Violazione di CP nei mesoni neutri
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Formalismo a due stati
Si considera il sottospazio (non completo) {K0,K0}, per tempi » della
scala delle interazioni forti (Weisskopf-Wigner).
ψ (t ) = e
− iH eff t
ψ (0)
Hamiltoniana efficace non hermitiana, scomposta in parte hermitiana
(matrice di massa) ed anti-hermitiana (i/2 matrice di decadimento):
ih
i 

M
−
Γ K S , L (t ) = λS , L K S , L (t )

2 

i
λS , L = mS , L − ΓS , L
2
d
i 

ψ (t ) = H eff ψ (t ) = M − Γ ψ (t )
dt
2 

M+ = M
Γ+ = Γ
M ij = mK δ ij + i H 2 j −℘∑k
i H1 k k H 1 j
E k − mK
Γij = 2π ∑k i H1 k k H1 j δ ( Ek − mK )
M.S. Sozzi
H2: transizioni dirette K0 ↔ K0 (∆S=2)
H1: hamiltoniana debole (∆S=1)
Violazione di CP
CP conservata
Caso di simmetria CP
 H11
H = 
 H 21
H12 

H 22 
 0 1

CP = 
 1 0
Se vale la simmetria CP [H,CP]=0
〈K0HK0〉 = 〈K0H CPK0〉 = 〈K0CP HK0〉 = 〈K0HK0〉
〈K0HK0〉 = 〈K0H CPK0〉 = 〈K0CP HK0〉 = 〈K0HK0〉
H11 = H22 = m0
H12 = H21 = δm
 m + m0
H =  K
 δm
δm


mK + m0 
H Ψ = (mK + m0 ± δm ) Ψ
Mass shift m0 & mass split ∆m = 2δm
M.S. Sozzi
Violazione di CP
CP conservata
Differenza di massa ∆m
Deriva da interazioni ∆S=2:
m( K1 ) − m( K 2 ) = K 0 H eff K 0 + K 0 H eff K 0
Richiede violazione di stranezza:
K 0 H eff K 0 = K 0 H eff S K 0 = K 0 SH eff K 0 = − K 0 H eff K 0 = 0
∆m ≅ 2 Re M 12
∆Γ ≅ 2 Re Γ12
∆m = m(KL)-m(KS) = (3.491 ± 0.009) · 10-6 eV
Effetto delle interazioni deboli al second’ordine !
∆m misurato mediante oscillazioni
(K+n → K0p) K0 → K0 (K0p → Λπ+)
o rigenerazione.
M.S. Sozzi
Violazione di CP
∆m e rigenerazione
Intensita’ di rigenerazione in
funzione di ℓ, nota µ
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Intensita’ di K1 in funzione di
d+ℓ, nota f
Caso senza simmetria CP
CPT impone H11 = H22 (come CP), ovvero:
 mK + m0
H = 
 H 21
H12 

mK + m0 
λS , L = H11 ± H12 H 21
T impone H12 = H21 (come CP)
〈fM,Γi〉 = 〈iM,Γf〉 = 〈fM,Γi〉* quindi M12 e Γ12 reali.
Cambiando la fase relativa diK0〉 eK0〉 (trasformazione generata
dalla stranezza) cambiano le fasi di M12 e Γ12:
T (CP) impone M12 e Γ12 relativamente reali.
Nel caso piu’ generale:
H = A 1 + Bi σ i
M.S. Sozzi
Violazione di CP
A
B1
B2
B3
CP
+
+
−
−
T
+
+
−
+
CPT
+
+
+
−
Stati fisici
Gli stati fisici sono “quasi” autostati di CP
[)
[)
1
1

[
]
ε
K
K
K
(1 + ε S ) K 0 + (1 − ε S ) K 0
=
+
=
S
1
2
 S
2
2
1+ εS
2 1+ εS


1
1
 KL =
[
K 2 + ε L K1 ] =
(1 + ε L ) K 0 − (1 − ε L ) K 0
2
2

1+ εL
2 1+ εL

(
(
1

=
K
S

2

2 1 + ε − δ 2



1
 KL =

1 + ε 2 + δ 2
2


[ (1 + ε − δ ) K
0
+ (1 − ε + δ ) K 0
]
[ (1 + ε + δ ) K
0
− (1 − ε − δ ) K 0
]


