Geometria descrittiva dinamica
Con questo learning object si vuole studiare e definire la
legge geometrico-descrittiva relativa alla condizione di
appartenenza tra il PUNTO ed il PIANO e la reciproca
relazione di contenenza o inclusione.
L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la
procedura impositiva.
Al termine dell’analisi si definisce un quadro sintetico di
riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli
grafici che quelli concettuali.
La presentazione si conclude e completa con alcune
esemplificazioni grafiche riferite ai quattro diedri e con la
proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di
elaborati grafici
Per approfondimenti consultare il sito
http://www.webalice.it/eliofragassi
Geometria descrittiva dinamica
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
LA CONDIZIONE DI
APPARTENENZA E BIUNIVOCA
RELAZIONE
DI CONTENENZA O INCLUSIONE
TRA
PUNTO E PIANO
L’elaborato grafico della copertina è stato eseguito nell’a. s.
1989/90 da
Maggio Pamela della classe 2°B
dell’Istituto Statale d’Arte “ G. Mazara” di Sulmona
per la materia : “Disegno geometrico”
La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci
Il materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (1)
Indagine esplicativa e deduttiva
Nel terzo caso prendiamo in considerazione il punto P
ed il piano a per stabilire le leggi specifiche
dell'appartenenza e/o della contenenza tra i due
elementi, come sintetizzato dalla seguente espressione.
Pa  aP
I due elementi, singolarmente e nei vari
diedri, sono rappresentati
descrittivamente come di seguito (Fig.25,
Fig.26).
Come evidenziato nel quadro sintetico
(Tabella- A- della lezione di presentazione)
del paragrafo iniziale, queste due entità
geometriche, così rappresentate, sono
prive di elementi geometricorappresentativi aventi le stesse proprietà
geometriche e le stesse caratteristiche
fisiche, quindi non sono suscettibili di
sostenere confronti e considerazioni per la
ricerca di legami logici e leggi descrittive
di appartenenza e/o contenenza.
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (2)
Indagine esplicativa e deduttiva
Infatti, mentre il punto P si
rappresenta, descrittivamente,
mediante le proiezioni che si
caratterizzano, dal punto di vista
geometrico, come due punti P' e P''
che assumono l'aspetto di due punti
P’
P
P’’
virtuali
il piano a si rappresenta mediante
le tracce che sono due rette reali,
t1a e t2a .
Esse si caratterizzano per essere
costituite dalla sommatoria
dell’insieme delle tracce della retta
generatrice che sono punti; ma punti
reali, tanto che si ha:
Il punto ed i suoi
elementi
rappresentativi
t1a 
 

-
a
t2a 
 

- 
T 
1r
T 
Il piano ed i
suoi elementi
rappresentativi
2r
Pertanto le due rappresentazioni ortogonali, essendo diverse sia negli elementi
geometrico-rappresentativi che nelle specifiche caratteristiche fisiche, non si
prestano per eventuali discussioni di ricerca di legami e leggi specifiche.
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (3)
Indagine esplicativa e deduttiva
A questo punto è necessario ricordare che la retta r (retta punteggiata), date le
sue caratteristiche geometrico-rappresentative, si presta a fare da elemento di
collegamento, di congiunzione e connettivo tra gli altri due elementi geometrici:
il punto P ed il piano a .
Essa infatti viene rappresentata mediante quattro elementi: due tracce
T2r
T1r,
e due proiezioni r’, r’’ che ci danno la possibilità di legare tra loro i due
elementi in discussione che, altrimenti, resterebbero distinti e non confrontabili.
Quindi nelle operazioni di ricerca e/o imposizione delle leggi di appartenenza
e/o contenenza (/) tra un punto ed un piano è necessario prendere in
considerazione tutti e tre gli elementi geometrici.
Inoltre è bene ricordare – nuovamente- che il piano
può essere riguardato sia come superficie rigata,
espressa dalla seguente simbologia descrittiva:

