Radioattività
La radioattività naturale è dovuta ai decadimenti a, b e g
Decadimento a: viene emesso un nucleo 42He
A  210
A
Z
X
A 4
Z 2
X  42 He
Decadimento b: vengono prodotti un elettrone e- o un positrone e+
b-
n  p  e  e
b+
p  n  e  e
cattura
elettronica
p  e  n  e
A
Z
X
Y  e  e
X
A
Z 1
X 
A
Z 1
A
Z
A
Z
Y  e  e
A
Z 1
Neutrino : massa  0, carica = 0, spin 1/2
interagisce debolmente con la materia (abs  10-48 cm2)
Y  e
1
Decadimento g: nuclei aventi stati eccitati possono decadere emettendo un g
stati eccitati
DE
fotoni emessi
stato fondamentale
DE
Atomo
Nucleo
l
 10 eV  10 7 m
 10 keV  10 10 m
 MeV
 10 12 m
ottico
raggi X
raggi g
Conversione interna: si verifica quando l’energia di eccitazione nucleare è persa tramite
l’espulsione di un e- atomico (di solito dalla shell K)
La vacanza lasciata dall’emissione di un e- porta all’emissione di raggi X o di e- Auger
quando l’atomo torna al suo stato neutro.
Un e- Auger è un e- atomico che riceve abbastanza energia cinetica da essere espulso,
di solito dalla shell L, quando un altro e- cade dalla stessa shell per riempire la vacanza
nella shell K
L
2
K
La legge del decadimento
Supponiamo di avere N0 nuclei al tempo t = 0.
La probabilità che un nucleo decada nell’intervallo di tempo t, t + dt è l dt
l è la costante di decadimento (dipende solo dal nuclide e dal modo di decadimento)
Sia P(t) la probabilità che un nucleo non sia decaduto dopo un tempo t.
La probabilità che un nucleo non sia decaduto dopo t + dt è
P(t  dt )  P(t )  1  l dt 
probabilità che il
nucleo non decada
fino a t
probabilità che il
nucleo non decada in
t, t + dt
Poichè P(t + dt) – P(t)  dP, abbiamo
dP
 -ldt  P(t )  e lt
P
Il numero di nuclei N(t) non decaduti dopo un tempo t è quindi
N (t )  N 0 e  lt
3
L’attività A(t) al tempo t è il numero di decadimenti per unità di tempo
dN
A(t ) 
 lN (t )  lN (0)e lt
dt
l può quindi essere estratta dal plot di ln A(t) in funzione di t.
Unità della radioattività: sono definite come il numero di decadimenti per unità di tempo
- Becquerel (Bq)
1 Bq = 1 decadimento per secondo
- Curie (Ci)
1 Ci = 3.7 x 1010 decadimenti per secondo
4
Vita media e tempo di dimezzamento
La vita media di un nucleo è

t
 tP(t )dt
0


 P(t )dt
1
l
0
Il tempo di dimezzamento t1/2 è il tempo dopo il quale il 50% dei nuclei sono decaduti
N ( 0)
 N (0) e lt 1 / 2
2
ln 2
 t 1/ 2 
 0.693 t
N (t )
N (0)
1
l
e
 lt
0.5
1/ e
t  t 1/ 2 t  t
t /t
5
Esistono nuclei soggetti a più di un modo di decadimento
La probabilità dell’i-esimo modo di decadimento è li dt
La probabilità totale di decadimento è
 l dt,
i
dN   N  li dt
i
Quindi
i
N (t )  N (0)e  ( l1  l2 ) dt
1 1 1
l   li ,
 
t
t1 t 2
Sia che contiamo la radiazione nel modo di decadimento 1 o nel modo di decadimento
2, osserviamo solo la costante di decadimento totale l.
Le costanti l1, l2 determinano la probabilità di decadere in 1 o in 2,
l1
N1 (t )  N (0)e ( l  l ) dt
l
l
N 2 (t )  2 N (0)e ( l  l ) dt
l
1
2
1
2
li
 branching ratio
l
6
Energia
Esempio: decadimenti del 40K
7
Connessione con la teoria quantistica
Nel processo di decadimento abbiamo la transizione fra due stati causata da un
potenziale V (più piccolo del potenziale nucleare).
La probabilità di transizione è data dalla regola d’oro di Fermi
2
2
l
V fi  ( E f )


