SECONDO INCONTRO
MARIA CRISTINA MARTIN
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1. Le prime emozioni, positive o negative, sono associate all’insegnante
(convinzione delle proposte, piacere e gusto per la disciplina…), alla
curiosità per l’argomento, al contesto sociale della classe;
2. il bambino si costruisce le convinzioni su andar bene/andar male in
matematica se percepisce il proprio fallimento di fronte alle conoscenze,
con ricaduta sull’immagine di sé, per cui l’aspetto fallimentare diventa
irreversibile;
3. l’interpretazione fallimentare dell’esperienza matematica è associata al
senso di inadeguatezza, alla confusione, alla mancanza di
consequenzialità esplicita nel percorso didattico ed alla percezione di
incontrollabilità dei concetti matematici;
4. l’errore è la principale fonte di inadeguatezza; il tempo (troppo veloce e
poco agevole) è la principale fonte di confusione, incontrollabilità;
5. queste emozioni generano comportamenti di rinuncia al controllo dei
propri processi di pensiero, rinuncia a pensare, risposte a caso
COME INTERVENIRE?
Presentare la matematica come
disciplina controllabile, stimolante, dinamica
Incoraggiare l’alunno,
giudicando la prestazione e non la persona,
sdrammatizzando l’errore e ri-orientandolo.
… CONCRETAMENTE
• Privilegiare i processi (da comprendere) piuttosto che i prodotti
(tanti e diversi da memorizzare)
• Dare tempo, dirigendo l’impegno ed individuando obiettivi realistici
• Riconoscere i piccoli progressi
• Non far uso della didattica implicita,
ma dominare il più possibile l’estensione del concetto prima di affrontarlo
• Individuare tutti gli elementi di un concetto e lavorare su di loro separatamente
prima di lavorare sul concetto completo
(per gli alunni sarà più facile capire e partecipare)
• Aver chiari i nodi concettuali dei percorsi didattici ed i possibili legami
• Non affrontare un argomento se non si è più che convinti di dominarlo correttamente
• Fare attenzione alle domande degli alunni che ci mettono in crisi
(non bloccarle per dimostrare di non essere stati colti impreparati,
È la proposta di fare riferimento
alla vita reale nell'impostare l'attività didattica,
nella scelta degli strumenti e dei i metodi di lavoro.
Non è mancanza di struttura
o libertà di non far niente
È pedagogia dell’ascolto
del soggetto che apprende
È saper dare a ciascuno
secondo i bisogni e non secondo i desideri
Richiede ai i docenti
ETICA DELLA RESPONSABILITÀ E DELLA CURA
Cos’è un numero?
Quantità, simbolo, misura…
ENTE IDEALE
Linguaggio comune: NUMERI DI qualcosa
Numero è elemento di un insieme
numerico
Statuto dei numeri
Scrittura decimale
NUMERI NATURALI: N
Uso scolastico (conteggio, quantità, misura)
Usi sociali (canali TV…)
0 è pari?
PARI E DISPARI…
Se pari è numero 2n, allora è n+n,
ossia somma di numeri uguali
0=0+0…
NUMERI INTERI RELATIVI: Z
Uso matematico: a-b=c
Uso generale: 0 “spartitraffico”,
i numeri che vengono prima sono negativi,
quelli che vengono dopo sono positivi
NUMERI RAZIONALI: Q
Uso matematico: a : b = c
Uso scolastico: quantità discrete e continue, misura
Il sottomondo dei NUMERI DECIMALI FINITI
( frazioni con denominatore potenze di dieci)
è il più usato,spesso caratterizzandolo con la virgola,
che è invece un accidente.
Le frazioni proprie, improprie ed apparenti
non hanno significato in matematica
Numeri pari e dispari, primi e composti “muoiono”
In relazione alla densità,
tra due numeri razionali ci sono infiniti numeri razionali
NUMERI REALI : R
Numeri fissi, Л….
I “buchi” lasciati vuoti dai razionali sulla retta numerica
sono riempiti dai reali
(secondo la caratteristica della completezza)
LA DIVISIBILITÀ
Punto di arrivo nella scuola primaria è:
a=bxq+r
se a è MULTIPLO di b allora a è DIVISIBILE per b
se a è MULTIPLO DI q allora a è DIVISIBILE per b
b e q sono DIVISORI o SOTTOMULTIPLI di a
c’è un numero minore di tutti i numeri?
(c’è un numero di cui tutti gli altri sono multipli?)
c’è un numero maggiore di tutti i numeri?
(c’è un numero multiplo di tutti i numeri?)
