Stabilita’ degli atomi e principio di indeterminazione
Dal punto di vista semiclassico, atomo di Bohr, nell’atomo di idrogeno l’elettrone ruota intorno al nucleo su
di un orbita di raggio determinato.
L’energia totale del sistema e’ composta di due parti, una cinetica, positiva, dovuta alla rotazione
dell’elettrone intorno al nuclea, l’altra potenziale, negativa, dovuta alla attrazione coulombiana del nucleo .
Considerando una generica distanza r si ha che l’energia totale risulta essere :
p2
e2
ET 

2m 40 r
la forza di Coulomb mantiene la carica in moto circolare
2
2 2
2
2
1
e
m
v
p
1
e
mv2 



40 r
m
m 40 r
1 1 e2
1 e2
ET  (
)
2 40 r
40 r
2
2
v
1
e
F  m 2 r  m 
r 40 r 2
p 2 1 1 e2
 (
)
2m 2 40 r
1 1 e2
ET   (
)
2 40 r
Energia Cinetica
Energia ( unita' arbitrarie )
20
Energia Potenziale
ENERGIA TOTALE
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.1
0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.18 0.19
r
-30
al decrescere di r dovrebbe diminuire l’energia totale del sistema, ma la diminuzione di r comporta che
le dimensioni dell’orbita dell’ elettrone divengono molto piccole, e la posizione dell’ elettrone ad ogni
istante diviene piu’ localizzata.
In altri termini l’indeterminazione della posizione dell’elettrone diminuisce.
ma per il principio di indeterminazione allora crescera’ la indeterminazione sull’impulso dell’elettrone
stesso . Questo influira’ sul termine cinetico.
la posizione dell’elettrone sara’ caratterizzabile con la sua distanza dal nucleo r.
r  x2  y2  z 2
 r 2  x2  y2  z 2
dal punto di vista quantistico ci si interessa ai valori medi
r 2  x2  y2  z 2  x2  y2  z 2  3 x2
vista la simmetria del sistema i tre termini daranno contributi uguali percio’: r 2  x 2  y 2  z 2  3 x 2
analogamente per l’impulso si avra’:
quindi si potra’ scrivere che:
r2
p 2  px  p y
2
p2  9 x2
px
2
 pz
2
 3 px
2
2
la varianza di una generica variabile aleatoria w e’ per definizione il valore medio del quadrato degli scarti rispetto alla
media .
si ha:
Var(w)  (w  w ) 2  w2  w
2
lo scarto quadratico medio Dw, o deviazione standard s , di w, e’ la radice della varianza ed e’ indice di quanto la
variabile aleatoria sia dispersa attorno al suo valor medio.
Dw 
w2  w
2
(Dw) 2  w2  w
2
da
(Dw) 2  w2  w
da cio’, ricordando che
2
si deduce che sara’ sempre
p2  9 x2
r2
px
2
(Dw) 2  w2
, si ricava :
r
si ha
da
percio’
p2
p
9

4
2
 9
2
r2
w2  (Dw) 2
r 2 p 2  9(Dx) 2 (Dp x ) 2
DxDpx 
imponendo la validita’ del principio di indeterminazione ossia imponendo che
2
ovvero che :
2
2
4
riesce che
Et  Ec  E p
quindi
9
2
Ec 
8 me r 2
Et

9
8
ET  EC  EP
ma
2
me r
2

q2
r2
se nella
si ottiene
9
2

8 me r 2
Et
Et

q2
r
si pone :
a
r2
a
e’ detto “raggio quadratico medio”
2
9
2
q2


2
8 me a
a
per determinare la posizione di minimo devo derivare l’espressione della energia rispetto ad a ed eguagliare a zero
la derivata prima:
d
Et
da
la soluzione e’:
risultati corretti :
9

8
2
1
1
(  2 3 )  q 2(  2 )  0
me
a
a
o
9 2
a0 
 1.2 A
2
4 me q
da cui si ricava che
2 me q 2
E0  
 6.0 eV
2
9 
m e2
E0   (
)  13.6 eV
2 40
40 2
10
a

0
.
529

10
m (raggio di Bohr)
2
me