Geometria descrittiva dinamica
Con questo learning object si vuole studiare e definire la
legge geometrico-descrittiva relativa alla condizione di
appartenenza tra la retta ed il piano e la reciproca
relazione di contenenza o inclusione.
L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la
procedura impositiva.
Al termine dell’analisi si definisce un quadro sintetico di
riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli
grafici che quelli concettuali.
La presentazione si conclude e completa con alcune
esemplificazioni grafiche riferite ai quattro diedri e con la
proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di
elaborati grafici
Per approfondimenti consultare il sito
http://www.webalice.it/eliofragassi
Geometria descrittiva dinamica
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
LA CONDIZIONE DI
APPARTENENZA E
BIUNIVOCA RELAZIONE
DI CONTENENZA O
INCLUSIONE
TRA
RETTA E PIANO
L’elaborato grafico della copertina è stato eseguito
nell’a. s. 2008/09 da
Laguardia Elisa della classe 3°C
del Liceo Artistico Statale “G.Misticoni” di Pescara
per la materia : “Discipline grafico-geometriche”
La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci
Il materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (1)
Indagine esplicativa e deduttiva
Prendiamo, ora, in considerazione gli elementi geometrici
retta e piano definendone le relative leggi di appartenenza r
e/o contenenza, sintetizzate dall'espressione seguente:
aa  r
I due elementi geometrici, riguardati singolarmente, li rappresentiamo come di seguito
(Fig.13, Fig.14). Queste due rappresentazioni hanno in comune un solo elemento: la lt - si
ricorda che la lt è costituita dal luogo geometrico dei punti uniti- per cui è possibile
immaginare di traslare la rappresentazione di r sulla rappresentazione di a, e viceversa,
facendo in modo che la lt della retta r coincida, sempre, con la lt del piano a
Poiché dobbiamo stabilire, con l’operazione di cui sopra, le leggi geometricorappresentative tra elementi diversi, è necessario, anzitutto, esaminare e valutare le
caratteristiche geometriche e fisiche degli elementi rappresentativi da prendere in esame,
sapendo che gli stessi, per essere confrontabili devono caratterizzarsi della stessa natura
fisica.
Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (2)
Indagine esplicativa e deduttiva
In questo caso prendiamo in considerazione elementi geometrici fisicamente
uguali, cioè le tracce della retta T1r e T2r che sono punti fisicamente reali, e le
tracce del piano t1a e t2a che sono rette reali.
Perché si possa asserire che r a e ricordando che il piano può essere, per
sua natura, “rigato” (costituito cioè da una retta che si sposta parallelamente a
se stessa secondo una direzione prefissata), e contemporaneamente
“punteggiato” (la retta che si muove è, a sua volta, determinata da un punto in
moto orientato), possiamo sintetizzare il concetto con la seguente formula
P  W  !r 
 P
 

|P  r

r  W  ! 
Ricordando, inoltre, che le tracce t del piano
sono rette reali e le tracce T della retta sono
punti reali (vedi quadro sinottico iniziale della
Tabella –A-), allora si può stabilire che:
dove la retta r è quella retta che muovendosi
parallelamente a se stessa genera il piano a
 r
 

t1a 
 |r 
 

-
a=
t2a 
 

-
T 
1r
T 
2r
Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (3)
Indagine esplicativa e deduttiva
Perciò è necessario verificare che le tracce della retta r:T1r e T2r appartengano agli insiemi
delle sommatorie e, quindi siano punti che determinano le tracce del piano a (t1 a ; t2 a)
Allora, traslando e sovrapponendo le due rappresentazioni di figg.13 e 14, può accadere che
si presenti la graficizzazione della fig.15 e della fig.16.
In questo caso il rapporto descrittivo tra gli elementi geometrici si caratterizza come di
seguito:
t1a  T1r
mentre
t2a  T2r
quindi, mentre T2r sta su t2 a , viceversa, T1r non sta su t1 a
Pertanto, mentre T2r è un punto dell’insieme sommatoria,
non possiamo dire la stessa cosa per T1r che non risulta
essere un punto della sommatoria. Da ciò si può dedurre,
facilmente, che r  a e quindi la retta r non è una retta
del piano a perché non gli appartiene e, viceversa, il piano
non contiene la retta r, cioè, in forma sintetica ar
La formalizzazione
sintetica si esplicita come
di seguito.
r aa r
Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (4)
Indagine esplicativa e deduttiva
Continuando a traslare i due elementi, e fermo
restando la coincidenza tra la lt della retta r e la
lt del piano, può accadere che si presenti la
seguente situazione grafica (Fig.17, Fig. 18).
In questa ipotesi grafica si presenta la seguente
descrizione descrittiva.
t1a 

