Un manipolatore è costituito da un insieme di corpi rigidi (bracci) connessi in
cascata tramite coppie cinematiche (giunti) a formare una catena cinematica in cui
un estremo è connesso con una base ed all’altro è connesso un organo terminale
(di presa od utensile per le operazioni e la manipolazione)
I giunti possono essere:
• di rotazione o rotoidali
• di traslazione o prismatici
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Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA DIRETTA
Definizione:
GIUNTO
Grado mobilità
Variabile di giunto
Obiettivo della cinematica diretta è la determinazione di
posizione ed orientamento dell’organo terminale in
funzione dei valori assunti dalle variabili di giunto
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Abbiamo visto che la posa di un corpo rispetto ad una terna di riferimento è
caratterizzata dal vettore posizione dell’origine e dai versori della terna solidale al
corpo stesso ‘visti’ dalla terna di riferimento
Dunque la funzione cinematica diretta può essere espressa dalla matrice di
trasformazione omogenea:
In cui:
Terna utensile
• q è il vettore delle variabili di giunto
• ne se ae sono i versori della terna solidale
all’organo terminale (riferiti alla terna base:
apice b)
Terna base
• pe è il vettore posizione dell’origine della
terna solidale all’organo terminale (riferito alla
terna base: apice b)
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L’origine della terna utensile si pone al centro della pinza
Il versore ae (approccio) si sceglie nella direzione di avvicinamento, rappresenta
l’asse z
Il versore se (scivolamento) si sceglie nella direzione di scorrimento degli elementi
prensili , rappresenta l’asse y
Il versore ne (normale) si sceglie normale agli altri due in modo da rendere la terna
levogira , rappresenta l’asse x
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Una modalità per il calcolo della cinematica diretta consiste nella soluzione
geometrica della struttura del manipolatore assegnato
Nel caso della struttura planare a due giunti, mediante le regole della trigonometria
si ottiene:
Convenzione:
s1  sin 1 
s12  sin 1  2 
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Esempio di soluzione della CINEMATICA DIRETTA
… l’efficacia dell’approccio appena visto si fonda sulla scelta oculata delle
grandezze di interesse e dall’abilità ed intuizione geometrica dell’analista
Ma quando la struttura del manipolatore è complessa ed il numero dei giunti è
elevato si rende preferibile l’adozione di una procedura sistematica e generale
Tale procedura esiste nel caso di
manipolatori a catena cinematica
aperta: considerando
separatamente il problema della
descrizione dei legami cinematici (e
della descrizione relativa delle
coordinate) e risolvendo in maniera
ricorsiva il problema della
descrizione complessiva della
cinematica del manipolatore
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Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA
Dunque si definisce una terna solidale ad ogni braccio per cui la trasformazione di
coordinate complessiva è:
Tale calcolo risulta essere ricorsivo ed ottenuto mediante semplici moltiplicazioni
tra matrici (seguendo la regola della moltiplicazione da dx verso sx della
trasformazione di coordinate) di cui ognuna risulta essere funzione di una
singola variabile di giunto
Se
S1
S2
Sb
T  A 1   A 2   A
b
e
b
1
1
2
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Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA
2
e
Reb  R1b 1   R21 2   Re2
PROVATE A DETERMINARE LA ROTAZIONE DELLA CINEMATICA
DIRETTA MEDIANTE COMPOSIZIONE DI MATRICI DI
TRASFORMAZIONE DI COORDINATE OMOGENEE
z
Se
y
x
S1
y
y
x
Sb
S2
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Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA
Reb  R1b 1   R21 2   Re2
 c1
Reb   s1

 0
 s1 0  c2
c1 0   s2
 
0 1  0
z
 s2
c2
0
0  0 0 1 
0  0 1 0
 

1 1 0 0
Se
y
x
S1
y
y
x
Sb
S2
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Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA
 c1  s1 0  c2  s2 0 0 0 1
TRebeb   s1 c1 0   s2 c2 0  0 1 0 

