Un’amica di famiglia è proprietaria, vicino casa mia, vicino
Varese, di una collinetta boscosa che, alla base, ha una villa in
pietra, costruita nel primo novecento dal padre. Dati i vincoli
paesaggistici imposti, direi giustamente, dall’amministrazione
comunale, questo angolo di Paradiso popolato da scoiattoli e
nelle sere d’estate rischiarato dalla luce delle lucciole, ha però
delle notevoli spese di gestione.
Per questo motivo spesso questa signora affitta “bed and
breakfast” alcune camere della villa a stranieri di passaggio.
Io che vado spesso a trovarla, mi trovo così nella possibilità
di discutere (dati i miei studi di lingue) con persone talvolta
molto originali e stimolanti. Recentemente è stato suo ospite
un esperto di matematica procedurale ma anche concettuale,
il dott. Brown che insegna in un’università americana e che
si trova in Italia per un ciclo di conferenze che terrà in varie
città. Ho chiesto al dott. Brown di concedermi un’untervista:
Federica: dott. Brown vorrei iniziare questa intervista, dopo
averla ringraziata per la sua cortesia, chiedendo di spiegare ai
miei lettori la differenza tra l’approccio procedurale e
concettuale alla matematica.
Dott. Brown: la conoscenza procedurale è la conoscenza
delle abilità necessarie per risolvere dei compiti e dei
problemi matematici. Possiamo distinguere due parti nella
conoscenza procedurale:
- la conoscenza di simboli scritti che rappresentano dei
concetti
- la conoscenza di regole, formule, algoritmi che vengono
utilizzati per risolvere problemi matematici.
Una caratteristica basilare della conoscenza procedurale è che
è strutturata e quindi la conoscenza procedurale può essere
incrementata anche imparando meccanicamente delle regole.
Tuttavia va rilevato che per utilizzare sapientemente regole,
algoritmi e procedure, non basta conoscere l’argomento
matematico in esame, ma bisogna anche conoscere in modo
“sintattico”, le regole formali che consentono la
rappresentazione dell’argomento in esame.
Viceversa, la conoscenza concettuale, denota la conoscenza di tutta una
serie di collegamenti tra concetti, regole (algoritmi, procedure, ecc.) ed
anche la conoscenza della soluzione di problemi, realizzata secondo varie
forme di rappresentazione, attraverso la quale possiamo giungere ad
apprendere nuovi concetti o regole.
Intendo dire che la conoscenza concettuale si può definire come
conoscenza di fatti, proprietà e relazioni che riguardano la matematica.
Essa può essere immaginata come una rete di conoscenze connesse fra
loro in cui sia le relazioni di collegamento che le singole informazioni da
esse collegate, hanno pari importanza.
A differenza della conoscenza procedurale, la conoscenza concettuale non
si può realizzare mediante l’apprendimento meccanico poichè i fatti e le
proposizioni, se imparate meccanicamente, sono immagazzinate nella
memoria come parti isolate di informazione, non collegate da alcuna rete
di concetti.
Come si vede una distinzione tra conoscenza matematica procedurale e
concettuale è quanto mai opportuna, ma fra i vari esperti non c’è
uniformità di giudizio sulla linea di demarcazione esatta fra questi due tipi
di conoscenza, dato che alcuni criticano la distinzione fatta inizialmente
nel 1986 da Hievert e Lefevre. Alcuni considerano un certo tipo di
conoscenza concettuale che non era stata inclusa dai suddetti ricercatori
nella definizione iniziale, inseparabile dalla capacità di usare la
conoscenza procedurale in modo efficiente.
Secondo altri, gli algoritmi possono essere visti come nodi e collegamenti
in un grafico che rappresenti la conoscenza concettuale della matematica e
quindi in un certo senso si trovano “a cavallo” di entrambi i tipi di
conoscenza.