V fi   *f V i d 3r
In assenza della perturbazione abbiamo uno stato stazionario descritto dalla funzione
d’onda
 a (r , t )   a (r )e  iE t / 
a
La probabilità di trovare il sistema nello stato a è |a(t)|2 e non dipende dal tempo per
uno stato stazionario.
 a (r , t )   a (r ,0)   a (r )
2
2
2
La probabilità di trovare il sistema in uno stato di energia E è legata alla trasformata di
Fourier
g ( E )   a (r )  e iEat /  eiEt /  dt   ( Ea  E )
8
In presenza della perturbazione, per essere consistenti con la legge del decadimento
radioattivo dobbiamo avere
 a (t )   a (t  0) e t /t
2
2
La funzione d’onda dello stato a è quindi
 a (r , t )   a (r )e iE t /  e t / 2t
a
a
L’esponenziale implica che non possiamo più sapere con esattezza l’energia Ea dello
stato. La trasformata di Fourier è ora
g ( E )   a (r )  e  i ( Ea  E ) t /  e  t / 2t a dt

K

, a 
( E  Ea )  ia / 2
ta
quindi
K2
g (E) 
( E  Ea ) 2  a2 / 4
2
9
 la probabilità di osservare il sistema nell’intervallo di energia (E,E+dE) è
P( E )dE 
dE
( E  Ea ) 2  a2 / 4
Funzione di
Breit-Wigner
La larghezza  è una misura dalla nostra
incapacità di misurare l’energia. Vediamo che
a t a    DE  Dt  
-
+
E0=m0c2
Malgrado questa incertezza possiamo sempre parlare di transizioni fra livelli distinti. Vite
medie maggiori di 10-12 s corrispondono a  < 10-10 MeV, mentre tipiche separazioni fra
i livelli sono  10-3 MeV o più.
Quindi lo stato finale è sempre ben definito  stati pseudo-stazionari
Densità di stati
Poichè un solo stato finale può essere raggiunto, alla densità di stati contribuisce10solo il
campo di radiazione emesso (ad es. direzione e/o stato di polarizzazione)
Catene di decadimento
l1
l2
N1  N2  N3  ...
L’attività di N2 è l2 N2(t).
tasso di variazione della popolazione di N2 è
Il
dN 2 (t )
 l1 N1 (t )  l2 N 2 (t )
dt
Abbiamo sempre N1(t) = N1(0) exp(-l1t). Ricerchiamo una soluzione del tipo
N 2 (t )  Ael2t  Be l1t
La condizione N2(0) = 0 dà A = - B. Sostituendo sopra abbiamo
 l2 Ael2t  l1Be l1t  l2 Ael2t  l2 Be l1t  l1 N1 (0)el1t
da cui ricaviamo
l1 N1 (0)
B
l2  l1
11
Quindi
N 2 (t ) 
l1 N1 (0) l t l t

e e 
l2  l1
1
2
(i) Se l2 >> l1 allora exp(- l1 t)  1 e
l1 N1 (0)

N 2 (t ) 
1  e l t 
l2
2
L’attività l2 N2 tende a l1 N1 per t grande, cioè alla stessa attività del nucleo 1. Quindi le
due specie di nuclei tendono a decadere allo stesso rate (equilibrio secolare).
(ii) Se l2 > l1 allora il rapporto delle attività è
l2 N 2
l2


1  e ( l l )t 
l1 N1 l2  l1
2
1
al crescere di t il rapporto tende al valore costante l2 / (l2 – l1). I nuclei 2 in effetti
decadono con la costante di decadimento del tipo 1 (equilibrio transiente).
Se l2 < l1 allora il nucleo 1 decade rapidamente. L’attività del nucleo figlio sale a un
valore massimo e poi decade con la sua costante di tempo. Per t grande exp(- l1 t)  0 e
l1 N1 (0) l t
N 2 (t ) 
e
l1  l2
2
12
Radioattività naturale
n = intero
Alcuni tempi di dimezzamento
grandi rispetto all’età della Terra
Z
serie 4n
13
N
Radio-datazione
Consideriamo un campione di nuclei “genitori” (P) che decadono in nuclei “figli” (D):
Ipotesi:
tP è nota da studi precedenti
- P furono intrappolati al momento della formazione del campione
- Nè P nè D sono entrati o sfuggiti dal campione tramite qualche altro meccanismo
- A t = 0 ND = 0
Abbiamo
N P (t )  N D (t )  N P (0), N P (t )  N P (0)e lDt
da cui
e
l’età è quindi
lDt
N D (t )
 1
N P (t )
 N D (t ) 
Dt  t P ln 1 

