk (t)
Contributi dalla struttura della sorgente, dalla dispersione nella propagazione,
dall’atmosfera terrestre, dalla strumentazione e dalle differenze tra gli orologi ai due
siti.
Il contributo della gravitazione può essere espresso come
(
"
#
)
~
~
ˆ
γ + 1 GM⊙
|dES | + dES · ŝ + ~
r1 · (dES + ŝ)
GME 1 + r̂1 · ŝ
τgrav =
ln
+
c
c2
c2
1 + r̂2 · ŝ
|d~ES | + d~ES · ŝ + ~
r2 · (dˆES + ŝ)
~
r1 , ~
r1 sono le posizioni delle due antenne, d~ES è il vettore tra il centro della Terra e
il centro del Sole, ŝ punta alla sorgente distante.
Questa equazione è precisa entro qualche picosecondo
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Deviazione di onde radio (II)
Osservazioni a 2.3, 8.4 e 22.7 GHz, per sottrarre la dispersione del mezzo
Nella fase vicina all’occultazione le fluttuazioni nell’attività della corona solare non
I(t)
consentono l’osservazione a 2.3 GHz (τplasm (t, ω) = ω 2 )
Segnale campionato in 14 bande da 8 MHz distribuite tra le tre frequenze principali
Demodulazione in banda base (spostamento a frequenza 0 del centro della banda di
8 MHz) e campionamento a 1 bit (si copia il segno del segnale demodulato) a 16
MHz (corrispondente a 8 MHz)
Correzioni diurne e semidiurne per la posizione della crosta terrestre rispetto all’asse
di rotazione
Differenza tra il tempo universale (rotazione della Terra) e il tempo atomico
Nutazione della Terra
Mappe della luminosità della sorgente
Dispersione
ω22
τplasm (t, ω) = 2
[τres (ω2 , t) − τres ω1 , t]
ω1 − ω22
τres (ω, t) è il ritardo residuo, una volta applicata la correzione. La precisione è
dell’ordine di alcuni picosecondi.
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Fonti di errore
Atmosfera: equilibrio idrostatico + vapor d’acqua. Il primo è stimato per sorgenti
allo zenith usando un barometro, il secondo contributo usando un radiometro per
vapor d’acqua
τinstr viene determinato dal sistema di calibrazione dei circuiti di rivelazione
L’analisi dati prevede di seguire il segnale, cui si sovrappone un rumore bianco, un
random walk e un random walk integrato
Dai dati sono stati estratti
1.la misura di γ
2.correzioni per la posizione delle sorgenti
3.aggiustamenti giornalieri della posizione del polo terrestre
4.stime del ritardo dovuto alla Terra e alla differenza tra i due orologi
5.La posizione del polo terrestre, la dispersione atmosferica e le differenze tra gli
orologi contribuiscono a 0.0011-0.0010 sull’errore di 0.0017
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Precessione del perielio di Mercurio
Partiamo dalla metrica di Schwarzschild
ds2 = −Zdt2 + Z −1 dr2 + r2 dΩ2
con
Z=
2M
1−
r
e dr2 = dx2 + dy 2 + dy 2 e dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2
Nel caso di Mercurio Z ≈ 1 − 5 × 10−7
Su una traiettoria si conserva p0 perché la metrica non dipende dal tempo.
Siano
Ẽ = −p0 /m,
L̃ = p0 /m
Osserviamo inoltre che se θ = π/2, θ rimane costante.
Si ha
−1
2M
p0 = g 00 p0 = m 1 −
Ẽ
r
dr
pr = m
dτ
1
pφ = g φφ pφ = m 2 L̃
r
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Precessione del perielio di Mercurio II
p
~·p
~ = −m2 implica
−1 2
−1
m2 L̃2
2M
dr
2M
2 2
2 2
2
+ m Ẽ
+
=
−m
−m Ẽ
1−
1−
r
dτ
r
r2
ovvero
!
2
2
2M
dr
L̃
= Ẽ 2 − 1 −
1+ 2
dτ
r
r
Si può definire un potenziale efficace
2M
Ṽ 2 (r) = 1 −
r
1+
L̃2
r2
!