NUMERO NATURALE
SUCCESSIVO
ORDINALITÀ
sintesi
UNO DI PIÙ
CARDINALITÀ
POSSIBILE PERCORSO PER L’ACQUISIZIONE
DEL CONCETTO DI NUMERO NATURALE
recupero delle “conoscenze numeriche “ precedenti
ORDINALITÀ
ATTIVITÀ
CONCETTI SOTTESI
filastrocca numerica
prima/dopo
associazione della sequenza verbale
all’attività manipolativa
modulo, regola generatrice ed accento
di una successione
le trasformazioni
punto d’origine
trasformazioni di posizione in
successioni ordinate
semiretta ordinata
la linea dei numeri
direzione e verso
trasformazioni di posizione sulla linea
dei numeri (gradualmente da 0 a 9 )
funzione
successioni con cicli semplici
funzione “+1” ed inversa (“-1”)
successioni con cicli sovrapposti (2x2x2,
3x3x3, l’anno [7x4x12])
CARDINALITÀ
ATTIVITÀ
CONCETTI SOTTESI
tanti/quanti (uno ogni uno)
corrispondenza biunivoca
di più/ di meno
prevalenza/suvvalenza
numerosità dell’insieme
Equipotenza
quanti di più
Inclusione
nuclei percettivi (carte di Papy…),
(regoli)
insieme complemento
raggruppamenti in diverse basi
numero come misura
NUMERO NATURALE
ATTIVITÀ
CONCETTI SOTTESI
numero ordinale (successivo) composto
con numero cardinale (uno di più)
insieme N determinato dalla funzione
“+1”
Regole di scrittura del numero in
contesti multibase
polinomio ordinato secondo le potenze
decrescenti della base dieci.
…
0
1
2
3
4
5
6
4
4
4
6
7
8
9
…
POLINOMIO ORDINATO SECONDO LE
POTENZE DECRESCENTI DELLA BASE DIECI
2014 = 2•103 + 0•102 + 1•101 + 4•100
a • bc
a = coefficiente
b = base
c = esponente
CICLI SOVRAPPOSTI
0
9
1
2
8
h
5
0
0
2
4
6
0
1
5
1
u
4
2
3
2
3
7
b
4
4
2
3
3
0
0
0
0
c
q
b
u
1
2
1
2
5
5
q
1
u
4
5
1
8
3
7
6
0
9
da
4
5
1
2
8
3
7
6
0
9
2
1
2
1
Lavorando con i cicli sovrapposti, i bambini manipolano i
concetti di base ed esponente operando con piccole
quantità.
n0
n1
n2
n3
G
P
Per ogni
contatore uno
strumento….
a
La sequenza di blocchi ci
porta ad una lettura che
diventa un’esecuzione
musicale poliritmica
… e se fossero numeri….
La stessa struttura ciclica può essere utilizzata con le quantità,
usando qualsiasi base numerica. In questo caso l’esempio è
riferibile alla base tre.
PIATTO
SCATOLA
REGOLE DEL GIOCO
PER SCRIVERE IL NUMERO CORRISPONDENTE AD UNA QUANTITA’ DI TAPPI:
• OGNI VOLTA CHE NE HAI TRE RIEMPI UN BICCHIERE,
•TRE BICCHIERI RIEMPONO UN PIATTO,
• TRE PIATTI RIEMPONO UNA SCATOLA.
BICCHIERE
SCIOLTO
REGISTRANDO IN TABELLA
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
2
2
2
0
0
0
1
1
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
1
2
2
2
0
0
0
1
1
1
2
2
2
0
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
L’ADDIZIONE È UN’OPERAZIONE?
LEGGE CHE STABILISCE
UN RAPPORTO FRA
NUMERI NATURALI
UN MODO DI
COMBINARE TRA
LORO NUMERI
NATURALI
È BINARIA
Combina 2 elementi
alla volta
È INTERNA
Il risultato è sempre un
numero naturale
COMPETENZE NECESSARIE
PER SAPER SCEGLIERE LE OPERAZIONI GIUSTE
DA APPLICARE AD ALCUNI DATI
E IN QUALE ORDINE RISOLVERE
TANTE COMPETENZE DISTINTE,
LA CUI COSTRUZIONE SPONTANEA
RICOPRE UN PERIODO DI TEMPO MOLTO LUNGO
3/4 ANNI
STATO INIZIALE, TRASFORMAZIONE CONOSCIUTA, RICERCA STATO FINALE
(CON VALORI NUMERICI MOLTO PICCOLI E DOMINI DI RIFERIMENTO FAMILIARI)
CRESCENDO…
SI AMPLIANO I VALORI NUMERICI
(GRANDI NUMERI, DECIMALI, FRAZIONI…)
AUMENTANO I DOMINI DI RIFERIMENTO
(GRANDEZZE SPAZIALI, FISICHE…)
CONCETTO INTUITIVO DI ADDIZIONE
METTERE INSIEME
Addizione deve far
aumentare il
valore dello stato
iniziale
INTORNO AD UN
TAVOLO CI SONO 4
BAMBINI E 7
BAMBINE. QUANTI
SONO IN TUTTO?