dalla seguente simbologia descrittiva

- 
che come
superficie punteggiata, espressa

 
+  + 
π =
 
-
-
r 
P 
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (4)
Indagine esplicativa e deduttiva
Analizziamo ora alcune possibili situazioni grafiche che possono facilmente indurre in
errore (Fig.27, Fig.28, Fig.29, Fig. 30).
Nei casi di
queste figure
possiamo
affermare che
P  a
in quanto la condizione di appartenenza è solo
apparente, non potendosi stabilire alcun
termine di paragone e di discussione
descrittiva tra il punto P rappresentato dalle
due proiezioni P’ e P’’ che sono - dal punto di
vista geometrico-descrittivo- due punti
virtuali, ed il piano che, al contrario, è
rappresentato dalle due tracce t1a e t2a che,
come tali, sono due rette reali in quanto
costituite dall’insieme della sommatoria delle
tracce delle rette
di punti reali.
(t =  T)
e quindi
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (5)
Indagine esplicativa e deduttiva
Riscontrato quanto di sopra si possono avere le situazioni grafiche come quelle
esemplificate di seguito dalla fig.31 e dalla fig. 32.
Analizziamo, ora, queste due situazioni grafiche.
In questo caso accade che il punto Pr in
quanto si verifica P’r’ ed anche P’’r’’, ma
la retta ra in quanto T2rt2a ma non
verifica, contemporaneamente traccia
L’espressione sintetica si esplicita
come di seguito
prima dato che T1rt1a.
Pertanto in questa situazione siamo in
presenza di un legame descrittivo parziale,
tra i tre elementi geometrici, per cui non si
verifica totalmente il concetto espresso
nella trattazione di questo argomento.
Data questa incompletezza di legami
possiamo affermare, quindi, che il punto
non appartiene al piano, cioè, in forma
insiemistica:
Pa.
P  r  a  P  a
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (6)
Indagine esplicativa e deduttiva
Le considerazioni di cui sopra possono essere sviluppate e confermate anche per
i casi reciproci illustrati, graficamente, nelle rappresentazioni ortogonali come
alle figure di seguito (Fig. 33, Fig. 34).
Infatti, in questo caso possiamo affermare che
per quanto riguarda il punto P si ha
Pa
(P’a’ ; P”a”)
per quanto riguarda la retta a si ha
aa
(T1at1a; T2at2a)
e pertanto la  
 

- 
 r  resta incompleta e non verificata
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (7)
Indagine esplicativa e deduttiva
Oppure può accadere che si verifichi la situazione grafica di cui si discute in
seguito con riferimento alla fig. 35 ed alla fig.36.
In questo caso avviene che:
per quanto riguarda la retta r a si ha
ra
(T1rt1a; T2r t2a)
per quanto riguarda il punto P si ha
Pr
(P’a’ ; P”  a”)
In questo caso, quindi, il legame tra il punto P ed il piano a è incompleto
tanto da poter affermare che Pa perché accade che P r a
In questa posizione si verifica solamente l'appartenenza tra due dei tre
elementi e quindi siamo in presenza di un legame incompleto che non verifica il
concetto teorico espresso all'inizio della trattazione di questo argomento.
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (8)
Indagine esplicativa e deduttiva
E' solo il caso di accennare che le considerazioni sopra esposte valgono anche nel
caso in cui fosse P'
r' e P‘’ r'',
come graficizzato nelle figg. 37 e 38.
In questo caso resterebbe, comunque, non dimostrato il legame di tutti e tre
gli elementi geometrici
espressi dalla formalizzazione sia del piano rigato

che dalla formalizzazione del piano punteggiato
π =

 

- 
r 
 P 
+  + 

-
-
necessari per la verifica e la costruzione grafica delle leggi di appartenenza tra
un punto P ed un piano
a
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (9)
Indagine esplicativa e deduttiva
Infine, può verificarsi che i tre elementi geometrici si articolino graficamente
come nelle figure di seguito (Fig. 39, Fig. 40)
In questo caso accade che Pr ed anche che
ra in quanto le coppie degli elementi
menzionati verificano, singolarmente, le
rispettive specifiche leggi di appartenenza e la
retta r funge da elemento geometrico di
legame tra il punto P ed il piano a, in quanto
mentre sulle sue proiezioni r' ed r'' si trovano
le rispettive proiezioni P' e P'' del punto, le
sue tracce T1r e T2r stanno sulle tracce del
piano t1a e t2a verificando completamente le
+  + 
 
due espressioni
π =
P
 
r

- 
L’espressione sintetica viene formulata così:
 