Con il potenziale efficace si possono trovare i punti di inversione della traiettoria
radiale
L’equazione del moto in r si scrive come
2 dr 2
dr
d r
dṼ 2 (r) dr
2
2
= Ẽ − Ṽ (r),
2
=−
2
dτ
dτ
dτ
dr dτ
d2 r
=
dτ 2
che corrisponde al caso Newtoniano
1 dṼ 2 (r)
−
2 dr
d2 r
d
m 2 = − Φ(r)
dt
dr
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 29/61
Precessione del perielio di Mercurio III
Se poniamo l’accelerazione radiale uguale a zero si hanno i punti di equilibrio stabili
e instabili in r
"
!#
2
2M
L̃
d
=0
=
1−
1+ 2
dr
r
r
porta a
2M
r2
1+
L̃2
r2
!
2M
−2 1−
r
L̃2
r3
2M r2 + 2M L̃2 − 2rL̃2 + 4M L̃2 = 0
E si ottiene

L̃2 
r=
1±
2M
s
1−

12M 2 
L̃2
Se i raggi per un’orbita circolare stabile e instabile coincidono, L̃2 = 12M 2
Quindi r = 6M : questo è il raggio dell’orbita stabile più stretta
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 30/61
Precessione del perielio di Mercurio
Le equazioni di Eulero-Lagrange
d
∂K
−
∂xµ
du
∂K
∂ ẋµ
=0
si possono scrivere per una geodetica in termini di
2K ≡ gµν ẋµ ẋν = α
con u parametro affine e α = +1 per traiettorie di tipo tempo, α = 0 per la luce.
Consideriamo il moto in uno spazio con la metrica di Schwarzschild
c2 dτ 2 = c2 Zdt2 − dr2 /Z − r2 dθ2 − r2 sin2 θdφ2
con Z = 1 − 2GM/rc2
Nel caso di Mercurio Z ≈ 1 − 5 × 10−7
Si ha pertanto
2K = Z ṫ2 − Z −1 ṙ2 − r2 θ̇2 − r2 sin2 θφ̇2 = 1
dove il punto significa derivazione rispetto al tempo proprio. Si pone ora c = 1
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 31/61
Precessione del perielio di Mercurio
Le equazioni di Eulero-Lagrange
d
∂K
−
∂xµ
du
∂K
∂ ẋµ
=0
si possono scrivere per una geodetica in termini di
2K ≡ gµν ẋµ ẋν = α
con u parametro affine e α = +1 per traiettorie di tipo tempo, α = 0 per la luce.
Consideriamo il moto in uno spazio con la metrica di Schwarzschild
c2 dτ 2 = c2 Zdt2 − dr2 /Z − r2 dθ2 − r2 sin2 θdφ2
con Z = 1 − 2GM/rc2
Nel caso di Mercurio Z ≈ 1 − 5 × 10−7
Si ha pertanto
2K = Z ṫ2 − Z −1 ṙ2 − r2 θ̇2 − r2 sin2 θφ̇2 = 1
dove il punto significa derivazione rispetto al tempo proprio. Si pone ora c = 1
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 32/61
Precessione del perielio di Mercurio (II)
Possiamo scrivere le equazioni di Eulero-Lagrange
d
∂K
∂K
−
= 0, 2K = Z ṫ2 − Z −1 ṙ2 − r2 θ̇2 − r2 sin2 θφ̇2 = 1
µ
µ
∂x
du ∂ ẋ
per µ = t, θ e φ, ottenendo
d
(Z ṫ) = 0,
dτ
d 2
(r θ̇) − r2 sin θ cos θφ̇2 = 0,
dτ
d 2
(r sin2 θφ̇) = 0
dτ
Consideriamo la seconda equazione: con un moto inizialmente nel piano abbiamo
θ = π/2 e θ̇ = 0 da cui si ottiene θ̈ = 0. Allora θ = π/2 e l’ultima equazione
rappresenta la conservazione del momento angolare
d 2
(r φ̇) = 0, r2 φ̇ = h
dτ
Analogamente la prima equazione dà la relazione
Z ṫ = k
con k costante
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 33/61
Precessione del perielio di Mercurio (III)
L’equazione per K diventa
2
2K = Z ṫ − Z
−1 2
2 2
2
2
ṙ2
1 = Z ṫ −
− r2 φ̇2 .
