Capacità
Capacità elettrica  Condensatore
Condensatore = sistema per
immagazzinare energia (elettrica)
Fisica II - Informatica
Capacità
Definizione
Q
C
V
La capacità è una misura di
quanta carica debba possedere
un certo tipo di condensatore
per avere una data differenza
di potenziale tra le armature:
maggiore capacità, maggiore è la
carica necessaria.
(la capacità è sempre positiva !)
Unità di misura
1 Farad = 1 F = 1 Coulomb/Volt = 1 C/V
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Capacità di una sfera isolata
Tesi:
La capacità di un dispositivo dipende dalle caratteristiche
geometriche dei conduttori.
Dimostrazione:
Consideriamo un conduttore sferico di raggio R e carica Q.
Per simmetria, assimiliamo il secondo conduttore ad un
guscio sferico concentrico di raggio infinito. Essendo V=0
sul guscio di raggio infinito, la capacità della sfera sarà:
Vsfera
Q
 ke
R

Q
Q
C

V k Q
e
R
R
  4 0 R
ke
La capacità di una sfera carica isolata è proporzionale al suo
raggio ed è indipendente sia dalla carica che dalla
differenza di potenziale.
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Carica di un condensatore
• Inizialmente potenziale nullo
• Chiusura interruttore
• Campo elettrico “spinge” gli
elettroni
• Piatto h perde elettroni
• Piatto l acquisisce elettroni
• Al crescere della carica (su C)
cresce d.d.p. fino a V
• h e (+) batteria allo stesso
potenziale, campo nullo, flusso
elettroni nullo
• Il condensatore è carico
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Calcolo capacità elettrica
Legge di Gauss  0  E dA  q
E

q

quindi
0 0 A
E dA e E  cost  q   0 EA
f

d

0
d .d . p. V f  Vi    E ds da cui V   E ds  E  ds  Ed
i
A
q  CV   0 EA  C E d  C   0
d
0 = 8.85·10-12 F/m = 8.85 pF/m = 8.85·10-12 C2/(N·m2)
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Condensatore cilindrico
Legge Gauss sup. cilindrica  E  cost e radiale 
E 
 E dA E  dA  E  2 rL  
da cui
E
b
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0
q
2 0 rL
Vb  Va    Er dr  
a
q
q
b
2 0 L a
q
L
C
 2 0
V
ln  b a 
dr
q
a

ln  
r
2 0 L  b 
C  L
lungh. cilindro 
Condensatore sferico
Legge Gauss sup. sferica
q   0 EA   0 E  4 r 2   E 
b
q
a
4 0
Vb  Va    Er dr  

b
a
1
q
4 0 r 2
dr

2
r
q 1 1
q a b

  
4 0  a b  4 0 ab
C
q
ab
 4 0
V
ba
a
Sfera isolata C  4 0
1 a b
per
b   e ponendo a  R
C  4 0 R
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Collegamento di condensatori
 simboli circuitali
esempio di circuito

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Condensatori in parallelo
q1  C1V
q2  C2V
q3  C3V
q  q1  q2  q3   C1  C2  C3 V
q
Ceq   C1  C2  C3
V
n
Ceq   C j
j 1
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 n condensatori in parallelo 
Condensatori in serie
V1  q C1
V2  q C2
V3  q C3
1 1 1
V  V1  V2  V3  q    
 C1 C2 C3 
q
1
Ceq  
V 1 C1  1 C2  1 C3
1
1 1 1
  
Ceq C1 C2 C3
n
1
1

Ceq j 1 C j
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 n condensatori in serie 
Energia di un Condensatore
• Quanta energia è immagazzinata in un condensatore carico ?
– Calcoliamo il lavoro fornito (usualmente da una batteria) per caricare un
condensatore a +/- Q:
• Calcolare il lavoro incrementale dW necessario per aggiungere una carica
dq al condensatore alla tensione V :
- +
q
dW  V ( q)  dq     dq
C
C piatti paralleli
A
 0
d
• Il lavoro totale W per caricare a Q è quindi dato da:
Q
1
1 Q2
W   qdq 
C0
2 C
• In termini della tensione V usando
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Q
C
V
si ha:
W 
1
CV 2
2
Dove è immagazzinata l’energia ?
• Tesi: l’energia è immagazzinata nel campo elettrico stesso.
Pensiamo all’energia necessaria per caricare il condensatore come
all’energia necessaria per creare il campo.
• Per calcolare la densità di energia nel campo, si consideri
prima il campo costante generato da un condensatore piano
parallelo, dove
-Q
-------- ------
++++++++ +++++++
+Q
1 Q2 1 Q2
U