 
-
-
 
P  r  a  P  a
Allora possiamo dedurre ed enunciare la seguente legge di appartenenza tra punto e piano
Se un punto appartiene ad una retta di un piano allora, e solo allora,
si può asserire che il punto appartiene al piano
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (10)
Indagine esplicativa e deduttiva
Questo enunciato può essere sintetizzato, sia nella formalizzazione insiemistica
che descrittiva, con l’uso della simbologia specifica come di seguito.
P’ r’
 P ' 
 
r' 
-
dove
P r
r'' 
 

-
P” r”
=r  
T1rT=r
1
1r
P r  a
dove
T1rt1a
t1a 
1
 

-
T 
1r
=r 
T2rT=r
2
r  a
T2rt2a
P ''
2r
dove
t2a 
2
 

-
T 
2r
La reciproca legge della contenenza o inclusione di un punto in un piano può essere
espressa, con l’utilizzo della stessa nomenclatura e della stessa simbologia,
mediante la formalizzazione esplicitata nella seguente diapositiva
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (11)
Indagine esplicativa e deduttiva
Inoltre, generalizzando,la stessa può essere espressa mediante la seguente enunciazione
Se un piano contiene una retta che a sua volta contiene un punto allora, e
solo allora, il piano contiene il punto
Questo enunciato può sintetizzarsi, sia nella formalizzazione insiemistica che descrittiva e
con l’uso della simbologia specifica come di seguito
T1r=r 1
t1a  T1r
dove
ar
t1a 
 

-
t2a  T2r
arP
r’ P’
Tutto quanto sopra è inerente l’aspetto esplicativo
e deduttivo della legge oggetto della trattazione
1r
=r  
T2rT=r
2
1r
dove
r  P
r”  P”
T 
t2a 
1
 

-
T 
 P '
r''   P '' 
T2r 
= 
r  2
r' 
dove
2r

-
 
-
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (1)
Procedura applicativa o impositiva
Se la condizione deve essere imposta, dati gli elementi geometrici, è necessario
sviluppare una serie di operazioni, tali che si possa verificare, in fase esplicativa,
quanto si è discusso sopra ed in particolare si verifichino le definizioni
descrittive  
 

- 
r 
+  + 
e π =
 
-
-
P 
Per questo, dato un punto, se si vuole che appartenga ad un piano è necessario
che esso sia un punto del piano punteggiato espresso dalla π =
piano rigato espresso dalla  
 

- 
r 
+  + 
 
-
-
P 
o un
Se il dato iniziale è un piano e si vuole che esso contenga un punto è necessario
imporre che il punto sia un punto del piano punteggiato espresso da π =
o un piano rigato espresso dalla  
 

- 
r 
+ +
 
-
Poiché per un punto passano infiniti piani (stella di piani) infinite saranno le
possibilità di legare gli elementi punto e piano
-
P 
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (2)
Procedura applicativa o impositiva
La formalizzazione applicativa della condizione oggetto di studio, allora, può
essere espressa come di seguito.

r' 
P’ r’
P’’  r’’
 
-
dove
 

r'' 
-
P  a
 P' 
 P'' 
P  r  a
=r  
T1rT =r
1
1r
T1r  t1a
dove
t1a 
1
 

-
T 
1r
=r 
T2rT =r
2
2r
T2r  t2a
dove
t2a 
2
 

- 
T 
La reciproca legge impositiva della condizione di contenenza o inclusione può
essere espressa dalla formalizzazione seguente.
2r
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (3)
Procedura applicativa o impositiva
=r  
T1rT=r
1
1r
t1a  T1r
dove
1
 

t1a 
-
T 
1r
=r 
T2rT=r
 2
2r
t2a  T2r
aP
dove
t2a 
arP
r' 
r’  P’
 

- 
 

-
dove
r” P”
2
r'' 
 