Z
2
2
ṙ − r θ̇ − r sin θφ̇ = 1,
Usando i risultati precedenti la si può riscrivere come
k2 Z −1 − Z −1 ṙ2 − r2 φ̇2 = 1
Moltiplicando per m2 si ottiene
m2 ṙ2
m = m Z ṫ −
− m2 r2 φ̇2 .
Z
2
2
2
Se Z = 1 questa si riduce alla relazione m2 = E 2 − p2
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 34/61
Precessione del perielio di Mercurio (IV)
Poniamo u = r−1 , ottenendo dalla conservazione del momento angolare r2 φ̇ = h
2rṙ φ̇ + r2 φ̈,
ṙ = −h
du
dφ
Si ottiene in definitiva
du
dφ
2
k2 − 1
2M
+u =
+
u + 2M u3
2
2
h
h
2
e derivando rispetto a φ
d2 u
M
+
u
=
+ 3M u2
2
2
dφ
h
che rappresenta un moto armonico per u = r −1 con una piccola perturbazione.
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 35/61
Precessione del perielio di Mercurio (V)
Poniamo ε = 3M 2 /h2 e calcolando la correzione ε(h2 u2 /M ) lungo la traiettoria
imperturbata si ottiene
M
[1 + eφ sin φ + e2 (3 − cos 2φ)/6]
2
h
dove e è l’eccentricità dell’orbita.
Il termine importante è quello che contiene φ e che si cumula nel tempo. In
definitiva
M
u ≃ 2 {1 + e cos[φ(1 − ε)]}
h
u ≃ u0 + ε
La precessione del perielio risulta essere
24π 3 a2
6πGM
2πε ≃ 2 2
=
c T (1 − e2 )
c2 a(1 − e2 )
dove a è il semiasse maggiore e T il periodo dell’orbita.
Semiasse maggiore dell’orbita di Mercurio :
a = h2 /GM c2 (1 − e2 ) = 0.4 UA, periodo : 0.24 anni, eccentricità e = 0.206
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 36/61
Precessione del perielio di Mercurio e PPN
La precessione del perielio di Mercurio includendo anche i termini PPN si scrive
come (G = c = 1)
∆ω̃
=
+
+
1
6πM
[
(2 + 2γ − β)
a(1 − e2 ) 3
1
(2α1 − α2 + α3 + 2ζ2 )µ/M
6
J2 (R2 /2M [a(1 − e2 )])]
J2 è il momento di quadrupolo del Sole (J2 ∼ 1 × 10−7 ). Sostituendo i valori si
ottiene
ω̃˙
=
λp
≡
42.′′ 98λp secolo− 1
1
[ (2 + 2γ − β) + 3 × 10−4 (J2 /10−7 )]
3
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 37/61
Precessione del perielio di Mercurio e PPN (II)
I contributi alla precessione del perielio sono
′′ /secolo
Causa
Precessione dei poli
periodo 25800 anni
Venere
∼ 5025.6
277.8
Terra
90.0
Marte
2.5
Giove
153.6
Saturno
7.3
Altri
0.2
Totale
5557.0
Osservato
5599.7
Da questo si ottiene
1
(2 + 2γ − β) =
3

 1.005 ± 0.020(1966-1971 Shapiro et al, 1972)
 1.003 ± 0.005(1966-1976 Shapiro et al, 1976)
Differenza
42.7
Controversia sollevata con una stima di J2 fatta da Dicke (1974)
J2 = (2.47 ± 0.23) × 10−5
sufficiente a introdurre una deviazione di 4′′ /secolo molto superiore alla precisione
raggiunta, che poteva essere spiegata con ω di Brans-Dicke circa uguale a 5.