]
]
ε ≡ (ε S + ε L ) / 2
δ ≡ (ε L − ε S ) / 2


Se εS,εL ≠ 0 la simmetria CP e’ violata (stati fisici non autostati di CP)
K L K S = 2 Re ε − 2i Im δ
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Tre descrizioni
K0, K0: Autostati di stranezza, prodotti dalle interazioni
forti, rilevanti per la propagazione nella materia. Coppia
particella/anti-particella (masse uguali per CPT),
decadimenti in stati finali comuni (non ortogonali), vita
media non definita (decadimento non esponenziale).
K1, K2: Autostati di CP, quasi coincidenti con gli stati fisici,
non particella/anti-particella, masse diverse e stati finali
(quasi) differenti, ortogonali.
KS, KL: Stati fisici, non particella/anti-particella, masse
diverse e stati finali (quasi) differenti, quasi ortogonali.
“… there is scarcely a physical system which contains
so many of the elements of modern physics”.
(V. Fitch, 1980)
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Diagonalizzazione dell’hamiltoniana efficace:
ε=
Im M 12 − (i / 2) Im Γ12
i∆m − ∆Γ / 2
δ=
( M 22 − M 11 ) − i (Γ22 − Γ11 )
2[∆m − (i / 2)∆Γ]
N.B. Si definiscono: ∆m ≡ mL-mS > 0 e ∆Γ ≡ ΓS-ΓL > 0
Se ε ≠ 0 o δ ≠ 0 la simmetria CP e’ violata
(stati fisici non autostati di CP)
Se ε ≠ 0 la simmetria T
e’ violata:
M12 ≠ M21 Γ12 ≠ Γ21
M.S. Sozzi
Se δ ≠ 0 la simmetria CPT
e’ violata:
M11 ≠ M22 Γ11 ≠ Γ22
Violazione di CP
Ipotesi superdebole
L. Wolfenstein (1964):
Un’ipotetica nuova
interazione che induca
transizioni K0↔K0 (∆S=2)
al prim’ordine, con
accoppiamento ~ 10-7 GF
potrebbe spiegare
l’effetto e risultare
Im M 12 − (i / 2) Im Γ12
ε=
i∆m − ∆Γ / 2
GSW α GF
ε ∝
=
∆m
∆m
2
α GF m p
−3
≈
2
⋅
10
ε ≈ 2
GF m 4p
praticamente invisibile
altrove.
In questo modello la violazione di CP deriva da una
proprieta’ degli stati fisici KS,KL parametrizzata da ε
(violazione indiretta di CP).
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Il problema…
In uno schema superdebole la violazione di CP
potrebbe essere limitata in natura ai mesoni K neutri.
Per 35 anni la situazione e’ rimasta questa…
“At present our experimental understanding
of CP violation can be summarized by the
statement of a single number”.
(J. Cronin, 10.12.1980 – Stockholm)
In questo modello la violazione di CP deriva da una
proprieta’ degli stati fisici KS,KL parametrizzata da ε
(violazione indiretta di CP).
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Tipi di violazione di CP
La violazione di CP in interazioni ∆S=2 e’ detta
VIOLAZIONE INDIRETTA DI CP
La violazione di CP in interazioni ∆S=1 e’ detta
VIOLAZIONE DIRETTA DI CP
La violazione di CP dovuta all’impurita’ (ε) negli stati fisici e’ detta
VIOLAZIONE DI CP NEL MESCOLAMENTO
KL ∝ K2+ ε K1
ππ
E’ violazione indiretta di CP
M.S. Sozzi
Violazione di CP
La violazione di CP nel processo fisico di decadimento e’ detta
VIOLAZIONE DI CP NEL DECADIMENTO
KL ∝ K2+ ε K1
ππ
E’ violazione diretta di CP
Transizione da un autostato di CP
ad un altro con autovalore opposto:
K2 (CP=-1) → ππ (CP=+1)
Manifesta una proprieta’ intrinseca
delle interazioni deboli
Non esiste nel modello superdebole
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Vincoli sulle ampiezze di transizione
CPT
a(i → f) = a*(i → f)
T
a(i → f) = a*(i → f)
a(i → f) = a*(i → f)
CP
M.S. Sozzi
a(i → f) = a(i → f)
Violazione di CP
Le barre indicano
stati CP-coniugati
Teorema di Fermi-Watson
1.
Unitarietá elastica (interazioni forti non creano nuovi stati)
2.
Simmetria CPT
3.
Stati invarianti per T (ad es. senza spin)
“La fase di un’ampiezza di decadimento (debole) e’ sostanzialmente
determinata dalle interazioni elastiche delle particelle nello stato
finale”.
A(i → f) = e2iδA*(i → f)
Dove δ e’ la fase di diffusione (forte) per f → f (ad es.
ππ → ππ per l’ampiezza K → ππ).
Fattorizzando le fasi forti: A(i → f) ≡ eiδ a(i → f)
a(i → f) = a*(i → f)
Violazione di CP: ampiezze complesse
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Le barre indicano
stati CP-coniugati
Violazione di CP nei decadimenti
Avere un ampiezza complessa non e’ sufficiente.
E’ necessaria l’interferenza di 2 ampiezze
A(i → f ) = eiδ1 a1 eiφ1 + eiδ 2 a2 e iφ2