-
a=
t2a 
Pertanto, mentre T1r è un punto della
sommatoria su 1, non può dirsi la stessa cosa
per il punto T2r che non risulta essere un punto
della sommatoria su 2. Da quanto sopra
possiamo, facilmente, dedurre che ra cioè
che la retta r non appartiene al piano dato a .
 
 

- 
T 
1r
T 
2r
Esplicitando si ha
che: T1r sta su t1a
e quindi
reciprocamente
t1aT1r ,
ma T2r non sta su
t2a per cui si ha
che t2aT2r.
L’espressione sintetica si esplicita
come di seguito.
r aa r
Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (5)
Indagine esplicativa e deduttiva
Tra le infinite reciproche posizioni di a e di r può accadere che si presentino, anche,
graficizzazioni simili a quelle delle seguenti fig. 19 e fig. 20.
In questo caso si riscontra che la traccia T1r della
retta sta sulla traccia t1a del piano quindi,
reciprocamente t1a  T1r
così come T2r sta su t2a e quindi,
reciprocamente t2a  T2r.
Allora accade che T1r è un punto dell’insieme della
sommatoria che genera t1a come T2r è un punto
dell’insieme della sommatoria che genera t2a.
Pertanto le due tracce della retta r, T1r e T2r - che
sono punti reali- appartengono rispettivamente alle
due rette reali t1a e t2a che rappresentano le tracce
del piano a .
L’espressione sintetica si esplicita come di seguito.
r  a  a  r
Sintetizzando, poiché le due tracce del piano contengonole corrispondenti due tracce della
retta, possiamo asserire la seguente legge esplicativa di appartenenza tra retta e piano.
Se le tracce di una retta appartengono alle rispettive omonime tracce di
un piano allora, e solo allora, la retta appartiene al piano.
Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (6)
Indagine esplicativa e deduttiva
Quindi possiamo sintetizzare la seguente legge descrittiva di appartenenza di una retta ad
un piano,che, esplicitandola negli elementi geometrico-descrittivi assume la seguente forma
T1r t1a
dove
T1r = r1
ra
T2r  t2a
t1a 
r  W  ! 
dove
dove
T2r = r2
 


T 
1r
 r  | r  
 

t2a 
2
 


T 
2r
Il criterio reciproco della contenenza o inclusione si esprime, mediante la simbologia
specifica, nel modo seguente.
t1aT1r
dove
t1a 
 


T 
ar
t2aT2r
T1r = r1
1r
dove
dove
t2a 
 


T 
2r
 
 r  |   r
 

T2r= r2
mentre la definizione si enuncia come di seguito.
Se le tracce di un piano contengono le rispettive omonime tracce di una
retta allora, e solo allora, il piano conterrà la retta.
Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (1)
Procedura applicativa o impositiva
Se la condizione deve essere imposta, durante la fase esecutiva di un
elaborato grafico; dati gli elementi geometrici è necessario sviluppare le
operazioni in modo tale che si verifichino le graficizzazioni di cui si è
discusso sopra.
Per questo, data una retta r rappresentata mediante le sue tracce T1r e
T2r; se si vuole che la retta ra dovranno costruirsi le relazioni T1rt1a e
T2rt2a in quanto è necessario imporre che le tracce della retta siano
elementi delle espressioni che descrivono le tracce del piano.
Se il dato iniziale è, invece, un piano rappresentato mediante t1a e t2a e
si vuole che esso contenga una retta r, è necessario imporre che le
tracce della retta siano elementi delle espressioni che descrivono le
tracce del piano.
Poiché per una retta passano infiniti piani, infinite saranno le tracce dei
piani passanti per le tracce della retta.
Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (2)
Procedura applicativa o impositiva
La formalizzazione applicativa o impositiva può essere espressa come di seguito.
T1r t1a
ra
T2r  t2a
dove
T1r = r1
dove
r  W  ! 
dove
t1a 
 