Controversia sedata con ulteriori misure sul Sole
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 38/61
Fisica Newtoniana
Moto Newtoniano nel sistema solare. Entro una precisione di 10−5 i raggi di luce si
muovono lungo linee rette e le masse di prova secondo
~
~a = ∇U
dove (unità geometriche)
2
x, t) =
∇ U = −4πρ, U (~
Z
ρ(~
x′ , t) 3 ′
d x
|~
x−~
x′ |
~
~a è l’accelerazione spaziale e ∇U
è il gradiente tridimensionale.
Un fluido ideale segue le equazioni di Eulero
~
∂ρ/∂t + ∇·(ρ~
v)
=
0,
ρd~v /dt
=
~ − ∇p,
~
ρ∇U
d/dt
=
~
∂/∂t + ~v · ∇
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 39/61
Parametrizzazione Post Newtoniana
Si desidera studiare la gravitazione come teoria metrica, nel sistema solare con
basse velocità e piccola curvatura
Applicando a un corpo istantaneamente fermo in un campo statico l’equazione per
la geodetica
α
β
d2 xµ
µ dx dx
+ Γ αβ
=0
dτ 2
dτ dτ
si ottiene
ak = d2 xk /dt2 = −Γk00 =
1 kl
g g00,l
2
A grandi distanze la metrica si riduce alla metrica di Minkowski
gµν → ηµν = diag(−1, 1, 1, 1)
La gravitazione di Newton si ottiene se
g jk ≃ δ jk , g00 ≃ −1 + 2U
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 40/61
Parametrizzazione Post Newtoniana II
Gravitazione di Newton:
g jk ≃ δ jk , g00 ≃ −1 + 2U
In questa approssimazione, con un tensore impulso-energia per fluidi perfetti dato da
T 00 = ρ, T 0j = ρv j , T jk = ρv j v k + pδ jk
le equazioni di Eulero sono equivalenti a
µ
µν
µ
νρ
00
T µν
≃ T µν
=0
;ν = T ,ν + Γ νρ T
,ν + Γ 00 T
tenendo solo i termini del prim’ordine in v 2 ∼ U ∼ p/ρ
Questa è la meccanica Newtoniana. Occorre aggiungere termini Post Newtoniani
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 41/61
Formalismo PPN: termini da tenere
Occorre valutare i termini di energia cinetica e energia potenziale
Otteniamo l’ordine di U in v 2 attraverso l’espansione del viriale
v2 . U
La pressione p nel Sole e nei pianeti è di solito minore della densità di energia
gravitazionale ρU .
p/ρ . U
(p/ρ ∼ 10−5 per il Sole, ∼ 10−10 per la Terra)
Altre forme di energia (termica, elastica, di radiazione) sono piccole: la densità
specifica di energia Π = u/ρc2 (densità di energia u fratto densità di energia a
riposo) è
Π .U
(Π ∼ 10−5 per il Sole, ∼ 10−10 per la Terra)
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 42/61
Formalismo PPN: termini da tenere II
L’ordine di infinitesimo è quindi
U ∼ v 2 ∼ p/ρ ∼ Π ∼ O(2)
e termini in v sono O(1), U v sono O(3), ecc.
L’evoluzione del sistema è governata dalla velocità dei singoli componenti
~ da cui |∂/∂t| ∼ O(1)
∂/∂t ∼ ~v · ∇,
|∂/∂x|
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 43/61
Formalismo PPN: termini da tenere (III)
Partiamo dall’azione in un riferimento di Lorentz locale con coordinate xµ̂ per una
singola massa e il campo elettromagnetico
1/2
Z Z
dxµ̂ dxν̂
−ηµ̂ν̂
dt + e Aµ̂ dxµ̂
IN G = −m0
dt dt
Z
1
−
η µ̂α̂ ην̂ β̂ Fµ̂ν̂ Fα̂β̂ (−η̂)−1/2 d4 x̂
16π
Dove
Fµν
=
Aν,µ − Aµ,ν
η̂
=
det ηµ̂ν̂
In un riferimento qualsiasi si dimostra che
Z Z
dxµ dxµ 1/2
IN G = −m0
−gµν
dt + e Aµ dxµ
dt dt
Z
1
−
η µα ηνβ Fµν Fαβ (−|g|)−1/2 d4 x
16π
Dove Fµν = Aν;µ − Aµ;ν
La derivata covariante ; ha sostituito la derivata parziale ,
ηµν diventa gµν e (−η)1/2 d4 x (−g)1/2 d4 x
Il Principio di Equivalenza è all’opera
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 44/61
Formalismo PPN: termini da tenere (IV)
Per una particella scarica la Lagrangiana si riduce a
Z
L = −m0 (−g00 − 2g0j v j − gjk v j v k )1/2 dt
Nel limite Newtoniano dato da
g jk ≃ δ jk , g00 ≃ −1 + 2U
possiamo scrivere la Lagrangiana della meccanica Newtoniana
L = (1 − 2U − v 2 )1/2
che è di ordine 2.