Federica: mi scusi Dottore se mi permetto una domanda un po’ sfacciata,
ma lo faccio sia perché mi metto nei panni dei miei lettori, magari
bambini, e penso che molti a questo punto saranno assaliti dai miei stessi
dubbi. Le pongo questa domanda sia perché conosco la sua onestà
intellettuale ed anche in suo senso dell’umorismo. So anche che lei non è
certo quel tipo di ricercatore che non ammette critiche alla materia oggetto
dei suoi studi, considerandola una specie di insieme di testi sacri che
sarebbe blasfemia sminuire.
Vengo dunque alla domanda: non pensa che tutto questo disquisire, negli
ambienti scientifici, sulla distinzione tra matematica concettuale e
matematica procedurale alla fine sia solo un esercizio di pura logica o di
pura dialettica, troppo difficile anche da comprendere per i più piccoli?
Dott. Brown: non credo proprio. Se consideriamo la necessità di
programmare la successione ed il modo di trattare i vari argomenti
matematici nelle scuole di tutti i livelli, lei comprenderà benissimo che per
uno sviluppo armonico sia della conoscenza procedurale che di quella
concettuale della matematica, (disciplina fondamentale per lo sviluppo
delle capacità logiche dei nostri giovani), dobbiamo saper esattamente di
cosa stiamo parlando in modo da creare il “mix” che dia i migliori risultati
per ciascuno studente. L’offerta culturale non deve infatti essere uguale
per tutti ma deve consentire a ciascuno il massimo sviluppo delle proprie
capacità logiche.
Chiarito che tutti devono acquisire, nel campo della matematica sia la
conoscenza procedurale che quella concettuale, ci sono tuttavia
intelligenze che devono essere stimolate più sul versante delle
“procedure” , mentre altre che devono essere maggiormente stimolate sul
versante dei “concetti”. Insomma, come dicevano i latini
“unicuique suum tribuere” (nota del cronista: dare a ciascuno “il suo”).
Il nostro codice genetico si differenzia solo per il 2% da quello degli
scimpanzé o dei gorilla, ma loro sono fermi a quello che facevano milioni
di anni fa, mentre noi stiamo conquistando il sistema solare, abbiamo
compreso l’esistenza di Dio, inventato la musica, la poesia, sviluppato la
filosofia, le altre arti e tutto il resto.
Tutto ciò è dovuto al fatto che quel 2% di differenza si estrinseca nel fatto
che non esistono 2 uomini uguali e che nel cervello di ogni uomo c’è un
universo meraviglioso che aspetta solo di essere scoperto e condiviso con
gli altri. Il compito principale degli insegnanti non consiste nel riempire di
nozioni il cervello degli alunni, come se fossero dei “bicchieri da riempire
con dell’acqua”, bensì quello di “tirar fuori” le abilità che potenzialmente
ognuno di essi ha e che aspettano solo di essere scoperte e sviluppate.
Insomma ogni insegnate dovrebbe fare come diceva di fare Michelangelo
Buonarroti quando gli chiedevano come potesse realizzare quelle statue
meravigliose, partendo da un masso informe di marmo:
“ quella statua era già dentro quel pezzo di marmo, io non ho fatto altro
che liberarla da tutte le parti inutili, portandola così alla luce”.
Sono queste la cose da far notare agli studenti quando sbuffano per le
difficoltà che la matematica crea e si chiedono polemicamente a cosa essa
serva nella vita quotidiana: essa serve a stimolare le capacità logiche, che
nella vita rappresentano comunque una carta vincente ed inoltre serve a
far venir fuori il progetto meraviglioso che un’entità superiore ha inserito
nella mente di ogni uomo e che merita di essere completato e realizzato.
Federica: dato che la mia facoltà è orientata verso gli alunni della scuola
primaria, può farmi un esempio che illustri come la matematica
procedurale e la matematica concettuale si inseriscono nei normali
programmi della scuola elementare?