N
(
t
)
P


Contiamo NP(t) e ND(t) chimicamente ad esempio.
14
Abbiamo una complicazione quando ND(0) non è nullo. Allora
N P (t )  N D (t )  N P (0)  N D (0)
Supponiamo che esista un altro isotopo di D, diciamo D’, per il quale ND’(t) = ND’(0) = ND’
(cioè D’ è stabile).
Possiamo scrivere
N P (t )  N D (t ) N P (0)  N D (0)

N D ' (t )
N D ' (t )
Riarrangiando
N D (t ) N P (0)  N D (0) N P (t )


N D ' (t )
N D ' (t )
N D ' (t )



N P (t ) lDt
N (0)
e 1  D
N D ' (t )
N D ' (0)
minerali che cristallizzano da un’origine comune dovrebbero avere
- Stessa età Dt
- Stesso ND(0) / ND’(0)
- Diverso NP(0) (a causa delle diverse composizioni chimiche)
15
Grafichiamo quindi ND(t) / ND’ in funzione di NP(t) / ND’
La pendenza sarà
e lDt  1
e l’intercetta
N D (0) / N D'
Esempio. Usiamo il decadimeno b- 87Rb  87Sr (t1/2 = 4.8 x 1010 anni)
D’ = 86Sr (stabile)
 Età della Terra stimata dalla pendenza = 4.5 x 109 anni
Minerali terrestri,
lunari, meteoriti
87Sr
/ 86Sr
N D (t )
N D'
87Rb
/ 86Sr
N P (t )
N D'
16
Datazione col radio-carbonio
Per datare campioni più recenti di materia organica si usa il 14C
Il 14C è continuamente prodotto nell’atmosfera terrestre dal bombardamento di raggi
cosmici
Il rate di produzione di 14C è approssimativamente costante (verificato ad esempio
analizzando gli anelli degli alberi)
protone di raggi cosmici
nucleo
CO2 fa entrare 14C
nel ciclo del cibo
14C
è presente in
tutti gli organismi
viventi
CO2 entra nel
ciclo del cibo
14CO
2
Il carbonio negli organismi viventi è continuamente scambiato col carbonio atmosferico
17C,
(all’equilibrio  1 atomo di 14C per 1012 atomi di altri isotopi del carbonio (98.9% 12
1.1% 13C)
Negli animali morti il 14C non viene più assorbito e quello presente decade
C 147N  e    e
14
6
La misura dell’attività di decadimento beta di un campione di legno sepolto, ad esempio,
fornisce una misura del lasso di tempo trascorso dalla morte dell’organismo (quando
questo era in equilibrio con l’atmosfera)
A(t ) 
100%
età(anni)
0
dN
 lN (t )  lN (0)e lt
dt
50%
5730
25%
11460
12.5%
127190
Complicazioni derivanti dall’utilizzo di combustibili fossili, test di armi nucleari, ecc.
18
Decadimento a
Il decadimento a è dovuto all’emissione di un nucleo 42He (doppiamente magico e
fortemente legato)
Cinematica
A
Z
X  ZA42Y  a
Conservazione dell’energia
mX  mY  TY  ma  Ta
Dove T è l’energia cinetica.
L’energia rilasciata è
Q  TY  Ta  mX  mY  ma
 BY  Ba  BX
Solo se Q > 0 il decadimento è energeticamente possibile
19
Se il nucleo genitore è a riposo, Y e a si muovono con momenti uguali e opposti
pa  pY
Nel decadimento a l’energia liberata è tipicamente 4-9 MeV. Quindi T << m e possiamo
usare l’approssimazione non relativistica
ma
p2
p2
Ta 
, TY 
 Ta
2ma
2mY
mY
Possiamo quindi scrivere
 ma
Q  Ta  TY  Ta 1 
 mY