-
T 
2r
 P' 
 P'' 
Queste due formalizzazioni applicative o impositive possono essere
enunciate come di seguito
Appartenenza e/o contenenza tra punto e piano (4)
Procedura applicativa o impositiva
Per quanto attiene la condizione di appartenenza si può esprimere la
seguente definizione
Un punto appartiene ad un piano se, e solo se, il punto
appartiene ad una retta del piano
(P  a)
(P  r  a)
Mentre, reciprocamente, per quanto attiene la legge della contenenza o
inclusione si può esprimere la seguente definizione.
Un piano contiene un punto se, e solo se, il piano contiene
una retta che contiene il punto
(a  P)
(a  r  P)
Quadro sintetico della condizione di appartenenza e di contenenza o
inclusione tra punto e piano
Appartenenza tra punto e piano
Nomenclatura
elemento
rappresentativo
P’
1a immagine o
1a proiezione
punto
P”
2a immagine o
2a proiezione
punto virtuale
r’
1a immagine o
1a proiezione
retta
virtuale
r”
2a immagine o
2a proiezione
retta
virtuale
t1
retta
t2
2a traccia o
traccia 2
retta
reale
reale
T2rt2a
CONTENENZA / INCLUSIONE
r' 
 

-
1a traccia o
traccia 1
P”r”
reale
 P'' | P''  r''
 P' | P'  r'
t2a 
t1a 
 

-
 

-
T 
2r
T 
1r
r” P”
punto
-
t2a  T2r
T2r 2a traccia

P’ r’
reale
 
Pra
punto
r'' 
Pa
traccia
T1rt1a
virtuale
r’ P’

APPARTENENZA
t1a  T1r
r
Relazione insiemistica
delle leggi
dell’appartenenza o
della inclusione
Definizioni grafica e descrittiva degli
elementi geometrici
arP
Piano
Retta
T1r
1a
Definizione
Definizione
fisica
geometrica
dell’elemento
dell’elemento
rappresentativo rappresentativo
aP
Didascalia
elemento
P
Didascalia
elemento
rappresentativo
Punto
Elemento
geometrico
Caratteristiche degli elementi geometrici
Esemplificazioni grafiche nei quattro diedri
Seguono alcune esemplificazioni grafiche delle condizioni di appartenenza e/o
contenenza nei diversi diedri tra punti e piani di diversa tipologia geometrica e
collocazione grafica nello spazio (Fig.41, Fig.42, Fig.43, Fig.44).
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza
tra punto e piano (1)
risoluzione
t2a
r”
t2a
Y”
r”
T1r
T2r
X’
r’
t1a
r’
t1a
T1r
T2r
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza
tra punto e piano (2)
risoluzione
Y”
r”
T2r
s”
T2s
Y”
s’
s’
T2s
r”
X’
T1s
T2r
X’
T1r
r’
T1s
r’
T1r
s”
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza
tra punto e piano (3)
risoluzione
T2r
r’
r”

 s’
A”
T1s
A’
r”
B”
B’
T2s
T2r
s”
T1r
r’
T1s
s”
T2s
T1r
s’
Esercitazioni grafiche sulla condizione di appartenenza e contenenza
tra punto e piano (4)
risoluzione

T2b
T2b
t2a
b”
t2a
a”
b”
T2a
b’
a’
a”
T2a
a’
t1a
T1b
T1a
t1a
T1b

T1a
b’
Temi scritti da volgere e sviluppare sotto forma di elaborati grafici
Dato il punto A(A’=3; A’’=3) definire e rappresentare un piano a  A
Dato il punto B(B’=-4;B’’= 4) definire e rappresentare una stella di tre piani tali
che (a, ,  ) B
Dati i punti A(A’=1; A’’=2); B(B’=2; B’’=4) C(C’=3; C’’=5) definire e rappresentare il
piano a  (A,B,C)
Dati i punti X(x’=1; X’’=5); Y(y’=-1; Y’’=5); Z(Z’=-3; Z’’=-4) definire e rappresentare
il piano   (X,Y,Z).
Dato un piano a (1+; 2+), definire e rappresentare (A,B)  a
Dato un piano a (1-; 2+;  lt), definire e rappresentare un segmento  a
Dato il piano (1-; 2+) definire e rappresentare il segmento  
Dato il piano (1+; 2+), definire e rappresentare due punti (A,B)  
Definire e rappresentare un punto AW ID tale che sia A  a
Definire e rappresentare un punto BW IVD tale che sia B  
Definire e rappresentare un piano generico nel IIID contenente due punti
distinti, estremi di un segmento EF appartenente al piano stesso
Definire e rappresentare una stella di tre piani avente come sostegno un punto
XW ID
Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può
consultare il seguente sito
http://www.webalice.it/eliofragassi