A(i → f ) = e
iδ 1
a1 e
−iφ1
+e
iδ 2
a2 e
− iφ 2
(Fermi-Watson)
Γ(i → f ) − Γ(i → f ) = 4 a1 a2 sin(δ 1 − δ 2 ) sin(φ1 − φ2 )
+Φ+δ
Necessarie ampiezze con
fasi deboli (φ) e forti (δ)
differenti
+Φ
Per avere grande
asimmetria: ampiezze
comparabili
−Φ
M.S. Sozzi
Violazione di CP
−Φ+δ
Inoltre sono necessari piu’ stati finali
Per uno stato finale singolo (autostato di CP)
in cui sia K0 che K0 possono decadere:
ponendo:
CP K
Af± ≡ f ± H K
0
0
iξ
=e K
=±e
CP f ± = ± f ±
0
− iξ
0
K H f± = ± e
− iξ
f± H K
0 *
*
≡ ± e −iξ A f ±
le ampiezze possono sempre essere rese relativamente reali
grazie all’arbitrarieta’ di ξ
ηf
+
− iξ *
A( K L → f + ) (1 + ε ) A f + − (1 − ε )e A f +
≡
=
=ε
− iξ *
A( K S → f + ) (1 + ε ) A f + + (1 − ε )e A f +
ηf ≡
−
A( K S → f − ) 1
=
A( K L → f − ) ε
In questo modo si misura solo la violazione di CP nel mescolamento.
In presenza di piu’ ampiezze con fasi relative non nulle, non e’
possibile renderle tutte relativamente reali.
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Decadimenti semileptonici (Kℓ3)
Consentono la misura
della stranezza.
BR(KL→πeυ) ≈ 0.39
BR(KL→πµυ) ≈ 0.28
Per la regola ∆S= ∆Q:
possibili soltanto
K0 → π-ℓ+ν e K0 → π+ℓ-ν
Ad es.
→
non Σ+ → ne+ν
Σ–
ne-ν
N+: e+, N-: ex = A(∆S=-∆Q)/
A(∆S= ∆Q)
ma
Non sono autostati di CP.
Unica ampiezza di
decadimento.
Gli stati K0 e K0 non possono
contribuire entrambi.
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Asimmetria di carica
Contributo da oscillazioni di
stranezza.
Se vale CP, con K0 iniziali:
N+ − N−
2 cos(∆mt )
A(t ) = +
=
N + N − e + ∆Γt / 2 + e − ∆Γt / 2
Segnale di violazione di CP
Γ( K L → π − l +υ ) − Γ( K L → π + l −υ )
δl =
Γ( K L → π − l +υ ) + Γ( K L → π + l −υ )
δe = (3.33 ± 0.14) · 10-3
δµ = (3.04 ± 0.25) · 10-3
Distinzione assoluta materia/antimateria
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Piu’ in generale, a partire da K0 o K0:
2
A(t ) ≅
[
2(1 − x ) Re(ε ) (e − ΓS t + e − ΓLt ) ± e − Γt cos(∆mt )
]
1 + x e −ΓS t + 1 − x e −ΓLt m 4 Im( x)e −Γt sin( ∆mt )
2
2
E se x=0 (∆S = ∆Q valida):
2e − Γt cos(∆mt )
A(t ) ≅ 2 Re(ε ) ± −ΓS t
e
+ e −ΓL t
Miscela incoerente di K0 e K0:
termine oscillante moltiplicato per
Violazione di CP solo da
mescolamento (indiretta):
M.S. Sozzi
δl =
Violazione di CP
0
D( p) =
2 Re( ε )
1+ ε
2
N ( K 0 , p) − N ( K , p)
0
N ( K 0 , p) + N ( K , p)
= KL KS
Interferenza KS-KL
Numero di decadimenti π+π– dietro a rigeneratore:
N (π +π − ; t ) ∝ η + − e −t /τ L + ρ c e −t /τ S + 2 η + − ρ c e −t / 2 (1/τ S +1/τ L ) cos(∆mt − φ+ − + φ ρ )
2
KS
2
KL
Interferenza KS-KL
Autostati di CP : violazione di CP
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Interferenza nel vuoto
Numero di decadimenti π+π– a partire da uno stato K0 o K0 a t=0:
N (π +π − ; t ) ∝ e −t /τ S + η + − e −t /τ L ± 2 η + − e −t / 2 (1/τ S +1/τ L ) cos(∆mt − φ+ − )
2
KS
Interferenza KS-KL
KL
Vicino al punto di produzione.
Indipendente da fase di rigenerazione.
Nota ∆m permette di misurare φ+-.
Il segno del termine di interferenza
dipende dallo stato iniziale:
Distinzione assoluta
materia/antimateria
M.S. Sozzi
Violazione di CP
Decadimenti adronici (ππ)
I pioni interagiscono anche mediante interazione forte
Stati rilevanti: autostati di isospin (conservato)
L(ππ) = 0 ⇒ simmetria di Bose esclude I=1
[
]
1
π +π − − π 0π 0 + π −π +
3
1
ππ ( I = 2) =
π +π − + 2 π 0π 0 + π −π +
6
ππ ( I = 0) =
[
]
Le due ampiezze di decadimento I=0, I=2 possono interferire
(se hanno fasi differenti) in modo diverso per π+π- e π0π0
[
]
A K 0 → ππ ( I = 0) = a0e iδ 0
[
0
]
* iδ 0
0
A K → ππ ( I = 0) = a e
M.S. Sozzi
[
]
A K 0 → ππ ( I = 2) = a2 e iδ 2
[
0
]
A K → ππ ( I = 2) = a2*e iδ 2
Violazione di CP
Esempio: violazione di CP nel decadimento KL → π0π0
BASE
ISOSPIN
Fasi deboli differenti:
violazione di CP
M.S. Sozzi
Violazione di CP
BASE
FISICA
(CARICA)
Fasi forti differenti:
interferenza
Violazione di CP in K0 → ππ
η+− = η+ − e
iφ + −
η00 = η00 eiφ
ε =ε +i
00
ε +ε'
A( K L → π +π − )
=
≈ ε +ε'
=
+ −
A( K S → π π ) 1 + ω / 2
A( K L → π 0π 0 ) ε − 2ε '
=
=
≈ ε − 2ε '
0 0
A( K S → π π ) 1 − ω 2
Im(a0 )
Re(a0 )
i Re(a2 )  Im(a2 ) Im(a0 )  i (δ 2 −δ 0 )
ε '=
−

