Teorema di Clausius le proprietà di una trasformazione ciclica a due temperature sono descritte soddisfacentemente dal teorema di Carnot ma in una generica trasformazione ciclica gli scambi di calore possono avvenire a qualunque temperatura T nel caso limite a temperature variabili con continuità percio’ occorre estendere il teorema di Carnot 1 Q1 l’idea è quella di considerare una trasformazione ciclica che scambia calore con una serie di serbatoi a temperature L differenti, si noti gli scambi di calore con i serbatoi intermedi possono avvenire nei due sensi, poi si deve cercare una trasformazione equivalente T2 Q2 T3 Q3 QN-1 QN TN-1 che realizzi gli stessi scambi di calore e lavoro, costituita da T trasformazioni cicliche a due serbatoi in modo da potere sfruttare il teorema di Carnot per iniziare inseriamo tra ogni sorgente una macchina ciclica N consideriamo la seguente sequenza di trasformazioni cicliche tra due serbatoi con T1 > TN ed applichiamo il teorema di Carnot alla j-esima trasformazione per definizione di rendimento L1 Qc rev 1 per il teorema di Carnot quindi J J Qa | QJrev '| TJ 1 TJ 1 | QJ 1 '| | QJ 1 '| 1 1 1 1 1 1 rev | QJ ''| | QJ ''| TJ TJ | QJ ''| | QJ 1 '| TJ 1 | QJ ''| TJ ossia | QJ 1 '| | QJ ''| TJ 1 TJ Lj percio’ e’ possibile moltiplicare per QJ '' e |Q2’| T2 |Q3’| |Qj’’| Tj+1 dividendo la | Q ''| J TJ per Tj+1 si ha | QJ 1 '| TJ 1 | QJ ''| T3 |Qj+1’| TN-1 |QN-1’’| LN-1 senza dover modificare il verso della disuguaglianza |Q2’’| L2 dividere per Tj+1 entrambi i membri della disuguaglianza TJ 1 |Q1’’| Tj Tj+1 > 0 inoltre QJ '' e’ positivo per definizione | QJ 1 '| T1 1 TJ |QN’| TN eseguendo la moltiplicazione per QJ '' si ottiene ossia | QJ ''| | QJ 1 '| TJ TJ 1 | QJ 1 '| TJ 1 | QJ ''| TJ | QJ ''| | QJ 1 '| 0 TJ TJ 1 QJ '' e’ il calore assorbito quindi e’ positivo per definizione percio’ QJ '' QJ '' QJ 1 ' e’ il calore ceduto quindi e’ negativo per definizione percio’ QJ 1 ' QJ 1 ' eliminando i moduli si ottiene QJ '' QJ 1 ' 0 TJ TJ 1 dove vale il segno = per le trasformazioni cicliche reversibili il segno per le trasformazioni cicliche irreversibili < T1 T1 T1 |Q1’’| L1 Q1 Q1’’ |Q2’| Q2 ' Q2 '' |Q2’’| L2 T2 T2 T2 |Q3’| L = L + L + ...L 1 2 N-1 Q3 ' Q3 '' T3 T3 Q2 Q3 L QN-1 QN 1 ' QN 1 '' TN-1 TN-1 QN’ |QN-1’’| LN-1 |QN’| TN QJ '' QJ 1 ' 0 TJ TJ 1 QN L L1 L2 ... LN 1 TN T3 Q1 Q1 '' Q2 Q2 ' Q2 '' QN 1 QN 1 ' QN 1 '' QN QN ' TN-1 TN Q1 '' Q2 ' T T 0 2 1 Q2 '' Q3 ' 0 sommando tutte le disuguaglianze T3 T2 ........................ QN 1 '' QN ' 0 T TN N 1 QJ '' QJ 1 ' 0 TJ TJ 1 Q '' Q ' Q1 '' Q2 ' Q2 '' Q3 ' ... N 1 N 0 T1 T2 T2 T3 TN 1 TN N ne discende che QJ T J 1 J Q1 Q1 '' poiche’ Q2 Q2 ' Q2 '' ................. QN 1 QN 1 ' QN 1 '' QN QN ' 0 dQ 0 T Trasf Ciclica Teorema di Clausius dQ T 0 dove il segno di eguaglianza vale per le trasformazioni cicliche reversibili e quello di minoranza per le trasformazioni cicliche irreversibili conseguenze del teorema di Clausius: dQ data una trasformazione ciclica reversibile si ha che T 0 ossia che Rev l’integrale della grandezza dQ/T calcolato lungo una trasformazione ciclica, o, in altri termini, lungo un percorso chiuso nei diagrammi di Clapeyron, non dipende dalle trasformazioni effettuate in ogni trasformazione ciclica è soddisfatta la relazione in analogia alla meccanica dove il fatto che la circuitazione di un campo vettoriale fosse nulla implicava l’esistenza di una funzione scalare delle sole posizioni iniziali e finali ma non del percorso in termodinamica possiamo postulare che dQ 0 implichi l’esistenza di una funzione che non dipende la relazione T Rev dalle trasformazioni termodinamiche effettuate ma solo dalle coordinate termodinamiche iniziali e finali ossia di una nuova “funzione di stato” Xf dunque Xi Rev dQ S (Xf ) S (Xi ) T la funzione S e’ detta entropia quindi oltre alla funzione di stato energia interna esiste una seconda funzione delle sole coordinate termodinamiche e quindi una seconda funzione di stato l’ entropia in un generico stato del sistema non sappiamo quanto vale tale funzione tuttavia sappiamo calcolare la variazione che questa funzione subisce tra due stati per calcolare tale variazione dobbiamo semplicemente calcolare l’integrale Xf Xi Rev dQ T lungo una qualunque trasformazione reversibile che connetta i due stati l’energia interna permetteva di calcolare le variazioni dell’ energia contenuta nel sistema termodinamico si tratta ora di individuare il significato fisico di questa nuova funzione di stato denominata entropia