Il termine successivo non può essere dispari: cambia segno con l’inversione del
tempo ed è quindi dissipativo.
La Meccanica Post Newtoniana deve quindi includere l’ordine 4.
Termini di ordine 5 violano la conservazione dell’energia in appossimazione
postnewtoniana.
Termini di ordine 7 rappresentano perdita di energia per irraggiamento
gravitazionale.
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 45/61
Meccanica Post Newtoniana
Partendo dalla Lagrangiana Newtoniana
L = 1 − 2U − v 2 , g jk ≃ δ jk , g00 ≃ −1 + 2U
si troveranno all’ordine 4 ulteriori termini:
L = {1 − 2U − v 2 − g00 [O(4)] − 2g0j [O(3)]v j − gjk [O(2)]v j v k }1/2
occorre quindi conoscere g00 all’ordine O(4), g0j all’ordine O(3) e gjk all’ordine O(2)
Nel caso di un raggio di luce newtoniano la Lagrangiana sarà
0 = L = {1 − v 2 }1/2 , v 2 = 1
All’ordine post newtoniano successivo vi saranno ulteriori termini
0 = L = {1 − 2U − v 2 − gjk [O(2)]v j v k }1/2 , v 2 = 1
occorre quindi conoscere g00 all’ordine O(2) e gjk all’ordine O(2)
Le equazioni idrodinamiche
T µν
;ν = 0
risulteranno consistenti se il tensore impulso-energia
T µν = (ρ + ρΠ + p)uµ uν + pg µν
viene sviluppato in questa maniera
T 00 ∼ ρO(2), T 0j ∼ ρO(3), T jk ∼ ρO(4)
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 46/61
Sistema di riferimento Post Newtoniano
Occorre anche considerare il sistema di coordinate. Scegliendo un sistema di
coordinate in caduta libera rispetto al modello cosmologico e a riposo rispetto a un
sistema per il quale l’Universo appare isotropo si ha
ds2 = −dt2 + [a(t)/a0 ]2 (1 + kr2 /4a20 )−2 δij dxi dxj + hµν dxµ dxν
dove a = a(t), a0 ≡ a(t0 ) è il fattore cosmologico, e k è il parametro di curvatura
(k = 0, ±1).
L’ultimo termine rappresenta la deviazione dovuta al sistema Post Newtoniano
In un punto che si trova a r0 e a un istante t0 si può scegliere un riferimento tale che
t′ = t,
′
xj = xj (1 − kr02 /4a20 )−1
dove
′
ds2 = (ηµν + h′µν )dxµ dxν
′
Il raggio r0 deve essere abbastanza grande affinché hµν ∼ M/r0 ≪ 1 però non
troppo grande perché compaiano deviazioni cosmologiche, cioè più piccolo dei
termini postnewtoniani di ordine (M/r)2 .
Si deve quindi avere (M/r0 )2 & ((r0 /a0 )2 . Per a0 ∼ 1010 anni luce e M = M ⊙,
r0 . 1011 km ≃ 103 AU .
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 47/61
Potenziali Post Newtoniani
La parte spaziale della metrica gjk deve essere un tensore per le rotazioni.