 
 

0 1 1 0 0
 0 0 1  0
 c1  s1 0 0 s2 c2 
  s1 c1 0  0 c2 s2  

 

0 
 0 0 1 1 0
0 c1  s2  c2  s1  s1  s2  c2  c1 
 0 s1  s2  c2  c1 c1  s2  c2  s1  


0
0
1

0 s12
 0 c12

0
1
c12 
s12 

0 
=
(vista prima)
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Soluzione sistematica alla CINEMATICA DIRETTA
Allo scopo di estendere la
generalizzazione anche alla scelta
delle terne solidali ai bracci si
perviene al metodo di DenavitHartenberg
La convenzione prevede la seguente procedura:
1. si sceglie l’asse zi giacente lungo l’asse del giunto i+1
2. si individua Oi all’intersezione dell’asse zi con la normale comune (retta di
minima distanza) agli assi zi-1 e zi; si individua Oi’ con l’intersezione della
normale comune con zi-1
3. si sceglie l’asse xi diretto lungo la normale comune agli assi zi-1 e zi con verso
positivo del giunto i al giunto i+1
4. si sceglie l’asse yi in modo da completare una terna levogira
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Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg
1. si sceglie l’asse zi giacente lungo l’asse del giunto i+1
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Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg
Oi
Oi’
2. si individua Oi all’intersezione dell’asse zi con la normale comune (retta di
minima distanza) agli assi zi-1 e zi; si individua Oi’ con l’intersezione della
normale comune con zi-1
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Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg
Oi
Oi’
3. si sceglie l’asse xi diretto lungo la normale comune agli assi zi-1 e zi con verso
positivo del giunto i al giunto i+1
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Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg
Oi
Oi’
4. si sceglie l’asse yi in modo da completare una terna levogira
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Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg
La terna risulta non essere univocamente determinata nei seguenti casi:
• per la terna 0 (non esistendo la -1) solo la direzione di z0 risulta
specificata: si possono scegliere arbitrariamente O0 ed x0
• quando due assi consecutivi sono paralleli
• quando due assi consecutivi si intersecano xi risulta arbitrario
• quando il giunto i è prismatico solo la direzione dell’asse zi-1 è specificata
(lungo la direzione di scorrimento del giunto)
In tali casi l’indeterminazione non risulta essere un problema, bensì può
essere sfruttata per semplificare la procedura (ad esempio nel caso di
allineamento delle terne consecutive)
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Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg
Una volta definite le terne solidali ai bracci la posizione e l’orientamento della terna
i rispetto alla i-1 risultano specificate dai seguenti parametri:
• ai distanza di Oi da Oi’
• di coordinata su zi-1 di Oi’
• i angolo intorno all’asse xi tra l’asse zi-1 e l’asse zi
• i angolo intorno all’asse zi-1 tra l’asse xi-1 e l’asse xi
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Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg
Dei quattro parametri due (ai e i) sono sempre costanti e dipendono dalla
geometria di connessione dei giunti consecutivi
Degli altri due uno soltanto è variabile in dipendenza del tipo di giunto
utilizzato per connettere il braccio i-1 al braccio i
• se il giunto è prismatico la variabile è di
• se il giunto è rotoidale la variabile è i
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Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg
A questo punto si è in grado di esprimere la trasformazione di coordinate che lega
la terna i alla terna i-1:
1. si parte dalla terna i-1 traslando la terna di di lungo l’asse zi-1 ruotandola di i
intorno all’asse zi-1
Questa operazione porta la terna i-1 a sovrapporsi alla terna i’ ed è descritta dalla
matrice di trasformazione omogenea:
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Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg
2. si trasla la terna i’ di ai lungo l’asse xi’ ruotandola di i intorno all’asse xi’
Questa operazione porta la terna i’ a sovrapporsi alla terna i ed è descritta dalla
matrice di trasformazione omogenea:
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Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg
Essendo le due roto-traslazioni definite su terna corrente la composizione
prevede la moltiplicazione da sx verso dx:
Per cui la trasformazione di coordinate complessiva è:
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Soluzione sistematica – Denavit Hartenberg
1 angolo intorno all’asse x1
tra l’asse z0 e l’asse z1
x
1
S0
y
La terna 0 è stata scelta con origine all’intersezione di z0 e z1
z1 e z2 sono paralleli per cui x2 è stato scelto empiricamente lungo la direzione del
secondo braccio
Stessa cosa per x3
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Esempio – Manipolatore Antropomorfo
Le matrici di trasformazione
omogenea risultano:
( i  d i  0)
(a1  d1  0 1  90)
q  1 , 2 , 3 
T