Dott. Brown: la vera essenza della matematica non consiste nell’essere
capaci di seguire una “ricetta” che consenta di dare un certo tipo di
risposta ad una certo tipo di problema. Se prendiamo ad esempio una
divisione, essa è una operazione mentale che può essere eseguita usando
diverse procedure: possiamo sottrarre più volte il divisore dal dividendo,
oppure addizionare il divisore tante volte fino a fagli raggiungere il
dividendo, oppure servirci della retta orientata dei numeri o magari usare
degli oggetti e simulando l’azione della divisone.
La procedura tradizionale che si avvale delle quattro operazioni è solo una
possibile tra le tante, ma la sottostante idea della divisione è qualcosa di
diverso dalle singole procedure usate per realizzarla, è piuttosto il
“concetto” di divisione. Concetto di divisione e procedure che consentono
di risolvere un problema che richieda l’esecuzione della divisione, sono
due cose distinte.
Oggi, nelle scuole, durante l’ora di matematica, noi insegniamo prima di
tutto concetti. Le procedure devono anche essere imparate, ma non senza
la sottostante comprensione concettuale. Uno dei vantaggi dell’enfatizzare
la comprensione concettuale consiste nel fatto che una persona tende a
scordare meno facilmente i concetti piuttosto che le procedure.
Se è stata acquisita la comprensione di un concetto, una persona può
ricostruire le relative procedure, anche se al momento sono state
dimenticate; se viceversa l’apprendimento di quella persona si è fermato
alle procedure, nel caso in cui esse vengono dimenticate, non c’è alcun
modo per recuperarle. La comprensione concettuale in matematica,se
associata all’acquisizione delle abilità nelle procedure è molto più potente
della sola abilità nell’eseguire le procedure.
Federica: quali sono gli altri vantaggi di un collegamento tra la
conoscenza concettuale e quella procedurale?
Dott. Brown: un buon collegamento tra conoscenza procedurale e
concettuale, non sviluppa solo la capacità di “problem solving” e
incrementa la comprensione matematica, ma produce anche vantaggi
reciproci nei due tipi di conoscenza. Come ho già detto, il connettere le
procedure con i loro sottostanti concetti, consente con maggiore facilità la
memorizzazione ed il successivo recupero dalla memoria, delle procedure
stesse. Quando alcune procedura sono collegate con la conoscenza
concettuale, esse vengono immagazzinate nella nostra memoria come
parte di una rete di informazioni che, essendo connesse le une alle altre, si
deteriorano meno facilmente di quanto non faccia una informazione
isolata, in quanto si ricordano più facilmente relazioni che siano piene di
significato e ben organizzate.
Inoltre una connessione profonda fra conoscenza procedurale e
concettuale fa si che la rete di informazioni che si produce possa
consentire il raggiungimento della procedura tramite diversi accessi.
Concludo dicendo che da questo legame tra conoscenza procedurale e
concettuale si avvantaggia anche la conoscenza concettuale.
Federica: vorrei adesso che ci illustrasse le fasi secondo le quali si
acquisisce la conoscenza procedurale durante l’apprendimento della
matematica
Dott. Brown: le procedure costituiscono buona parte dell’apprendimento
della matematica. Molti dei concetti che noi impariamo implicano la
memorizzazione e poi l’esecuzione di passi che ci portano ad ottenere la
soluzione esatta. Per fare un esempio possiamo considerare che eseguire
una semplice operazione quale l’addizione implica il seguire un processo
passo dopo passo; solo dopo che gli studenti hanno appreso il calcolo
matematico elementare, essi si possono cimentare nei successivi e più
complessi processi che costituiscono la base per l’acquisizione di processi
sempre più complessi. Nell’acquisire la conoscenza procedurale si devono
seguire tre fasi in successione.
costruire un modello
dare forma a questo modello
interiorizzare la procedura
Nella fase in cui si dà una forma al processo, il processo
inizialmente seguito, può essere modificato per migliorarlo e
renderlo più pratico da usare. Si possono aggiungere o
togliere alcuni aspetti del procedimento, allo scopo di rendere
il processo meglio comprensibile e più facile da eseguire per
gli studenti i quali possono intervenire e dare in tal senso un
loro contributo. Ovviamente in questa fase gli studenti
devono comprendere la procedura che stanno seguendo.