2 C 2 ( A 0 / d )
• Il campo elettrico è dato da:

Q
E 
0 0 A

Questa è la densità
di energia, u, del
campo elettrico….
1 2
U  E  0 Ad
2
• La densità di energia u nel campo è data da:
W
W 1 2
u

 0E
volume Ad 2
Unità:
J
m3
Il caso è del tutto generale anche se calcolato per un condensatore ad armature piane e parallele.
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Dielettrici
• Osservazione sperimentale:
Inserendo un materiale non-condutore tra i piatti di un
condensatore si modifica il VALORE della capacità.
• Definizione:
La costante dielettrica di un materiale è il rapporto tra le
capacità in presenza ed in assenza di un dielettrico, cioè
C
r 
C0
– i valori di  r sono sempre > 1 (p.es., vetro = 5.6; acqua = 78)
(acqua molto pure e non-conduttrice (de-ionizzata)
– essi INCREMENTANO la capacità di un condensatore (fatto
“positivo”, perchè è difficile realizzare “grandi” condensatori)
– essi permettono di immagazzinare una maggiore quantità di
energia (rispetto al caso del vuoto ovvero aria)
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Rigidità Dielettrica
Il valore massimo del campo elettrico che
un materiale dielettrico può sopportare
prima di una rottura distruttiva.
Per esempio la rigidità dielettrica
dell’aria è 3 kV/mm e quella del Pyrex è
14 kV/mm.
• Essa limita la tensione che può essere applicata al
condensatore. La tensione massima è chiamata potenziale
di rottura (breakdown).
• Se i due piatti di un condensatore sono separati da 1
mm, il potenziale di rottura è di 3 kV se lo spazio tra i
piatti è costituito da aria, mentre è di 14 kV se lo
spazio è riempito di Pyrex.
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Rigidità Dielettrica
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Piatti Paralleli: Esempio
Q
• Carichiamo un condensatore a piatti
piani e paralleli separati dal vuoto
(aria) alla d.d.p. V0.
+++++++++++++++
V0
E0
---------------
• Una quantità di carica Q = C0V0 viene
a trovarsi su ciascun piatto.
• Inseriamo ora un materiale con costante
dielettrica r.
Q
– La carica Q rimane costante (piatti isolati) +++++++++++++++
+
+
+
-
+
+
+
– Quindi, C = Q0/V = r C0
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E
---------------
r
– il campo elettrico diminuisce : E 
-
V 
V0

-
– Si trova che V0 diminuisce a
V
+
• QUINDI !!!
E0
r
Condensatore piano
 A
C  r 0
d
Piatti Paralleli: Esempio
Q
• MODIFICHE ALLA LEGGE DI GAUSS ?
– Come può diminuire il campo se la
carica rimane la stessa ?
+++++++++++++
V0
E0
-------------
– Risposta: il dielettrico si polarizza in
presenza del campo dovuto a Q.
Q
• Le molecole si allineano parzialmente +++++++++++++
con il campo in maniera che la loro

E
carica negativa si sposta verso il piatto V
positivo.
------------• Il campo dovuto a questa
V0
redistribuzione all’interno del
V
dielettrico (orientazione dipoli) si
r
oppone al campo originale ed è quindi
E0
responsabile della riduzione del campo
E
effettivo.
+
+
- + +
+
- +
-
+
-
+ + +
- -
r
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Polarizzazione indotta
Dipolo elettrico
permanente
Polarizzazione indotta
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Dielettrici nei condensatori !
• Condensatore a piatti paralleli
separati da vuoto
• Condensatore con dielettrico tra
i piatti
– intensità del campo E ridotta
dalla “costante dielettrica
relativa”
σ
E
εo
+
+
+
+
+
+
+
-
-
vuoto
-
σ
E
 rεo
• Perchè ?
– la polarizzazione dielettrica determina
una carica superficiale sul dielettrico
che cancella parzialmente l’effetto delle
cariche libere (sui piatti)
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+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+
+
+
dielettrico
-
-
-
-
-
-
-
-
la costante dielettrica
relativa può essere grande
Modifiche alla Legge di Gauss
(in presenza di dielettrici)
Nel vuoto:
 0  E0  dS  q
Con un dielettrico il campo si riduce: E 
E0
r
Riscrivendo la legge di Gauss in presenza del dielettrico:
 0   r E  dS  q
Questa forma della Legge di Gauss può essere usata nel vuoto o nel
dielettrico, q rappresenta la carica “libera".
(la carica libera è la carica che si può muovere, p.es. sulle armature)
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Condensatori reali: come sono fatti
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Capacità:
fenomeni naturali e
applicazioni
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