Fisica Terrestre Parte IV
Gravità e Gravimetria
A. Caporali
Dipartimento di Geologia, Paleontologia e Geofisica
Università di Padova
Potenziale gravitazionale
Forza gravitazionale tra due masse puntiformi a
una distanza r:
Gm m
F 
1
3
r
2
r 12
w
Potenziale gravitazionale di una massa
puntiforme posta nell’origine ovvero di una
sfera omogenea di massa m, a una distanza r:
Gm
U 
r
Potenziale di una sfera ruotante intorno ad un
asse con velocità angolare w: occorre
considerare anche il potenziale centrifugo
Gm w 2 r 2 cos 2 
U 

r
2
y
x
Equipotenziale di una sfera
ruotante
Equipotenziale = luogo dei punti di coordinate
r, f, tali che U(r, f)=U0=costante
La figura di equilibrio di una massa fluida è
una equipotenziale detta ‘sferoide’
Gravità dello sferoide
t


  U

U
Gm
  2  w 2 r cos 2 
r
r
U
t  
 w 2 r 2 sin 2
r
 
Lo sferoide terrestre
Gm w 2 r 2 cos 2 
U 

r
2
Gm  w 2 r 3 cos 2  
Gm  w 2 r 3 w 2 r 3 sin 2  
1 
  
1 
  a(1  f sin 2  )
r ( )  

U0 
2Gm 
U 0  2Gm
2Gm 
3
2 3
Gm  w 2 r 
w
r
1 
; f 
a
 1


U 0  2Gm 
2Gm
a
La sezione della equipotenziale U0=cost è una ellisse:
r (f )  a(1  f sin 2 f )
1/f = 298.257; a = 6378137 m sono i valori convenzionali (WGS84)
Valori numerici nel potenziale
terrestre
grandezza
simbolo
Valore
Raggio equatoriale
a
6378137 +/- 2 m
appiattimento
f
1/298.257
Velocità angolare
w
7292115*10-11 rad/sec
Massa gravitazionale
Terrestre
Gm
3986005 * 108m3/sec2
Conseguenze osservabili dello
23.5°
schiacciamento terrestre
Precessione degli equinozi: periodo 26000 anni, ampiezza 23.5° (obliquità
dell’eclittica rispetto all’equatore
eclittica
Precessione della linea nodale dell’orbita di un satellite (inclusa la luna):
Ampiezza: è uguale all’inclinazione dell’orbita sull’equatore; periodo
dipende dal raggio orbitale
Precessione Euleriana: moto geografico dell’asse di rotazione rispetto all’asse z
di massimo momento di inerzia: ampiezza circa 15 metri; periodo osservato 430 gg.
Richiede che l’asse istantaneo di rotazione e l’asse di massimo momento di inerzia
formino un angolo non nullo
Gravità e Anomalie orizzontali e
verticali  (r,f )  U
Gravità normale: campo gravitazionale dello sferoide
(viene calcolata in ogni punto con una espressione adottata convenzionalmente (IGSN71)
g (r, f ,  )  W
Gravità terrestre: campo gravitazionale effettivo della Terra
( Gravità osservata: può essere pensata come il gradiente di un potenziale W)
Anomalia di gravità: differenza tra gravità terrestre e gravità normale
g  g  
Deviazione della verticale: componenti orizzontali (est e nord) della anomalia di gravità.
Misurano la pendenza del geoide (W0=cost) rispetto allo sferoide di riferimento (U0=cost)
Anomalia gravitazionale: componente dell’anomalia lungo la normale allo sferoide
g  g 