Nella fase di interiorizzazione, lo studente deve ampiamente
impratichirsi della procedura in modo da acquisire un buon
livello di automatismo: certe abilità devono essere esercitate
“automaticamente”, senza aver il tempo di pensare a ciò che
si sta facendo.
Bisogna saper distinguere appunto fra quelle abilità che non
richiedono riflessione quelle che invece richiedono una
riflessione per poter poi essere “automatizzate”.
La maggior parte dei concetti matematici richiede che le suddette fasi
siano ripetute più volte prima che l’intera procedura possa considerarsi
come acquisita ed essere aggiunta alla cultura di base dell’alunno. Per fare
degli esempi pratici che riguardano la scuola primaria che mi ha detto
essere l’oggetto principale del suo interesse, gli alunni, quando imparano
ad eseguire delle lunghe divisioni devono seguire le suddette 3 fasi.
Quando poi impareranno ad eseguire delle lunghe divisioni con numeri
decimali, dovranno ripercorrere le 3 fasi per poter integrare la nuova
conoscenza col loro precedente bagaglio culturale. Questo processo è
ovviamente più complicato del precedente e deve essere ripetuto più volte
fino a quando l’alunno non lo padroneggia bene.
Federica: nella pratica didattica quotidiana capita però talvolta che
qualche alunno, anche normodotato, nonostante tutte le precauzioni
dell’insegnante, incontri difficoltà maggiori del previsto
nell’apprendimento della matematica in quanto riesce magari ad
imparare meccanicamente alcune procedure, ma si comprende che non
le ha interiorizzate e dimostra ciò, ottenendo risultati negativi in prove
che si discostano anche di pochissimo dai casi da lui precedentemente
incontrati.
Può illustrarci, ovviamente nelle linee generali, quali sono cause delle
difficoltà di collegamento tra conoscenza procedurale e concettuale?
Dott. Brown: secondo Bruner e Tulbing vi sono tre fattori che
impediscono la creazione ed il riconoscimento delle relazioni tra
conoscenza procedurale e concettuale:
il primo fattore riguarda un deficit nella conoscenza di base: è ovvio
che alcuni deficit nella conoscenza di concetti e procedure di base, magari
non evidenti ad una osservazione superficiale, possono creare deboli
connessioni o addirittura produrre una mancanza di connessione fra i due
tipi di conoscenza.
Il secondo fattore nel fallimento della costruzione delle connessioni tra
le diverse unità di informazione è dovuto ad una incapacità di
codificare le relazioni.
Il terzo fattore si verifica quando la nuova conoscenza non si collega a
precedenti conoscenze , ma apre un panorama nuovo e inesplorato.
Quando gli alunni non sono in grado di collegare appropriatamente la
conoscenza procedurale e concettuale, essi possono comprendere
vagamente un particolare concetto matematico, ma non essere in grado di
risolvere un problema applicativo o viceversa essere in grado di eseguire
meccanicamente un compito, ma senza ben comprendere ciò che stanno
facendo.
Federica: a questo punto, vista la sua esperienza internazionale vorrei
saper come si regolano le scuole di Paesi a noi culturalmente vicini, nel
proporre ai loro alunni il “mix” di conoscenze procedurali e concettuali,
nell’insegnamento della matematica.
Dott. Brown: in Francia la matematica è considerata il perno
dell’istruzione nella scuola elementare, proprio per la sua capacità
di sviluppare le capacità logiche.
Il suo insegnamento si focalizza sia sulla conoscenza procedurale
che su quella concettuale: vengono considerate ugualmente
importanti, la capacità di effettuare calcoli, quella di trovare gli
errori nella risoluzione di un problema, ma anche la comprensione
del meccanismo dei calcoli, l’imparare a decidere quale possa
essere la migliore risoluzione di un problema e l’apprendere i
concetti matematici.
Negli Stati Uniti, l’educazione matematica è molto curata fin
dall’inizio della scuola elementare. Gli standard richiesti riguardano
sia la comprensione concettuale con l’acquisizione delle abilità
necessarie per risolvere i problemi, ma anche la conoscenza delle
procedure.