NOTA: z3 per semplicità è stato scelto parallelo a z2 e quindi in contrasto con la convenzione
della terna utensile, per rispettare la quale occorrerebbe introdurre una ulteriore matrice di
trasformazione
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Esempio – Manipolatore Antropomorfo
Nello specificare il compito da far eseguire all’organo terminale del manipolatore si
assegna posizione ed orientamento della terna utensile in termini di:
• Traiettoria: posa in funzione del tempo
• Percorso: insieme dei punti di passaggio
Ricorrendo ad una rappresentazione minima la posa può essere espressa ad
esempio tramite posizione ed angoli di eulero :
il vettore x posa appartiene allo Spazio Operativo, il vettore delle variabili di
giunto q appartiene allo Spazio dei Giunti (la lunghezza del vettore determina i
gradi di mobilità )
La postura è funzione delle variabili di giunto per cui l’equazione cinematica
diretta può scriversi come x = k(q)
Tale funzione non è sempre esprimibile in maniera analitica tranne che in casi
semplici
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Spazio dei Giunti e Spazio Operativo
Con tre variabili di giunto si possono specificare indipendentemente al più tre
variabili nello spazio operativo
Nel caso in cui l’orientamento non interessa si ha x = [px py] e vi è quindi
ridondanza cinematica di gradi di mobilità rispetto al compito di puro
posizionamento dell’organo terminale
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Spazio dei Giunti e Spazio Operativo
Esempi di utilità della ridondanza:
• obstacle avoidance
• minimizzazione dell’energia
• minimizzazione della perturbazione della
base nel caso di robot free-floating
• incremento della destrezza
Un manipolatore viene detto ridondante da un punto di vista cinematico quando
possiede un numero di gradi di mobilità maggiore alla dimensione dello spazio
operativo. Tale concetto è relativo al compito da svolgere
Nel caso del manipolatore planare a tre gradi di mobilità se il compito da svolgere
è il taglio laser di una lamina planare esso risulta ridondante, nel caso in cui il
compito sia la presa di un oggetto non circolare la ridondanza decade. Oltre alla
posizione in questo caso deve essere controllata anche l’orientazione.
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Ridondanza Cinematica
Lo spazio di lavoro raggiungibile di un manipolatore è la regione descritta
dall’origine della terna utensile quando ai giunti si fanno eseguire tutti i moti
possibili
Lo spazio di lavoro destro di un manipolatore è la regione della terna utensile
che può essere raggiunta con tutte le orientazioni possibili. È un sotto-insieme
dello spazio di lavoro raggiungibile
lo spazio di lavoro è determinato dalla geometria del manipolatore e dai fine-corsa
meccanici imposti sui giunti per motivazioni meccaniche
Per un manipolatore ad n gradi di mobilità lo spazio di lavoro è il luogo geometrico
dei punti P ottenibili considerando l’equazione cinematica diretta per la sola
posizione:
Essendo i giunti di articolazione di tipo rotoidale e/o prismatico si dimostra che la
superficie che racchiude lo spazio di lavoro raggiungibile è costituita da elementi di
superficie planare, sferica, toroidale e cilindrica
Tale superficie è fondamentale per una analisi preliminare dei compiti ed
applicazioni del manipolatore
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Spazio di lavoro
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