T 
1r
 r  | r  
 

T2r = r2
2
t2a 
 


T 
2r
Mentre la reciproca legge di contenenza o inclusione può essere espressa dalla
formalizzazione che segue.
t1aT1r
ar
t2a T2r
dove
t1a 
dove
 
dove
t2a 
 


T 
1r
T1r = r1
 r  |   r
 

 


T 
2r
T2r= r2
Queste due formalizzazioni applicative possono essere recitate come di seguito
Appartenenza e/o contenenza tra retta e piano (3)
Procedura applicativa o impositiva
Per quanto attiene la condizione di appartenenza si ha la seguente definizione
verbale.
Una retta appartiene ad un piano se, e solo se, le
tracce della retta appartengono alle omonime tracce del
piano.
ra
(T1r t1a ; T2r  t2a)
Mentre, per la reciproca legge dell’inclusione o contenenza si può enunciare la
seguente definizione.
Un piano contiene una retta se, e solo se, le tracce del
piano contengono le rispettive omonime tracce della
retta.
ar
(t1aT1r ; t2a T2r)
Quadro sintetico della condizione di appartenenza e di contenenza o
inclusione tra retta e piano
Piano
Retta
r
Definizione fisica
dell’elemento
rappresentativo
Definizione
geometrica
dell’elemento
rappresentativo
Nomenclatura
elemento
rappresentativo
Didascalia elemento
rappresentativo
Didascalia elemento
Elemento geometrico
Caratteristiche degli elementi geometrici
T1r
1a
traccia
punto
reale
T2r
2a traccia
punto
reale
r’
1a immagine o
1a proiezione
retta
virtuale
r”
2a immagine o
2a proiezione
retta
virtuale
t1
Appartenenza tra retta e piano
Definizioni grafica e
descrittiva degli elementi
geometrici
r'' 
 

-
retta
2a traccia
o traccia 2
retta
reale
APPARTENENZA
T1rt1a
ra
r' 
 

-
1a traccia
o traccia 1
 P'' | P''  r''
Relazione
insiemistica
delle leggi
dell’appartenenza
o della inclusione
T2rt2a
 P' | P'  r'
t2a 
 

-
T 
2r
CONTENENZA
O
INCLUSIONE
t1aT1r

t2
reale
t1a 
 

-
T 
1r
ar
t2aT2r
Esemplificazioni grafiche nei quattro diedri
I disegni che seguono rappresentano alcune esemplificazioni grafiche delle
condizioni di appartenenza e/o contenenza nei diversi diedri tra retta e piano, di
diversa tipologia geometrica e differente collocazione fisica nello spazio
(Fig. 21; Fig. 22; Fig. 23; Fig. 24).
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza
tra retta e piano (1)
risoluzione
T2b
T2r
b”
a”
s”
r”
r’
s’
T1s
b’
a’
T1a
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza
tra retta e piano (2)
risoluzione
t2b
t1a
t2a
T2r
T1r
t1b
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza
tra retta e piano (3)
risoluzione
t1a
t1a
t2a
t2a
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza o contenenza
tra retta e piano (4)
risoluzione
T2r
P”
r”
C”
r”
Q”
s”
A”
r’
T1r
T2r
r’
T2s
B”
s’
T1s
T1r
Temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici
Dati il punto A(A’=3; A”=3) e la traccia T2a=4, definire e rappresentare prima la retta aA , poi
il piano ba.
Dati i punti X(X’=4; X”=-4); Y(Y’=2; Y”=-2), definire e rappresentare il piano a(X,Y).
Data la retta a(T1a=-3; T2a=), definire e rappresentare un piano aa
Data la retta b(T1b=-4; T2b=4), definire e rappresentare un piano bb.
Dato il piano a(1+ 2+), definire e rappresentare le rette (a, b)a
Dato il piano b(1+ 2-), definire e rappresentare le rette (x, y)
Dato il piano (1+ 2+  lt), definire e rappresentare le rette (l, m)
Dato il piano (1+ 2+), definire e rappresentare le retti (o, p)
Definire e rappresentare una retta generica nel ID ed un fascio di tre piani che la contengono.
Definire e rappresentare una retta di profilo nel IIID ed una coppia di piani che la contengono.
Definire e rappresentare un piano generico parallelo alla lt nel ID a cui appartengono due rette
incidenti.
Definire e rappresentare un piano generico nel IID a cui appartengono un fascio di tre rette.
Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può
consultare il seguente sito
http://www.webalice.it/eliofragassi