Il modello ARNO
Il processo di immagazzinamento di
umidità in un generico punto del
bacino è rappresentato mediante un
semplice serbatoio di capacità c’
c’
Bilancio a livello del suolo
Evapotraspirazione
E
Precipitazione
P
q’
Deflusso superficiale (quando
la precipitazione eccede la
capacità c’)
c’
0÷Cmax
D
I
Drenaggio o deflusso
ipodermico
Infiltrazione profonda o
percolazione
Bilancio a livello del suolo
Il bacino può essere consideratro
come formato da un insieme di
piccoli serbatoi di capacità c’.
La capacità c può essere considerta
come una variabile casuale con
funzione di densità di probabilità f(c)
f(c)
Cmax
c
F(c)
Cmax
c
Bilancio a livello del suolo
f(c)
45°
c
Bilancio a livello del suolo
Studiamo l’evoluzione dinamica del profilo d’acqua nei vari
cilindretti che formano nel loro insieme il bacino discrettizando
l’asse dei tempi in intervalli di durata t.
Ammettiamo inoltre che il suolo sia inizialmente asciutto
0
1t 2t
(i-1)t
it
tempo
Intervallo 1
Nel primo t si manifesta una precipitazione P1 uniformemente
distribuita sull’intero bacino.
Si ammette che l’acqua possa distribuirsi fra tutti i cilindretti
cosicchè in tutti i cilindreti vi è la stessa altezza critica C1* eccetto
in quelli con profondità capacità minore di C1* che saranno pieni
Π1  P1  E1  D1  I1
*
C1
 Π1
Intervallo 1
F(c)
1
Π1
 
F C1*
45°
C1*
c
Intervallo 1
Quantità totale di acqua immagazzinata nel suolo:
All’istante iniziale:
S0=0
Alla fine del primo t la quantità
totale di acqua immagazzinata nel
suolo S1 può essere calcolata
considerando che
Π1
45°
*
C1
s  c c  C1*
s  C1* c  C1*
s effettivo contenuto d’acqua
all’interno del generico
cilindretto di capacità c
c
Intervallo 1
S1 
C1*
0
cf ( c )dc 
Cmax *
C1
*
C1

f ( c )dc
x
x
0 cf ( c )dc  xF x  0 F( c )dc
  
 f ( c )dc
S  C F C    F( c )dc  C 1 F C   C  


S1  C1* F
1
*
1
*
1
C1*
* Cmax
F( c )dc  C1 *
0
C1
C1*
C1*
*
1
0
S1 
C1*
0 1 F( c )dc
*
1
*
1
C1*
0
F( c )dc
Intervallo 1
S1 
F(c)
C1*
0 1 F( c )dc
Π1
 
1
F C1*
45°
C1*
R1 
C1*
0
F( c )dc
c
Intervallo 1
S1 
R1 
C1*
0 1 F( c )dc
C1*
0
F( c )dc
S1  R1 
*
C1
C1*
0
Volume immagazzinato nel bacino
Volume d’acqua disponibile alla
formazione del deflusso superficiale
1 F( c )dc 
C1*
0
F( c )dc 
 Π1  P1  E1  D1  I1  S1  R1
S1  Π1  R1
C1*
0
dc  C1*  Π1
Intervallo 2
Π2  P2  E2  D2  I 2
C*2  C1*  Π2
F(c)
Π2
Π1
1
C1* 45°
C*2
c
Intervallo 2
C*2
ΔS2 
C 1 F( c )dc
ΔR2 

*
1
C*2
C1*
F( c )dc
ΔS2  ΔR2 
*
*
C2  C1
C*2
C*2
C*2
1
1
1
*
*
1

F(
c
)
dc

F(
c
)dc

dc

C

C


2
1
C*
C*
C*
 Π2  P2  E2  D2  I 2  ΔS2  ΔR2
S2  S1  Π2  ΔR2
Intervallo i
Πi  Pi  Ei  Di  Ii
Ci*  Ci*1  Πi
ΔSi 
ΔRi 
Ci*
C 1 F( c )dc
*
i1
Ci*
C
*
i1
F( c )dc
Si  Si1  Πi  ΔRi
Distribuzione di probabilità della capacità
di immagazzinamento del suolo
F(c)
1
F(c)
ΔSi 
Ci*
C 1 F( c )dc
*
i1
1
ΔRi 
Ci*1 Ci*
c
Ci*
C
*
i1
F( c )dc
Cmax c
Distribuzione di probabilità della capacità
di immagazzinamento del suolo
F(c)

c 
F( c ) 1 1

 C 
max 

b
1
b>1
b=1
b<1
Cmax c
Distribuzione di probabilità della capacità
di immagazzinamento del suolo

c 
F( c ) 1 1

 C 
max 

ΔSi 
b
Ci*
Ci*1

ΔSi 
b
Ci*
C 1 F( c )dc

c 
1
 dc
 C 
max 

*
i1
Distribuzione di probabilità della capacità
di immagazzinamento del suolo
ΔSi 
Ci*
Ci*1