Q
  Ta 
1  ma / mY

Possiamo porre ma / mY  4 / (A – 4) per cui
Ta 
Q
 4
 Q 1  
1  4 /( A  4)
 A
Tipicamente a porta via il 98% di Q, mentre il frammento nucleare ha un piccolo rinculo
20
(sebbene maggiore delle energie di legame reticolari!)
Perchè si verifica il decadimento a? E non p o 12C?
Consideriamo l’energia rilasciata (Q) in vari possibili decadimenti di 232U
Possiamo calcolare Q da
Q  m X  mY  ma
D  m A
= difetto di massa
 D 232U  D Y  D a
Le altre reazioni hanno un Q negativo: non possono avvenire spontaneamente.
a è facile da formare dentro un nucleo (pari-pari in particolare perchè a = 2p2n)
(Il punto fino a cui a esiste dentro il nucleo non è ancora noto)
Molti nuclei con 150 < A < 190 e molti con A > 190 sono a instabili (dal punto di vista
energetico), ma solo la metà presenta vite medie < 1016 anni
Il decadimento in 12C è energeticamente possibile, ma ha una vita media enorme
(rispetto al processo a).
21
Dipendenza di t1/2 da Q
Una caratteristica veramente notevole del decadimento a è la forte dipendenza della
vita media da Q
Ad es.
232Th
Q = 4.08 MeV
218Th
Q = 9.85 MeV
t1/2 = 1.4x1010 anni
t1/2 = 1.0x10-7 s
Un fattore  2.5 in Q determina un fattore 1024 in t1/2 !
N pari, Z pari
log10 t1/2
(sec)
dipendenza liscia
a Z fissato
Q(MeV)
22
Barriera di potenziale repulsiva e distanza di minimo approccio
L’energia di una particella a è paradossalmente piccola rispetto all’energia necessaria
per riportarla a contatto nucleare col nucleo figlio.
L’energia potenziale elettrostatica implica una barriera di potenziale
1 2Ze 2
V
4 r
Esempio 1: 238U  234Th
Poichè il raggio nucleare è R = 1.2 x A1/3 fm, se la particella a e il nucleo figlio fossero a
contatto sarebbero separati da
r  R234U  R4 He  1.2  2341/ 3  41/ 3   9.3 fm
Inoltre, moltiplicando e dividendo per ħc e nelle unità in cui ħ = c = 1
e2
1
1

, 1 fm 
MeV -1
4 137
200
Quindi a questa distanza l’energia potenziale (barriera di potenziale) è
V
1 2  90  200
 28 MeV
137
9.3
23
Esempio 2: 212Po  208Pb.
I difetti di massa D = m – A di 212Po, 208Pb e 4He sono –10.381, -21.759, e 2.4249 risp.
Q può quindi essere espresso come la differenza dei difetti di massa
Q  D 212Po  D 208Pb  D 4 He  10.381  (21.759  2.4249)  8.953 MeV
L’energia cinetica della particella a è
208
 4
Ta  Q1    Q
 8.784 MeV
212
 A
Partendo da una particella a libera di circa 9 MeV possiamo calcolare la distanza di
minimo approccio al nucleo figlio che si ha per Q = V=2Ze2/4r
e 2 2  90
b
 28 fm
4 Q
24
Tunneling quanto-meccanico
Pensiamo la particella a all’interno di un nucleo come un’entità ben definita intrappolata
entro i confini del nucleo (è in qualche modo “pre-formata”)
La dinamica è determinata dal potenziale di interazione V(r) fra la particella a e il nucleo
figlio
Il potenziale è prodotto collettivamente dai nucleoni del nucleo figlio:
- per 0 < r < R V(r) deve produrre una forza attrattiva affinchè la particella a sia quasi
legata
- per r >> 1 fm l’effetto dell’interazione forte è molto minore dell’interazione elettrostatica
- Esiste una regione intermedia in cui i due tipi di interazione sono comparabili e la
forma di V(r) è determinata da questo bilanciamento. Poichè V va come 1 / r a grande r,
V ha quindi la forma di una barriera di potenziale in questa regione intermedia