I termini che possono apparire sono tensori per rotazioni spaziali
gjk [O(2)] : U δjk , Ujk ,
con
U =
Z
ρ
3 ′
d
x
|~
x−~
x′ |
Ujk ≡
Z
ρ(~
x′ , t)(x − x′ )j (x − x′ )k 3 ′
d x
|~
x−~
x′ |3
vettori spaziali
g0j [O(3)] : Vj , Wj ,
con
Vj ≡
Wj ≡
Z
Z
ρ(~
x′ , t)vj 3 ′
d x
|~
x−~
x′ |
ρ(~
x′ , t)vk′ (x − x′ )k (x − x′ )j
|~
x−~
x′ |3
d3 x′
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 48/61
Potenziali Post Newtoniani II
oppure scalari
g00 [O(4)] : U 2 , ΦW , Φ1 , Φ2 Φ3 , Φ4 , A, B
con
A=
B=
ΦW =
Z
Z
Z
x−~
x′ )]2 3 ′
ρ′ [~v ′ · (~
d x
|~
x−~
x′ |3
ρ′
d~v ′ 3 ′
′
(~
x−~
x )·
d x
|~
x−~
x′ |
dt
x−~
x′
′ ′′ ~
ρρ
·
|~
x−~
x′ |3
~
x′ − ~
x′′
~
x−~
x′′
− ′
|~
x−~
x′′ |
|~
x −~
x′′
Φ1 =
Z
ρ′ v ′2 3 ′
d x
|~
x−~
x′ |
Φ2 =
Z
ρ′ U ′ 3 ′
d x
′
|~
x−~
x|
Φ3 =
Z
ρ′ Π ′
d3 x′
′
|~
x−~
x|
Φ4 =
Z
p′
3 ′
x
d
|~
x−~
x′ |
d3 x′ d3 x′′
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 49/61
Metrica PPN
La metrica completa nel riferimento in quiete si scrive
g00
=
−1 + 2U − 2βU 2 − 2ξΦW + (2γ + 2 + α3 + ζ1 − 2ξ)Φ1
+2(3γ − 2β + 1 + ζ2 + ξ)Φ2 + 2(1 + ξ3 )Φ3 + 2(3γ + 3ζ4 − 2ξ)Φ4
g0j
=
gij
=
−(ζ1 − 2ξ)A
1
− (4γ + 3 + α1 − α2 + ζ1 − 2ξ)Vj
2
1
− (1 + α2 − ζ1 + 2ξ)Wj
2
(1 + 2γU )δij
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 50/61
Tensore Energia-impulso, equazioni del moto
Tensore energia impulso
T 00 = ρ(1 + Π + v 2 + 2U )
T 0i = ρ(1 + Π + v 2 + 2U + p/ρ)v i
T ij = ρv i v j (1 + Π + v 2 + 2U p/ρ) + pδ ij (1 − 2γU )
Le equazioni del moto sono
T µν
ν =0
d2 xµ /dλ2 + Γµνλ dxν /dλdxλ /dλ = 0
µ
F µν
ν = 4πJ , Fµν = Aν;µ − Aµ;ν
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 51/61
Metrica PPN completa
La metrica completa, incluse trasformazioni di Lorentz di parametro w µ , si scrive
g00
=
−1 + 2U − 2βU 2 − 2ξΦW + (2γ + 2 + α3 + ζ1 − 2ξ)Φ1
+2(3γ − 2β + 1 + ζ2 + ξ)Φ2 + 2(1 + ξ3 )Φ3 + 2(3γ + 3ζ4 − 2ξ)Φ4
g0j
=
gij
=
−(ζ1 − 2ξ)A − (α1 − α2 − α3 )w2 U − α2 wi wj Uij + (2α3 − α1 )wi Vi
1
− (4γ + 3 + α1 − α2 + ζ1 − 2ξ)Vj
2
1
− (1 + α2 − ζ1 + 2ξ)Wj
2
1
− (α1 − 2α2 )wj U − α2 wk Ujk
2
(1 + 2γU )δij
La famiglia completa di parametri, che comprende effetti di rotazione, riferimenti
privilegiati, velocità della radiazione gravitazionale diversa dalla velocità della luce,
portano alla famiglia di parametri
γ, β, ξ, α1 , α2 , α3 , ζ1 , ζ2 , ζ3 , ζ4
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 52/61
Metrica PPN
Una primitiva versione del formalismo PPN studiata da Eddington, Robertson e
Schiff, con un sole sferico non rotante e pianeti che siano punti materiali produce
una metrica
g00
=
−1 + 2M/r − 2β(M/r)2
g0j
=
0
gjk
=
(1 + 2γM/r)δjk
dove M è la massa del Sole e β e γ sono due parametri PPN.