GIOVANNI HA SPESO
4 EURO. ORA HA IN
TASCA 7 EURO.
QUNTI SOLDI AVEVA
PRIMA DI FARE LA
SPESA?
ROBERTO HA GIOCATO DUE
PARTITE. NELLA PRIMA HA
PERSO 4 PUNTI, MA ALLA
FINE DELLA SECONDA ERA IN
VANTAGGIO DI 7 PUNTI.
COSA È SUCCESSO NELLA
SECONDA PARTITA?
L’INTUIZIONE
PRIMITIVA NON PUÒ
ESSERE SRADICATA
COMPLETAMENTE
OCCORRE
SVILUPPARE NELLA
PRATICA UNA
STRUTTURA
SECONDARIA
PER CONDURRE L’APPRENDENTE
A RIGETTARE PROCEDURE SBAGLIATE O
LIMITATE,
PER SOSTITUIRLE CON PROCEDURE
PIÙ FORTI E UNIVERSALI
STRUTTURE ADDITIVE
SONO STRUTTURE IN CUI LE RELAZIONI POSSIBILI
SONO SOLO ADDIZIONI E SOTTRAZIONI.
I problemi di tipo additivo possono essere relativi a
MISURE E TRASFORMAZIONI
Ho 6 biglie di vetro e 8 di acciaio. Quante in tutto? 6+8=14
UNA TRASFORMAZIONE OPERA SU UNA MISURA
E DÀ UNA MISURA
evo 7 biglie, ne ho vinte 4. Quante ne ho ora? 7 + (+4)= 11
UNA RELAZIONE COLLEGA DUE MISURE
Ho 8 biglie, Mario 5 in meno, quante ne ha Mario? 8+(- 5)=3
DUE TRASFORMAZIONI SI COMPONGONO
PER DARE UNA TRASFORMAZIONE
Ieri ho vinto 6 biglie, oggi ne ho perse 4. Quante ne ho vinte in
tutto? (+6) + (-4)= (+2)
UNA TRASFORMAZIONE OPERA SU UNA RELAZIONE
E DÀ UNA RELAZIONE
Devo restituire 6 biglie a Mario, gliene do 4, quante
gliene devo ancora dare? (-6)+(+4)=(-2)
DUE RELAZIONI SI COMPONGONO E
DANNO UNA RELAZIONE
Devo 6 biglie a Mario e Mario deve 4 biglie a me.
Quante biglie devo ancora a Mario? (-6)+(+4)=(-2)
A
D
D
I
Z
I
O
N
E
S
O
T
T
R
A
Z
I
O
N
E
SIGNIFICATO STATICO
SIGNIFICATO DINAMICO
UNIRE
AGGIUNGERE
CONFRONTARE
(differenza)
TOGLIERE
(resto)
MODELLI PRIMITIVI TACITI
Interpretazioni significative di nozioni matematiche, che si sviluppano ad uno stadio iniziale
del processo d’apprendimento (spesso suggerita in modo esplicito dall’insegnante) e che
continuano ad influenzare tacitamente le interpretazioni e le decisioni risolutive dell’allievo
Fischbein
OPERAZIONE MATEMATICA
ASPETTO
FORMALE
PROPRIETÀ
ASPETTO
ALGORITMICO
TECNICA
ADDIZIONE
METTERE INSIEME, RIUNIRE
SOTTRAZIONE
TOGLIERE, PORTAR VIA
ASPETTO “NEFASTO” DEL LIBRO DI TESTO
… linguisticamente
ASPETTO
INTUITIVO
OP. INTERNA…
STRUMENTI DIDATTICI PER LE STRUTTURE ADDITIVE
LA LINEA DEI NUMERI
…semplice, completa, economica
ADDIZIONE
SOTTRAZIONE
Conteggio
Progressivo
… rende palesi
 i vincoli della sottrazione (minuendo  sottraendo)
 il ruolo di 0 e 1
 la proprietà commutativa dell’addizione
 la proprietà invariantiva della sottrazione
Conteggio
regressivo
…stimola il distacco graduale dagli oggetti concreti, operando solo con i
numeri
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
LE MACCHINE
MACCHINE IN SERIE
7
?
2
?
?
?
?
TROVARE STRATEGIE DIVERSE E
ATTIVARE PROCESSI DI “FANTASIA” MATEMATICA
51
?
NUMERI AMICI
Addizione
3
3
2
1
0
1
2
0
n ha n+1 coppie di numeri amici
3
TABELLE
+
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
ruolo di 0 e 1
addizione sempre possibile (tabella completa)
minuendo maggiore del sottraendo (settore vuoto in sottrazione)
proprietà commutativa (simmetria tabella)
numeri amici (quante volte appare un numero in tabella)