Poniamo
b

c 
1
 dc
 C 
max 

c
dc
y  1
 dy  
Cmax
Cmax
c  Ci*1  y 1
c  Ci*  y 1
Ci*1
Cmax
Ci*
Cmax
1
ΔSi  Cmax
1
Ci*1
Cmax b
* y dy 
Ci
Cmax

* b 1 
* b 1
Cmax 
Ci 1
Ci 1
1
  1
 

 C  
b 1  Cmax 
max 




Massima capacità di immagazzinamento
del bacino
Poniamo
Ci*1  0
Ci*  Cmax
Inoltre se
Smax 
Cmax
b 1
Ci*1  0
b1
b 1

 C*  
Cmax  Ci*1 
1
  1 i 1  
ΔSi 
 C  
b 1  Cmax 
max 





 
* b 1
C
Si  Smax 1 1 i  
  C  
max 
 

1 

Si  b1 
 
*
Ci  Cmax 1 1

 S  
 
max 



Deflusso superficiale prodotto nell’i-esimo
intevallo di tempo

* b 1 
* b 1
Ci 1
Ci

  1
 
ΔRi  Πi  ΔSi  Πi  Smax 1
 C 
 C  
max 
max 




* b 1
Ci 1

 
ΔRi  Πi  ΔSi  Πi  Smax 1
 C  
max 


Ci*  Cmax
Ci*  Cmax
Percolazione o Infiltrazione profonda
 Si 1 
I i  I max 

S 
 max 
Ii
I max
Si 1
α
α
I/Imax
Intensità di infiltrazione
profonda relativa all’i-esimo
intervallo [mm/h]
1
α crescente
Valore massimo di
infiltrazione profonda [mm/h]
Contenuto di umidità nel
suolo all’inizio dell’i-esimo
intervallo di tempo [mm]
Coefficiente di forma
1 S/Smax
Deflusso ipodermico o drenaggio
 Si 1 
Di  Dmax 

S

 max 
Di
β
D/Dmax
1
Intensità di drenaggio relativa
all’i-esimo intervallo [mm/h]
β crescente
Dmax
Si 1
β
Valore massimo di drenaggio
[mm/h]
Contenuto di umidità nel
suolo all’inizio dell’i-esimo
intervallo di tempo [mm]
Coefficiente di forma
1 S/Smax
Evapotraspirazione reale Ei
 Si 1 
Ei  E p 

S 
 max 
Ep
Evapotraspirazione potenziale
Sequenza di calcoli (1/2)
All’inizio dell’i-esimo intervallo di tempo il contenuto Si-1 è noto
1 

  Si 1  b1 
*
 
Calcolo di Ci 1  Cmax 1 1

  Smax  


 Si 1 

Calcolo della percolazione profonda Ii Ii  I max 

S
 max 
β
 Si 1 
Calcolo del dreanggio Di Di  Dmax 

S

 max 
S 
Calcolo dell’evapotraspirato reale Ei E  E  i 1 
i
p S

 max 
Πi  Pi  Ei  Di  Ii
Ci*  Ci*1  Πi
α
Sequenza di calcoli (2/2)
Se i>0

* b 1 
* b 1
Ci 1
Ci

  1
 
ΔRi  Πi  ΔSi  Πi  Smax 1
 C 
 C  
max 
max 




* b 1
Ci 1

*
 
ΔRi  Πi  ΔSi  Πi  Smax 1
C
 Cmax
 C  
i
max 


altrimenti
ΔRi  0
Si  Si1  Πi  ΔRi
Ci*  Cmax
Schema complessivo
Precipitazione
Evapotraspirazione
P
E
Bilancio idrico a
livello del suolo
Si
Percolazione Imax, α,
Smax
Falda
Deflusso
superficiale
b, Smax
Deflusso
ipodermico
Cv1
Df1
Dmax, ,
Smax
Cv2
Df2
Deflusso di base
K
Deflusso
totale
Deflusso di base
Percolazione I
Falda
Deflusso di base
K
Vi Vi 1
 Ii  QBi

 Δt

Vi  kQBi

QBi 
Ii  k / Δt QBi
1 k / Δt 
Vi
Volume immagazzinato alla fine dell’iesimo intervallo di tempo [mm]
QBi Deflusso di basae relativo all’i-esimo
intervallo di tempo [mm/h]
k
Costante del serbatoio lineare [h]