V (r ) Forza
Regione
nucleare
forte
Dentro
la buca
intermedia
Interazione elettrostatica
r
barriera
All’esterno
25
E’ principalmente questa barriera che determina la probabilità di decadimento (o cattura)
a
In prima approssimazione possiamo assumere che entro il nucleo il potenziale sia una
buca sfericamente simmetrica: V(r) = - V0 per 0 < r < R.
L’effetto dell’interazione nucleare è nullo al di fuori del raggio del nucleo e il potenziale
immediatamente fuori e fino all’infinito è il potenziale coulombiano V(r) = 2 Z’ e2 / r.
Classicamente la particella a non può entrare o sfuggire.
Quanto-meccanicamente la particella a può penetrare la barriera
 Tunnelling quanto-meccanico
26
Quando consideriamo il moto della particella a nel potenziale del nucleo figlio abbiamo a
che fare con un problema di forza centrale per r > R.
L’equazione di Schrodinger può essere ricondotta a un problema unidimensionale
d 2u 2 
 2
2
dr


 2(  1) 
2
V (r ) 
u  2 Eu  0
2
2r 


dove qui  è la massa ridotta.
L’energia E è
E
1 2
vrel ,
2
1


1
1

ma mY
Abbiamo quindi
1 ma mY   2 1 ma mY
va  vY  
E
2 ma  mY
2 ma  mY
 ma
 Ta  
 mY
Q

 Ta

  ma  
 va 
va 
mY 

2
27
Il modello di Gamow
Il rate di emissione può essere espresso come
la  f  T
frequenza f con cui a arriva
sul bordo di un nucleo
Semi-classicamente
2
probabilità T di trasmissione
attraverso la barriera
v
f 
2R
v = velocità di a dentro il nucleo
R = raggio del nucleo
Un limite inferiore di v può essere ottenuto dall’energia cinetica della particella a.
Dall’equazione di Schroedinger
2(Q  V0 )
p2
 Q  V0  v 
2ma
ma
Assumiamo V0  35 MeV, Q = 5 MeV. Quindi
v
1 2(Q  V0 )
f 

 1022 s 1
2R 2R
ma
 ma  3.7 GeV 


 R  2.1 fm

28
Barriera di potenziale rettangolare
u2 ( x)  Aek2 x  Be  k2 x
k 2  2m(V0  E ) / 
Regione
classicamente
proibita
Onda riflessa
Energia della
particella
Onda incidente
u1 ( x)  e
ik1 x
Re
 ik1 x
Onda trasmessa
Funzione d’onda della
particella incidente
Funzione d’onda della
particella oltre la barriera
k1  2mE / 
u3 ( x)  Teik3 x
k3  2mE /   k1
Nel punto x = a abbiamo le condizioni di frontiera
 Aek2a  Be  k2a  Teik1a
u 2 ( a )  u3 ( a )
du2
dx

x a
du3
dx


 k2 Aek2a  Be k2 a  ik1Teik1a
x a
29
Risolvendo rispetto per A e B si ha
T
k1  ( ik1  k 2 ) a
A  1  i e
2
k2 
T
k1  ( ik1  k 2 ) a
B  1  i e
2
k2 
Dall’altra parte della barriera in x = 0 abbiamo
u1 (0)  u2 (0)
 1 R  A  B
du1
dx
k2
A  B
 1  R  
ik1
x 0
du1

dx
x 0
L’altezza massima della barriera è circa 30 MeV.
Approssimiamo la barriera reale con una rettangolare di altezza media
(V0 - E) / 2  (30 – 5) / 2 =12 MeV.
Se E = 5 MeV, la distanza di minimo avvicinamento è  60 fm.
assumiamo quindi una larghezza media pari a (b – R) / 2  (60 - 10) / 2 = 25 fm
k 2 a  a 2m(V0  E ) /   25 fm  2  3.7 103 12 / 200 fm -1
 25 fm 1.5 fm  37  0
-1
30
Questo ci permette di trascurare A rispetto a B. Si ottiene
2ik1
T
k1  ( ik1 k2 ) a
 B  1  i e
 k2  ik1
2
k2 
La soluzione del sistema di condizioni di frontiera quando k2a >> 1 porta quindi a
T
4k1k2
( k 2 ik1 ) a
e
2k1k2  i ( k12  k22 )
La probabilità di trasmissione è dunque
2
 4k1k 2   2 k 2 a
 e
T   2
2 
 k1  k 2 
2
Questa è una funzione molto sensibile della larghezza e dell’altezza della barriera
31
In generale la barriera non è rettangolare. Non esiste una soluzione esatta per una
barriera irregolare e dovremmo usare l’approssimazione di Wentzel-Kramers-Brillouin
(WKB).
Cerchiamo di essere meno tecnici ... scriviamo
 4(k1a)( k2 a) 

