Elettrostatica 6
30 maggio 2011
Capacità elettrica
Condensatore piano
Condensatore cilindrico
Costante dielettrica
Cariche indotte nel dielettrico
Energia elettrostatica
Composizione di capacità
Capacità elettrica
• Si puo` definire per un numero arbitrario di conduttori
• Noi ci limiteremo a due conduttori caricati con cariche
uguali e opposte
• La capacita` e` il rapporto tra la carica (in valor
assoluto) presente su ciascun conduttore e la
differenza di potenziale (pure in valor assoluto) tra i
conduttori
Q
C
V
1




C

Q
V
• Ha le dimensioni di carica diviso ddp
C
• La sua unità è il coulomb diviso volt, cioè il farad F 
V
2
Condensatore piano
• Data una carica Q, per trovare C
si determina preventivamente il
campo E e da questo si trova il
potenziale V
• Per il condensatore piano si usa
anche il principio di
sovrapposizione per i campi
generati dalla carica +Q sul
primo piatto e –Q sul secondo
• Poiché le densità di carica sui
due piatti sono uguali in modulo,
otteniamo infine
Etot  E  E 
 


2 0 2 0

Etot 
0
3
Condensatore piano
• Cioè il campo E è costante tra le due piastre
• La ddp tra i due piatti è
 

 


Q
V    E  dl   Edl   dl  d 
d

0
A 0


 0
• E la capacità è
Q A 0
C 
V
d
E
dl
-
+
4
Condensatore cilindrico
• Applichiamo la legge di Gauss ad una
superficie cilindrica di raggio r e lunghezza L,
coassiale al conduttore interno
L
Qint
E (r )2rL 
 E | S  
0
0
• Da cui ricaviamo il campo
 1
E (r ) 
20 r
+
dl
E
5
Condensatore cilindrico
• La ddp è


  
 1
Q
r
V    E  dl   Edr  
dr 
ln
20 r
20 L r



• E la capacità è
20 L
C
r
ln
r
6
Campo elettrico nella materia
• Se i conduttori non sono nel
vuoto, ma immersi in un
dielettrico, l’unico cambiamento
macroscopico nel campo è una
diminuzione di intensità per una
costante r (maggiore di 1) che
dipende dalla natura del
dielettrico
• Ne segue che anche la ddp
diminuisce dello stesso fattore
• Mentre la capacità aumenta
dello stesso fattore
E
Evuoto
V
Vvuoto
r
r
C  C0 r
7
Campo elettrico nella materia
• La carica libera sulle piastre del
condensatore polarizza il
dielettrico, che si carica
superficialmente con cariche
legate
• La carica libera produce il
campo
• La carica legata produce il
campo
• Il campo del dielettrico
diminuisce il campo delle
piastre del condensatore
• Si ottiene così il campo
risultante
 libera
 legata
E0   libera  0
Elegata   legata  0
Etot  E0  Elegata
8
Campo elettrico nella materia
• Poiché sappiamo che il
campo totale vale
• Possiamo trovare il campo
dovuto alla carica legata
• Dato che campo e densità
superficiali sono
proporzionali, otteniamo
anche
Etot 
E0
r
 r 1
Elegata 
E0
r
 r 1
 legata 
 libera
r
9
Costante dielettrica
• r prende il nome di costante dielettrica relativa,
è adimensionale
• Il prodotto  =0 r prende il nome di costante
dielettrica del materiale
• Per studiare i fenomeni elettrici nei materiali
dielettrici si introduce,
accanto
a
E,
il
campo
D
 

  
Dr   E   0 r r Er 
• Ove si e` evidenziato che r puo` dipendere dal
punto considerato nel dielettrico
10
Energia elettrostatica
• Sia data una distribuzione di carica q che genera un
potenziale V. Un aumento di carica dq comporta un
aumento di energia potenziale elettrica dU pari a
q
dU e  Vdq  dq
C
• L’energia totale accumulata partendo da carica iniziale
Q
nulla a carica finale Q è
q
1 Q2
Ue  
• Espressioni alternative
0
C
dq 
2 C
1 Q2 1
1
Ue 
 QV  CV 2
2 C 2
2
11
Energia elettrostatica
• Nel processo di carica di un condensatore,
viene generato un campo E tra le armature
• Il lavoro speso per caricare il condensatore
può considerarsi come il lavoro necessario per
generare il campo E
• Condensatore piano di area A, distanza d e
con dielettrico
E  Q A
V  Ed
• Sostituendo nell’espressione dell’energia
elettrica
1
1
1 2
U e  QV  AE Ed   E Ad
2
2
2
12
Energia elettrostatica
• La quantità Ad è il volume V compreso tra le piastre
• Definiamo la densità di energia elettrostatica dividendo
l’energia per il volume
Ue 1 2
ue 
 E
V 2
• Nel caso generale la densita` di energia puo` cambiare
da punto a punto e quindi dev’essere espressa in
termini differenziali
dU
ue 
dV
• Inversamente l’energia si trova integrando la densita`
nello spazio
U  u dV

S
e
13
Energia elettrostatica
1 2
• Si puo` estendere la relazione ue  E
2
al caso generale, di cui non diamo la
dimostrazione, nella forma
1  
ue  E  D
2
14
Composizione di capacità
• Composizione in parallelo. 1 e 2
hanno la stessa caduta di potenziale
ai loro capi. Su 1 c’è la carica Q1 e
su 2 la carica Q2
• Vogliamo trovare un singolo
condensatore di capacità C che a
parità di ddp V accumuli la stessa
carica totale Q=Q1+Q2
• La capacità del condensatore
equivalente è quindi la somma delle
capacità dei condensatori 1 e 2
Q  CV
Q1  Q2  C1V  C2V
C  C1  C2
15
Composizione di capacità
• Composizione in serie. La ddp ai capi di 1
è V1 e ai capi di 2 è V2. Su 1 si accumula
la carica Q1 e su 2 la carica Q2
• Poiché tra i due condensatori la carica
inizialmente è nulla, per la conservazione
della carica avremo che Q1 è uguale a Q2
Q
• Vogliamo trovare un singolo condensatore
V
di capacità C che su una ddp pari alla
C
somma delle cadute su 1 e 2, accumuli la
Q Q
V1  V2 

stessa carica Q
C1
• L’inverso della capacità del condensatore
equivalente è quindi la somma degli inversi
delle capacità dei condensatori 1 e 2
C2
1
1
1


C C1 C2
16
Rigidita` dielettrica
• E` il massimo campo elettrico sostenibile
dal dielettrico, prima che avvenga una
scarica distruttiva
• Normalmente sui condensatori si riporta
pero` la differenza di potenziale massima
sostenibile
17