PROGETTO INNOVAMATICA
Innovazione & Matematica
Corso Galileo
Prima lezione - 22 ottobre 2003
La matematica: linguaggio universale
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Formazione & divulgazione
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Cambiando il modo di misurare le
distanze fra punti, cambia la
“visione” del mondo
In particolare cambia
- la “forma” di alcuni luoghi
- la curva geodetica
d ( P, Q)  ( x1  x2 )  ( y1  y2 )
2

0
d :R R  R
2
2
2
Q
P
Proprietà
i ) d ( P, Q )  0  P  Q
R
ii ) d ( P, Q)  d (Q, P) simmetrica
iii ) d ( P, Q)  d ( P, R)  d ( R, Q) triangolare
Distanza euclidea nel piano
Peculiarità della metrica euclidea
• uniformità spaziale
• assenza di direzioni preferenziali
• invariante per traslazione, rotazione, simmetrie.
• la circonferenza luogo a curvatura costante
Q
• il segmento curva geodetica del piano
P
dm ( P, Q)  max | x1  x2 |, | y1  y2 |
y
Q
2
d(P,Q)
y1
P
x1
x2
Provare che d m è una metrica
Metrica del massimo
Peculiarità della metrica del massimo
• uniformità spaziale ?
• assenza di direzioni preferenziali ?
• invariante per traslazione, rotazione, simmetrie ?.
• Il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso
(detto circonferenza) è ……….
Q
• il segmento è curva geodetica del piano.
Perché?
P
d M ( P, Q) | x1  x2 |  | y1  y2 |
y
Q
2
Avenue
Street
y1
x1
Provare che d M è una metrica
Metrica di Manhattan
d(P,Q)
P
x2
Peculiarità della metrica di Manhattan
• uniformità spaziale ?
• assenza di direzioni preferenziali ?
• invariante per traslazione, rotazione, simmetrie ?.
• Il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso
(detto circonferenza) è ……….
Q
• il segmento è curva geodetica del piano.
Perché?
P
Fine lezione
PROGETTO INNOVAMATICA
Innovazione & Matematica
Corso Galileo
seconda lezione - 12 novembre 2003
dm ( P, Q)  max | x1  x2 |, | y1  y2 |
y
Q
2
d(P,Q)
y1
P
x1
x2
Provare che d m è una metrica
Metrica del massimo
Consideriamo la circonferenza di centro l’origine e raggio unitario
max | x |, | y |  1
se | y || x | allora | y || x | 1
( x  1  x  1)  1  y  1
se | x || y | allora | x || y | 1
( y  1  y  1)  1  x  1
circonferenza di centro l’origine e raggio unitario
max | x |, | y |  1
d M ( P, Q) | x1  x2 |  | y1  y2 |
y
Q
2
Avenue
Street
y1
x1
Provare che d M è una metrica
Metrica di Manhattan
d(P,Q)
P
x2
Consideriamo la circonferenza di centro l’origine e raggio unitario
| x |  | y | 1
| y | 1  x
| y | 1  x


x  0
x  0
 y  1 x
 y  1  x


 y  0
y  0
x  0
x  0


 y  1 x
 y  1  x


 y  0
y  0
x  0
x  0


Sandwich world
S1
P
S2
Q
V=vincolo o linea di separazione
d1 =distanza in S1
d2 =distanza in S2
V
X
S1=semipiano superiore
S2=semipiano inferiore
d1
S1
d2
S2  V
se P, Q  S1
 d1 ( P, Q )



se P, Q  S 2
d ( P, Q )   d 2 ( P, Q )

 min {d1 ( P, X )  d 2 ( X , Q )}
X V


se
 P  S1

Q  S 2
Sandwich world
d ( P, Q ) è una distanza in
Caso banale
Caso notevole
S1
S2
d1  d 2
d1 
d euclidea
v1
d2 
d euclidea
v2
Fine lezione