ln T  2k2 a  2 ln 
2
2 
 (k1a)  (k2 a) 
2
nella maggior parte dei casi il primo termine domina sul secondo.
In questa procedura consideriamo la barriera come una serie di barriere rettangolari
ln T 
2
 ln T
barriere
parziali
2
barriera
parziale
 2 Dr k 2
 2 2m[V (r )  E ] /  2 dr
Energia (MeV)
Poichè i coefficienti di trasmissione sono
moltiplicativi
32
Separazione dei centri (fm)
L’approssimazione fatta non è buona vicino ai punti di inversione in cui E = V in quanto
allora k2a  0
Inoltre V(r) deve variare lentamente in r
Ma per la maggior parte degli scopi l’approssimazione va bene e quindi infine

T  exp  2 2m[V ( x)  E ] /  2 dr
2

La quantità
G
R'
R
2m[V ( x)  E ] /  2 dr
è detta fattore di Gamow.
Adesso utilizzeremo questa formule per calcolare la probabilità di trasmissione nel caso
del decadimento a.
33
Per r > R
2Z ' e 2
V (r ) 
4r
Z' Z  2
La particella a sfugge in r = R’, dove V(R’) = Q  R’ = 2 Z’ e2 / 4  Q
G
R'
R
1/ 2

 2m   2 Z ' e
 Q  dr
 2 
    4r

1/ 2
1/ 2
 2m 
 2 
 
2
 2Z ' e

 4
2
1/ 2




R'
R
1/ 2
1 1 
 r  R'  dr
Poniamo r = R’ cos2 

R'
R
1/ 2
1 1 
 r  R '  dr  R
R'
1/ 2
1
1

 R ' cos 2   R '  (2 R ' cos  sin  )d
 2 R '1/ 2  sin 2 d  R '1/ 2 sin  cos    

r r
1    
 R '   R ' 
1/ 2
 R'
1/ 2
1/ 2
1/ 2
r
 cos  
 R' 
1
R'


 R
34
Quindi
1/ 2
 2m 
G 2 
 
 2Z ' e

 4
1/ 2
 2m 
G   2 
 Q 
1/ 2
1/ 2
1/ 2


R
R
R


   
1/ 2
1 
 R' cos    1     
 R' 
 R'   R'  


1/ 2
2
2Z ' e 2
4
 1  R 1/ 2  R 1/ 2  R 1/ 2 
cos    1     
 R' 
 R'   R'  

Nella maggior parte dei casi pratici R’ >> R. Ad esempio per Z = 90 abbiamo trovato Q 
4 MeV  R’  60 fm >> R  10 fm. Allora
1/ 2
1  R 
cos  
 R' 

1/ 2
R
   ,
2  R' 
1/ 2
R

1  
 R' 
1
e di conseguenza
1/ 2
 2m 
G   2 
 Q 
1/ 2

2Z ' e 
R 
  2  
4  2
 R'  
2
35
Se R / R’  0, allora il termine in parentesi è  / 2 e misurando Q in MeV si ha
1/ 2
 2 MeV 
G  Z ' 

 Q 
La vita media è data da
t
1
l

1 2 R 2G

e
fP
v
da cui
ln t  2G  ln
2R
v
log10l
Arriviamo quindi alla legge di
Geiger-Nuttal
Z'
ln l  C1
 C2
Q
36
Z’Q-1/2
Esempio: Calcoliamo il rate di emissione e la vita media di 238U.
Abbiamo
2(V0  Q) / m
f 
, R  R0 (2381/ 3  41/ 3 )  9.3 fm
2R
Q  4.2 MeV, m  3.7 103 MeV
Quindi
2(30  4.2) /(3.7 103 )
f c
 2.26 10 21 s -1
2  9.3
Il fattore di Gamow è
1/ 2
 2m( MeV ) 

