Sistema Dinamico
Variabili di stato
x1 (t)
x2(t) …
xn (t)
Problema: dato lo stato del sistema in un dato istante, t0 , quale sarà il
suo stato futuro e da quali stati precedenti proviene?
Operatore di evoluzione
xi (t )  Gt; x1 (t0 ),..., xn (t0 )
Leggi locali di evoluzione
Tempo continuo tR : equazioni differenziali
dxi (t )
 f i x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ) 
dt
i  1,..., n
Tempo discreto tN: equazioni alle differenze (mappe iterate, induttive)
xi (t  1)  f i x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ) i  1,...n
Newton: The fundamental Anagram of Calculus
Dalla seconda lettera di Newton a Leibniz (1667): “The foundations of
these operations is evident enough, in fact; but because I cannot proceed
with the explanation of it now, I have preferred to conceal it thus:
6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12ux.
Un piccolo esercizio di crittografia:
“Data aequatione quotcunque fluentes
quantitae involvente fluxiones invenire
et vice versa”
Data un’equazione che contiene un
numero qualunque di “quantità fluenti”
[derivate] trovare le “flussioni”
[primitive], e viceversa.
Linguaggio geometrico
0 1
x2(t)
x(t)
1
0
0
4 variabili di stato...
x3
x1
x2
1 x1(t)
n variabili di stato...
Legge di crescita di una popolazione. Siano n>0 e m>0 i tassi
specifici di natalità e mortalità.
dx
Legge di evoluzione:
 nx  mx  (n  m) x  rx
dt

x
r
x
tasso di crescita netto
per unità di popolazione
dx
 rx
dt
Equazione
differenziale primo
ordine lineare
con x(t0) = xo cond. iniziale
dx
 rx con x(t0 )  x0
dt
x (t )
t
dx dx  rdt
xx x rdtt
0
0
ln( x)
x (t )
x0
 rt 
t
t0
ln x(t )  ln x0  r (t  t0 )
Soluzione
x(t )  x0 e
r ( t t0 )
Legge esponenziale
x(t )
ln
 r (t  t0 )
x0
x(t )
 e r ( t t 0 )
x0
50
x(t) = x(0)ert
r = 0.5
50
r =  0.5
40
x(0)=1
1
-1
t
x(0)=40
10
0
t
x(0)= -1
x(0)= -40
- 40
dx
= rx
dt
r > 0
.
0
.
0
r < 0
10
dx
Immigrazione costante
 rx  b
dt
dx
b
*
 0 per x  x  
Unico equilibrio
dt
r
Siano r < 0 e b > 0.
b
Allora x*>0 e rx+b > 0 per x < x*
Quindi esiste un unico equilibrio positivo e stabile
-b/r
Esercizio: studiare cosa succede cambiando segno a r e/o b
Per gli appassionati dei metodi analitici
dx
 rx  b con x(t0 )  x0
Cambio di variabile: X = x+b/r
dt
b  r ( t t0 )

dX
b
Soluzione: X (t )   x0  e
 rX con X (t0 )  x0 
r

dt
r
b  r ( t t0 ) b

x(t )   x0  e

Nella variabile originaria:
r
r

Crescita logistica di una popolazione
Nuova ipotesi: mortalità = m + sx
da
dx
 ( n  m) x
dt
Si passa a:
dx
 (r  sx ) x
dt
Secondo membro dell’equazione di evoluzione
dx/dt
(una parabola)
(rsx)x  0 per 0 x  r/s
Se proprio si vuole integrare…


dx
 dt
(r  sx ) x
…
0
x
r/s
x
x(0)
Soluzione:
r/s
rt
rx0e
x(t ) 
rt
r  sx0 e  1


x(0)
t
Troppi no…ma in branco si sta meglio e ci si difende dai predatori
dx
 f ( x)  xg( x)
dt
dx/dt
0
q*
k*
x
Bistabilità, bacini di attrazione
dx
 f ( x)  xg( x)  qEx
dt
Sfruttamento della pesca
dx/dt
0
q*
x
k*
k*
Controllo della pesca e profitti:
Profitto = p(qEx)
A
Pesca sostenibile (lungo periodo)
0
q*
B
Irreversibilità !
qE
Dinamica del prezzo di un prodotto:
dipende da domanda e offerta

p  k[ D( p)  S ( p)]  f ( p)
Consumatori snob
Tipico esempio di bistabilità: due
equilibri stabili con uno instabile
intermedio che fa da spartiacque
(separatore dei bacini di attrazione)
E’ cruciale il prezzo di partenza
Algoritmo dello studio qualitativo (o topologico) di un sistema

dinamico a tempo continuo unidimensionale x  f (x)
1) Si cercano i punti si equilibrio cercando gli zeri di f(x), cioè
risolvendo l’equazione f(x)=0
2) In ogni punto di equilibrio x* si calcola la derivata f’(x*).
Se f’(x*)<0 allora il punto di equilibrio è stabile (tangente a pendenza
negativa, vedi approx. lineare)
Se f’(x*)>0 allora il punto di equilibrio è instabile (tangente a
pendenza positiva, vedi ancora approx. lineare)
Se f’(x*)=0 l’approx. lineare non ci dà informazioni

Esempio: la parabola della crescita logistica x  f ( x)  x(r  sx )
dx/dt
f(x) = 0 per q*=0 e x*= r/s
f’(x) = r2sx
f’(0) = r
f’(r/s) =  r
0
r/s
x
In generale, dal polinomio di Taylor:
Anche per la
velocità di
convergenza (ma
solo in un intorno)
Tr = 1/l
Approx lineare in un intorno del punto fisso
Se in un punto di equilibrio x* di un
sistema dinamico x = f(x) si ha f’(x*) = 0
nulla si può concludere sulla sua stabilità.
Si tratta di una situazione di instabilità
strutturale e una piccola (anche minima)
variazione di un parametro può cambiare
la classificazione qualitativa del
diagramma di fase.
.
In tutti questi casi, ad esempio. Abbiamo
x* = 0 e f’(0) = 0.
Un sistema
dinamico è
strutturalmente
stabile se una
piccola modifica
nella struttura della
equazione di
evouzione (es, la
modifica del valore
di un parametro)
non comporta un
cambiamento
qualitativo dello
scenario dinamico
Proprietà generali
L’insieme aperto di
tutti i punti xM
tali che gt(x)A
per t è detto
bacino di attrazione
di A