Formule per la gravità normale e
anomalie su grande scala
=9.78031846(1+0.005278895sin2f+0.000023462 sin4f), ove f è la latitudine del punto
sull’ellissoide
Riduzione delle anomalie
gravimetriche in superficie
La definizione di anomalia gravimetrica assume che la g sia misurata sul geoide. In pratica la misura viene
invece fatta sulla superficie topografica, che può avere una separazione dal geoide anche di migliaia di
metri.
Si rende necessario pertanto riportare una misura di g ad altezza topografica qualsiasi al valore che
avrebbe se fatta sulla superficie del geoide.
La prima correzioni da apportare è quella ‘di aria libera’: detta H la quota della stazione, per H>0 la
gravità misurata viene aumentata di 2/r per un abbassamento di un metro.
Molla a
riposo
Molla
allungata
H
geoide
N
2/r~2x9.8/6378000
=0.3 * 10-5 1/s2
= 0.3 mGal/m
sferoide
Ove 1 mGal= 10-5 m/s2
Anomalia di Bouguer (1/2)
La gravità misurata a un’altezza h differisce da quella misurata sullo sferoide oltre che per l’effetto della
quota, anche dal campo gravitazionale prodotta dalla massa compresa tra il punto stazione e punto sullo
sferoide. Il campo prodotto da una piastra di densità r= cost e di spessore h viene calcolato usando il
teorema di Gauss, che stabilisce che il flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie chiusa è
proporzionale alla quantità di massa all’interno della superficie.
 g  d   4G rdV
d
g
r
G=6.67*10-11 m3kg-1s2 Costante di gravitazione
Ad es per una massa puntiforme M che crea un campo radiale g costante su una sfera di raggio r centrata
nella massa si ritrova il noto risultato:
 g  d   4r
2
g ; 4G  rdV  4GM
 GM
g
r2
Nel caso di una lastra infinita di densità r e spessore h abbiamo analogamente:
 g  d   2 Ag;
4G  rdV  4GrAh  g  2Grh
Anomalia di Bouguer (2/2)
L’integrale di superficie è esteso alla superficie di un cilindro: solo gli
integrali sulle due basi contribuiscono, e lo fanno in modo in modo
uguale, per simmetria. L’integrale sulla superficie curva è nullo perché g e
l’elemento di area d sono ortogonali.
L’integrale di volume è il prodotto della densità per la porzione di strato di
materia intercettato dalla superficie cilindrica.
In definitiva, l’accelerazione prodotta da una lastra è
d
g
r
g  2Grh  6.28 * 6.67 *10 11 * 2670 * h
 0.11 * h mGal
Ove h è espresso in metri e si è assunta una densità media della crosta
2670 kg/m3
Per riportare allo sferoide la gravità misurata sulla superficie topografica,
che si assume pianeggiante, dobbiamo aumentare, per ogni metro di
quota, di 0.3 mGal (aria libera), e diminuire di 0.11 mGal (piastra di
Bouguer), in definitiva aumentare di 0.19 mGal per metro.
A
g
h
A
d
Correzione topografica, e da
corpi sommersi (1/2)
Campo prodotto da una distribuzione sferica di massa con contrasto di densità Dr, posta a
profodità (o altezza) b e distanza orizzontale x:
4
G DrR 3
g  32
x  b2
b
x2  b2
Il primo termine rappresenta il valore assoluto della forza, il secondo il fattore di proiezione
cosq per avere la componente normale
x
b
Dr
q
R
g
Correzione topografica, e da
corpi
sommersi (2/2)
4
g ( x  0)  g max  3
g ( x  b) 
g max
2 2
DrGR 3

b2
 0.35g max
x
b
x
b
2
 b2

3/ 2
Esempio: una cupola di sale
La curva di best fit in basso
corrisponde a b= 6 km,
4GDrR3/3b2=10 mGal
Assumendo che il sale
abbia densità 2200 kg/m3 e
i sedimenti circostanti 2400
kg/m3, si ottiene R=4 km
NB: non possiamo
risolvere per R e Dr
separatamente
-0.035
Campo di una distribuzione
rettilinea di massa
x
 g  d   4G rdV
Applichiamo il teorema di Gauss a una superficie cilindrica di
lunghezza l (NB: il risultato sarà poi indipendente da l!) coassiale
con l’asse della distribuzione di massa di densità Dr in eccesso o
difetto rispetto alla densità circostante
Piano
topografico
2
2
2

g

d


2

x

b


g
;

4

G
D
r
dV


4

*

R
GDr  g 


Poiché il gravimetro misura la sola componente verticale della g,
dobbiamo moltiplicare g per il coseno dell’angolo rispetto alla
verticale
g N 
 2GDrR 2
x2  b2
 2GDrR 2 b

2
2
x2  b2
x b
b
Dg(x=0)=Dgmax=-2GDrR2/b
Dg(x=b)=Dgmax/2
 2GDrR
x2  b2
2
g
b
N
2R
Cerchio ausiliario
Distribuzione lineare cilindrica di
massa (sezione)
Isostasia, orogeni: equilibrio statico
h
T = 30
km
r
rm
H
DP
In equilibrio, il peso del fluido spostato eguaglia la forza peso:
DP  r m gH è il peso del fluido spostato, per unità d' area
ρ(h  H)g è il peso della massa immersa, per area di base unitaria
All' equilibrio ρ(h  H)g  r m gH  H 
r
rm  r
h  4.5  h
All’equilibrio, la topografia h viene sostenuta da una radice di profondità
proporzionale H sufficiente a creare una spinta isostatica uguale e opposta
Isostasia, orogeni: sviluppo di un bacino
flessurale per un supporto elastico
La trattazione isostatica non
considera l’elasticità del supporto e
assume che l’unico sostegno venga
dalla spinta isostatica, come per un
galleggiante.
Quando si considera che il supporto
è elastico, la profondità della radice
H sarà inferiore che nel caso
puramente isostatico perché alla
spinta isostatica si sommano le forze
elastiche nel supporto
Tali forze sono responsabili dello
sviluppo di bacini flessurali ai
fianchi, che tendono a riempirsi di
sedimenti
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Isostasia e orogeni: effetti gravimetrici
g
h
r
rm

H
Teorema: in un orogeno compensato isostaticamente l’anomalia di aria libera è zero
2
g   
h  2Grh  g B
r
Corr.
arialibera
Corr.
Bouguer
Anomalia di Bouguer
causata da difetto di
massa di spessore H
Modello di g B : g B  2Gr m  r H  2Grh
Segue che l’anomalia di aria libera g-+2h/r si annulla
Isostasia e fosse oceaniche
A. Compensazione isostatica
rTg  r w h  r (T  h  H )  r m H g  H  h
h
r
r  rw
2700  1000
h
 3.4h
rm  r
3200  2700
rw
DP=rTg
H
T
rm
B. Gravimetria (g è misurata sul fondo dell’oceano,  in superfice):
2
h  2G( r  r w )h  g B
r
g B  2G( r m  r ) H  2G( r  r w )h
g   
Segue che anche negli oceani compensati
l’anomalia di aria libera si annulla