Il problema cinematico inverso tratta la determinazione delle variabili di giunto
assegnata la posizione e l’assetto dell’organo finale del manipolatore
La soluzione di tale problema è di fondamentale importanza per tradurre le
specifiche di moto dallo spazio operativo allo spazio dei giunti OVVERO PER
POTER PROGRAMMARE IL ROBOT
Tramite l’equazione cinematica diretta posizione ed orientazione end effector sono
determinati in maniera univoca. Da contro il problema cinematico inverso potrebbe
non godere della suddetta proprietà per le seguenti motivazioni:
• si possono avere soluzioni multiple
• si possono avere infinite soluzioni (manipolatore ridondante)
• le equazioni sono in generale non-lineari e non è sempre possibile determinare
una soluzione analitica
• possono non esistere soluzioni ammissibili (data la struttura cinematica e
meccanica del manipolatore)
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Cinematica dei Manipolatori – CINEMATICA INVERSA
L’esistenza di soluzioni è garantita se posizione ed orientazione appartengono
allo spazio di lavoro destro del manipolatore
Per quanto riguarda il problema delle soluzioni multiple nel caso tridimensionale
con manipolatore a 6 gradi di mobilità si hanno per ogni postura ben 16 soluzioni
diverse (esempio del gomito alto/basso)
La determinazione di soluzioni in forma
chiusa richiede intuizione algebrica e
geometrica
Nel caso in cui non sia semplice arrivare alla
soluzione o essa non esista in forma
esplicita, è opportuno ricorrere a tecniche
numeriche di soluzione.
In generale non consentono di
determinare tutte le soluzioni possibili
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Manipolatore planare a 3 bracci:
Equazione cinematica
diretta
W
Equazione cinematica
Inversa?
I termini noti sono: px py 
Le variabili da determinare: 1 2 3
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Esempio – CINEMATICA INVERSA
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Il problema è determinare le variabili di giunto corrispondenti a posizione ed
orientamento assegnati per l’organo terminale
I termini noti sono: px py 
Le variabili da determinare: 1 2 3
Sostituendo la terza (che esprime la somma dei tre angoli, valore noto) nelle prime
due:
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2
2
2
pwx
 a12c12  a22c12
 2a1 a2 c1 c12  a12c12  a22c12
 2a1 a2 c1 c1 c2  s1 s2 
2
 a12c12  a22c12
 2a1 a2 c12c2  2a1 a2 c1 s1 s2
2
2
pwy
 a12 s12  a22 s12
 2a1 a2 s12c2  2a1 a2 c1 s1 s2
2
2
pwx
 pwy
 a12  a22  2a1 a2 c2
Da cui si puo ricavare 2
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Sostituendo 2 nell’equazione:
Si determina un sistema algebrico di due equazioni nelle due incognite c1 e
s1 che, risolto, fornisce:
Da cui si ricava 1 :
Infine si ricava 3 :
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Per un manipolatore planare a tre bracci la soluzione non è triviale, dunque
per manipolatori più complessi la soluzione può essere complessa da
determinare o neppure esistere in termini espliciti
Sorge quindi l’esigenza di sviluppare/apprendere tecniche numeriche di
soluzione
Uno strumento fondamentale per la determinazione della soluzione di
equazioni non-lineari è l’operazione di derivazione … e dunque tramite la
cinematica differenziale
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