G  
Q


 2  3.7 10
 
4.27

3
1/ 2

 Q  
2Z ' 
 
  2
137  2
 V ( R)  

1/ 2



1/ 2
2  90 
4
.
27

 
   42.9
  2
137  2
 27.9  
37
Il fattore di trasmissione è
T  e 2G  e 85.8  5.43 10 38
Il rate di decadimento e il tempo di dimezzamento sono
l  fT  2.26 1021  5.43 1038  1.23 1016 s -1
t 1/ 2 
ln 2
l
 5.65 1015 s  1.8 108 anni
La vita media osservata di 238U è 4.47x109 anni, circa 25 volte maggiore del nostro
calcolo.
38
Problemi del modello
Abbiamo assunto l’esistenza di una particella a nel nucleo e non abbiamo tenuto conto
della probabilità di formazione
Abbiamo considerato un approccio “semi-classico” per stimare la frequenza dei tentativi
di fuga, f = v / 2R, e abbiamo fatto una predizione assoluta del rate di decadimento.
Il rate è molto sensibile al valore esatto del raggio. Abbiamo assunto nuclei sferici, ma
sappiamo che molti nuclei di alta massa non sono sferici
Il modello sviluppato assume che le particelle a abbiano momento angolare orbitale
nullo (L = 0). Questo funziona correttamente solo quando sia il nucleo genitore che figlio
hanno spin zero, poichè
J X  JY  
J X  JY    J X  JY
(lo spin di a è zero)
Difatti, il modello va bene per i nuclei pari-pari nei loro stati fondamentali, i quali hanno
spin zero.
Anche i decadimenti di alcuni nuclei pesanti con A dispari popolano stati eccitati che
hanno lo stesso spin del nucleo genitore cosicchè L = 0
39
Se il decadimento ha luogo da uno stato eccitato o produce uno stato eccitato, ci può
essere un certo momento angolare orbitale.
La particella a deve passare attraverso una barriera più alta a causa del potenziale
centrifugo
 2(  1)
V 
2mr 2
Possiamo calcolare l’effetto di questo potenziale semplicemente aggiungendolo alla
barriera coulombiana. Se definiamo
altezza barriera centrifuga

barriera coulombian a
Vcoul (r )  Vcoul (r )(1   )
 2(  1)
V (r ) 
2mr 2
energia
allora dobbiamo semplicemente
operare la sostituzione
2Z ' e 2
V (r ) 
r
r40
L’insieme di stati eccitati che possono essere popolati dal decadimento (assieme a
quello fondamentale) è detto la struttura fine del decadimento
0+
4+
2+
0+
D
P
E2
E1
0
Q maggiore, e L non zero
 vite medie per i decadimenti negli stati
eccitati maggiori (il decadimento è meno
probabilie)
Parità.
La parità è conservata nel decadimento a. Abbiamo
 X   Y  a (1)    Y (1)   a  1
X, Y parità uguale
X, Y parità opposta


L deve essere pari
L deve essere dispari
Quindi se X ha JP = 0+, gli stati di Y che possono essere popolati nel decadimento sono
J P  0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 
41
Fattori di ostacolo
I nuclei di A dispari hanno vite media sostanzialmente maggiori di quelli pari-pari.
 decadimenti “ostacolati”
Fattore di ostacolo = t misurata / t calcolata
Fattore di ostacolo < 4 La particella a è costruita da coppie di nucleoni su livelli bassi. Il
nucleone dispari resta nel suo orbitale iniziale
Fattore di ostacolo 4-10 mixing favorevole fra gli stati nucleari iniziale e finale
Fattore di ostacolo 10-100 proiezioni di spin parallele ma overlap della funzione d’onda
non favorevole
Fattore di ostacolo 100-1000 Transizioni con variazioni di parità ma con proiezioni di
spin parallele
Fattore di ostacolo > 1000 cambiamento di parità e spin-flip (sostanziale
riorganizzazione del nucleone del genitore quando a viene emessa)
42