In tutti i Paesi del mondo è aperto il dibattito se sia opportuno
dar più importanza alla conoscenza concettuale o a quella
procedurale. A livello di scuola elementare devo dire che
mentre la maggior parte degli alunni studia con piacere la
matematica e la considera importante per la vita, il loro
interesse e la loro motivazione decrescono rapidamente
quando l’apprendimento diventa ripetitivo e le procedure non
sono accompagnate dall’apprendimento dei concetti.
Secondo il ricercatore russo Davydov è opportuno fornire
prima di tutto una base concettuale teorica: in tal modo gli
studenti apprenderanno più facilmente e con maggiore
interesse le procedure in quanto l’insegnamento basato sui
concetti consente il mantenimento, negli studenti, della
motivazione all’apprendimento della matematica, che invece
viene a cadere se si dà troppa enfasi alle procedure.
Federica: ma come si inserisce, in questo dibattito sui vari
modi di insegnare la matematica, l’uso delle nuove tecnologie
e, in particolare, dei computer?
Dott. Brown: i computer usati in modo interattivo forniscono
delle risposte immediate durante la risoluzione di problemi e
consentono agli studenti di realizzare azioni ed operazioni che
possono incrementare la loro conoscenza matematica. Tramite
i computer, gli studenti possono fare congetture, testare
ipotesi di soluzione basate sull’evidenza sperimentale e
produrre generalizzazioni della soluzione di un particolare
problema ad altri ambiti. I computer consentono la
sperimentazione e la manipolazione di idee, la
rappresentazione di idee matematiche in modi che sarebbero
impensabili, usando le procedure tradizionali che utilizzano,
carta, penna e lavagne.
Tutti sono d’accordo nel riconoscere un ruolo importante
all’uso del computer nell’insegnamento della matematica, ma
non si è ancora del tutto chiarito in che modo la tecnologia
basata sui computer possa contribuire alla costruzione della
conoscenza concettuale e di quella procedurale, in campo
matematico. Fino ad oggi, riguardo ai computer, si è solo
chiarito l’uso di quali programmi possa stimolare ed
accrescere, negli esseri umani, la conoscenza procedurale e
quali invece possano accrescere la conoscenza concettuale.
Federica: da quello che mi dice, appare chiaro che ci sono insegnanti che,
per loro scelta personale che deriva dal loro vissuto culturale, danno una
maggiore enfasi alla matematica procedurale, mentre altri tendono
piuttosto a privilegiare l’insegnamento concettuale. Può dirmi come questi
due diversi atteggiamenti si riflettono poi sulla “fisionomia “ della cultura
matematica della classe?
Dott. Brown: Quello che posso dirle è che in una classe orientata verso la
matematica procedurale, gli studenti passano molto tempo ad impratichirsi
delle procedure che impareranno a padroneggiare alla perfezione,
viceversa in una classe più orientata verso la matematica concettuale si
passa più tempo a stimolare gli alunni ad osservare ed a scoprire la vera
natura delle cose. Verranno proposti agli alunni attività e compiti atti a
fornire ai ragazzi quelle esperienze che forniranno loro opportunità per
acquisire nuove conoscenze. Solo dopo aver completato questa fase si
potrà passare alla pratica degli esercizi.
Naturalmente gli insegnanti che focalizzano il loro insegnamento sulla
matematica concettuale, devono possedere le relative conoscenze e se
vogliamo che l’insegnamento si sposti, in generale da un orientamento
procedurale ad uno concettuale, dobbiamo fornire agli insegnanti le
necessarie conoscenze, con opportuni corsi di formazione.
Federica: con questo, caro dott. Brown, ho esaurito le domande che
desideravo farle. La ringrazio per la chiarezza delle sue risposte e
soprattutto per aver presentato la matematica procedurale e quella
concettuale da persona obiettiva e non da uomo “di parte”.
Le auguro buon lavoro!