Il significato di γ viene dato dal calcolo del tensore di Riemann
Rijkl = (3γM/r 3 )(~
nj ~
nk δil + ~
ni ~
nl δjk − ~
ni ~
nk δjl − ~
nj ~
nl δik −
2
2
δjk δil + δik δjl )
3
3
con ~
n=~
x/r, versore di ~
x.
γ misura quanto la massa curva lo spazio tempo.
Il parametro β misura quanto il termine non lineare (M/r)2 appare nella
componente g00 della metrica (ha senso solo nella gauge PostNewtoniana)
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 53/61
Il limite PPN della Relatività Generale
L’azione per la Relatività Generale è
Z
I = (16πG)−1 R(−g)1/2 d4 x + IN G (qA , gµν )
(R scalare di Ricci)
dalla quale si ottiene all’approssimazione postnewtoniana la metrica
g00
=
g0j
=
gij
=
−1 + 2U − 2U 2 + 4Φ1 + 4Φ2 + 2Φ3 + 6Φ4 ,
7
1
− Vj − Wj ,
2
2
(1 + 2U )δij
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 54/61
Il limite PPN della Relatività Generale (II)
Riprendendo la metrica all’approssimazione postnewtoniana
g00
=
g0j
=
gij
=
−1 + 2U − 2U 2 + 4Φ1 + 4Φ2 + 2Φ3 + 6Φ4 ,
7
1
− Vj − Wj ,
2
2
(1 + 2U )δij ,
confrontando con l’espressione per la metrica PPN
g00
=
−1 + 2U − 2βU 2 − 2ξΦW + (2γ + 2 + α3 + ζ1 − 2ξ)Φ1
+2(3γ − 2β + 1 + ζ2 + ξ)Φ2 + 2(1 + ξ3 )Φ3 + 2(3γ + 3ζ4 − 2ξ)Φ4
g0j
=
gij
=
−(ζ1 − 2ξ)A
1
− (4γ + 3 + α1 − α2 + ζ1 − 2ξ)Vj
2
1
− (1 + α2 − ζ1 + 2ξ)Wj
2
(1 + 2γU )δij ,
si ottengono i valori dei parametri PPN per la Relatività Generale
γ=β=1
e gli altri parametri sono 0.
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 55/61
Teoria di Brans-Dicke
La teoria è caratterizzata da uno scalare dinamico φ con azione
Z
I = (16π)−1 [φR − φ−1 ω(φ)g µν φ,µ φ,ν + 2φλ(φ)]
×(−g)1/2 d4 x + IN G (qA , gµν )
Si ottiene, usando le definizioni
ω = ω(φ0 ), ω ′ ≡ dω/dφ|φ0
Λ ≡ ω ′ (3 + 2ω)−2 (4 + 2ω)−1
g00
=
g0j
=
gij
=
3
+
2ω
−1 + 2U − 2(1 + Λ)U 2 + 4
Φ1
4 + 2ω
1 + 2ω
1+ω
− Λ Φ2 + 2Φ3 + 6
Φ4 ,
+4
4 + 2ω
2+ω
1 10 + 7ω
1
−
Vj − Wj ,
2
2+ω
2
1+ω
U δij
1+2
2+ω
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 56/61
Teoria di Brans-Dicke (II)
In unità geometriche abbiamo imposto
Gtoday ≡ φ−1
0
4 + 2ω
3 + 2ω
=1
Se φ0 (parametro cosmologico) varia nel tempo, Gtoday può variare.
I parametri PPN diventano
1+ω
γ=
, β =1+Λ
2+ω
gli altri parametri sono nulli.
ω → ∞ riconduce la teoria di Brans-Dicke alla GR.