e
2 Re(a0 )  Re(a2 ) Re(a0 ) 
ω=
A[K S → ππ ( I = 2)]
≈ 1 / 22
A[K S → ππ ( I = 0)]
M.S. Sozzi
“Regola” ∆I=1/2: ampiezze adroniche con
∆I=3/2 soppresse: Γ(K+→π+π0) «Γ(KS→π+π-)
Violazione di CP
Non ancora capita…
Chi e’ chi?
ε contiene violazione di CP nel mixing : Re(ε) = Re(ε)
e nell’interferenza di mescolamento e decadimento : Im(ε) = Im(ε) + Im(a0)
(separazione tra le due dipende da convenzione di fase)
ε’ contiene violazione di CP nel decadimento : Re(ε’)
e nell’interferenza di mescolamento e decadimento: Im(ε’)
Convenzione di fase di Wu-Yang: ampiezza dominante a0 reale. Allora
ε = ε ⇔ violazione di CP indiretta
ε’
⇔ violazione di CP diretta
Violazione di CP diretta intrinsecamente soppressa da “regola” ∆I=1/2
Se η+- ≠ η00 violazione di CP diversa in modi di decadimento diversi
η00
2
η+ −
2
= 1 − 6 Re(ε ' / ε ) ≈ 1 − 6 ε ' / ε
φ(ε) ≈ 2∆m/ΓS = (43.49 ± 0.08)°
φ(ε’) ≈ δ2-δ0-π/2 = (48 ± 4)°
M.S. Sozzi
Questa quantita’ indica
la presenza di
violazione diretta di CP
Accidentalmente simili
Violazione di CP
Notations…
More than 30 years of notations, starting from
T.T. Wu, C.N. Yang:
“Phenomenological analysis of violation of CP invariance in decay of K0 and
K0” – Phys. Rev. Lett. 13 (1964), 380.
(Received 18/8/1964 – CCFT paper published 27/7/64)
q 1− ε
=
p 1+ ε
λππ
M.S. Sozzi
2
q
4 Re(ε )
≅ 1−
2
p
1+ ε
1 − ε A( K 0 → ππ )
=
0
1 + ε A( K → ππ )
Violazione di CP
∑
f
f*
L
f
S
2
A A
KS KL
2
≤
≤ ∑ f ALf
2
∑
f
ASf
2
ΓS ΓL
2
(
)
≈
0
.
06
(ΓS + ΓL )2 / 4 + (∆m )2
Relazione di Lee-Wolfenstein
La violazione di CP e’ piccola (KS,KL quasi ortogonali)
Sperimentalmente: ΓL « ΓS
ΓS(Kℓ3) ≈ ΓL(Kℓ3) ≈ ΓL(3π) ≈ 10-3 ΓS
[i∆m / ΓS + 1 / 2]
K L K S ≈ ηππ
•Se CPT conservata (δ=0): φππ ≈ atan(2∆m/ΓS) ≈ 44°
•Se T conservata (ε=0) : φππ ≈ atan(2∆m/ΓS) + π/2
Sperimentalmente: φππ = (43.5 ± 1)°
M.S. Sozzi
Violazione di CP
⇒
CPT OK !