GravSp 3 AA 2009-2010 – p. 57/61
Parametri del formalismo PPN
Parametro
Riferimento a GR
GR
Semiconservative
Conservative
γ
Curvatura prodotta
1
γ
γ
β
Non linearità
1
β
β
ξ
Posizione privilegiata
0
ξ
ξ
αi
Riferimento privilegiati
~
Conservazione L
0
α1−2
0
0
0
0
α3 , ζi
Teoria
Limiti PPN di varie teorie
Funzioni libere Parametri cosmologici
γ
β
ξ
GR (g)
–
–
1
1
0
Scalar-tensor (g, φ)
ω(φ)
φ0
1
0
Vector-tensor (g, K)
ω, η, ǫ, τ
K
1+ω
2+ω
γ′
β′
0
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Principio di equivalenza forte
Se applichiamo il formalismo PPN a una qualsiasi teoria metrica possiamo avere
termini di massa inerziale e massa gravitazionale passiva diversi. Alla stessa
approssimazione possono essere presenti termini tensoriali di massa provenienti dai
momenti di quadrupolo.
Il rapporto
10
2
2
1
(mP /mI )a = 1 + Ωa /ma 4β − γ − 3 −
ξ − α1 + α2 − ζ1 − ζ2
3
3
3
3
con
Z
1
ρ∗ ρ∗′ 3 3 ′
Ωa = −
d xd x
2 a |~
x−~
x′ |
è una fonte di violazione di SEP.
Siccome la Luna ha una energia gravitazionale propria minore di quella della Terra,
la caduta verso il Sole sarà diversa. Si avrà un’orbita polarizzata verso il Sole e la
distanza Terra-Luna sarà modulata secondo
δr ≃ 9.2η cos (ω0 − ωs )t m
dove ω0 è la velocità angolare della Luna sulla sua orbita e ωs è quella della Terra.
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Principio di equivalenza forte (II)
Misura del caduta della Terra e della Luna verso il Sole: Lunar Ranging experiment.
J. G. Williams, X. X. Newhall, and J. O. Dickey, PRD 53(1996)6730.
Un laser manda impulsi di 1018 fotoni lunghi 200 ps. Questi vengono riflessi da tre
matrici di catarifrangenti depositati sulla Luna. In condizioni favorevoli un fotone
viene rivelato ogni qualche secondo. La precisione raggiunta ora è di 2-3 cm.
Una eventuale violazione del principio di equivalenza forte si tradurrebbe in una
distanza Terra-Luna modulata con la fase della Luna, con periodo 29.53 giorni
(1/29.53 = 1/27.32 − 1/365.24).
Modello usato: effemeridi JPL (www.jpl.nasa.gov)
Effetti relativistici nella misura medesima
!
B
S + r S + r S + (1 + γ)µ /c2
rij
r
s
(1 + γ)µs
i
j
ij
tj − ti =
+
ln
S + (1 + γ)µ /c2
c
c3
riS + rjS − rij
s
!
E + rE + rE
r
(1 + γ)µs
i
j
ij
+
ln
E
c3
riE + rjE − rij
L’apice B indica le coordinate nel riferimento del baricentro del sistema solare,
l’apice E in quelle terrestri e l’apice S in quelle solari. µS = GM⊙ e µE = GME .
L’effetto del Sole è di 7.6 m, quello della Terra 4 cm e quello della Luna 0.7 mm.
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Principio di equivalenza forte (III)
Chiamando UG l’energia gravitazionale della Luna, la violazione del principio di
equivalenza forte si scrive come
UG
MG
−1=η
MI
mc2
e nel formalismo PPN si ha
η = 4β − γ − 3
Una accurata analisi dei dati ha consentito di ottenere
Soluzione
Parametro
Valore
Principio di equivalenza
Geodetic precession K
η
GP
(3.2 ± 4.6) × 10−13
−0.003 ± 0.007
PPN della linearità
β
1.003 ± 0.005
e della curvatura
γ
1.000 ± 0.005
Variazione di G
Ġ/G
(1 ± 8) × 10−12 /yr
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