Nuclei
e
Radioattività
Per il corso di Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare a.a. 2003-2004
Lino Miramonti
Università degli Studi di Milano
Facoltà di scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
1
Un nucleo atomico è caratterizzato da:
•numero atomico (Z) che indica il numero di protoni
•numero di massa (A) che rappresenta il numero totale di nucleoni presenti nel nucleo atomico.
Se indichiamo con N il numero di neutroni, possiamo scrivere: A=N+Z.
A
Z
XN
2
Per nuclei leggeri la configurazione nucleare
risulta stabile quando Z = N.
Al crescere di Z il numero di neutroni necessari a
garantire la stabilità aumenta.
Tale andamento è ben descritto dalla così detta
curva di stabilità
ISOBARI Nuclidi con eguale numero di massa A
ISOTOPI Nuclidi con eguale numero atomico Z
ISOTONI Nuclidi con eguale numero di neutroni N
3
L’energia di legame per nucleone (esclusi i nuclei più leggeri) è circa 7-8 MeV
La formula di Weizsäcker (formula semi-empirica di massa) permette di calcolare l’energia di legame:
2
1
1
1 

M ( A, Z )  N  M n  Z  M p  Z  me   av  A  as  A 3  ac  Z 2  A 3  aa  ( N  Z ) 2  A1    A 2 
4


av
15.67 MeV
Termine di Volume
as
17.23 MeV
Termine di Superficie
ac
0.714 MeV
Termine Coulombiano
aa
93.15 MeV
Termine di Asimmetria
δ
Termine di
Accoppiamento
 11.2 MeV

 
0
 11.2 MeV

Z pari  N pari
p p
A dispari
Z dipari  N dipari
d  p/ pd
d d
4
5
Possiamo classificare i diversi modi di emissione radioattiva di un nucleo instabile nel seguente modo:
•Interazione nucleare forte
•Radioattività α
•Radioattività da protoni o neutroni differenziati
•Fissione spontanea
•Interazione nucleare debole
•Radioattività β
•Cattura elettronica (EC)
•Interazione elettromagnetica
•Isomeria nucleare
6
Isotopi Stabili
7
Con il termine nuclide si indicano tutti
gli isotopi conosciuti di elementi chimici
• Stabili:
279
• Instabili: ~ 5000
8
IL DECADIMENTO RADIOATTIVO
Consideriamo un nucleo instabile in un dato istante; questo si
trasformerà in un nucleo stabile (dopo una o più trasformazioni)
attraverso un dato processo radioattivo. E’ impossibile prevedere
quando un dato nucleo si trasformerà; possiamo solamente definire
una certa probabilità di trasformazione in un’unità di tempo
data. Questa probabilità è la stessa per tutti i nuclei di un dato nuclide
e si mantiene costante nel tempo.
costante radioattiva λ [s-1]
( = probabilità nell’unità di tempo)
ESEMPIO: Un nucleo di:
60Co
probabilità di 1/240
milioni di disintegrarsi in
un secondo
238U
probabilità di 1/(2·1017)
219Rn
probabilità di circa 1/6
Questa probabilità di disintegrazione radioattiva spontanea per unità di tempo è detta
costante radioattiva, si esprime in secondi-1 e si indica con λ.
Se indichiamo con N il numero di nuclei instabili, λN rappresenterà il numero di nuclei
che decadono nell’unità di tempo.
9
ESEMPIO: un grammo di 60Co contiene 1022 nuclei ognuno con una probabilità di 1/240 milioni di
disintegrarsi per secondo, il che significa che ogni secondo 4.18 10 13 nuclei si disintegreranno
60
Co :
238
U:
219
Rn :
NA

A

6.022 10 23
1

60
2.4 108
NA

A

6.022 10 23
1

238
2 1017
NA

A

6.022 10 23 1

219
6
 4.18 1013
 12500
 4.6 10 20
La quantità λN, esprime la velocità di disintegrazione di una quantità determinata di una data
sostanza radioattiva (-dN/dt) ed è chiamata attività della sostanza.
10
LA LEGGE DEL DECADIMENTO RADIOATTIVO
Nell’intervallo compreso tra t e t+dt, il numero di nuclei che decadono (–dN)
è proporzionale al numero di nuclei N presenti al tempo t:
 dN  N dt
ed introducendo la constante radioattiva λ abbiamo:
 dN   N dt
da cui:
dN
  dt
N
Periodo di dimezzamento τ½ di una sostanza
radioattiva è il tempo necessario affinché questa si
riduca della metà.
 
1
2
ln 2

ed integrando:
ln N   t  C
Sia N0 il numero di nuclei presenti al tempo t=0, allora: C  ln N 0
Otterremo pertanto:
ln
N
 t
N0
e quindi:
N  N 0 e  t
Moltiplicando per λ e ricordando che la quantità λN rappresenta
l’attività della sostanza, che indicheremo con A, avremo:
½
A  A0 e  t
dove con A0 abbiamo indicato l’attività al tempo t = 0.
11
Unità di misura della radioattività
L’unità di misura della radioattività fu proposta all’inizio del secolo scorso da Marie
Curie come l‘attività di 1 g di radio.
Nel 1950 la definizione di tale unità è stata modificata in modo da corrispondere
esattamente a 37 miliardi di disintegrazioni al secondo; tale grandezza è chiamata
curie (Ci) e corrisponde approssimativamente a circa 1 g di 226Ra.
Attualmente l’unità che esprime la quantità di radioattività è misurata in
becquerels (Bq) e corrisponde ad una disintegrazione al secondo.
Sorgenti usate in laboratorio:
~ 1- 10 kBq
Curie (Ci): attività di 1 g di 226Ra
Becquerels (Bq): una disintegrazione al secondo
1 Ci  3.7 1010 Bq
ESEMPIO: Un grammo di 60Co (τ = 5.27 anni) avrà un’attività di 4.185 1013 Bq
Un grammo di 238U (τ = 4.47 109 anni) avrà un’attività di 12500 Bq
Nella roccia (terreno) il
contenuto di Uranio è
dell’ordine del ppm (10-6 g/g)
Quindi in 1 kg di roccia si
hanno qualche decina di Bq!
12
Il rapporto di diramazione
Un radionuclide può disintegrarsi attraverso differenti vie. Così ad esempio un nucleo di 40K può decadere
catturando un elettrone dall’orbita atomica (cattura elettronica) trasformandosi in questo modo in un nucleo
di 40Ar, oppure decadere emettendo un elettrone (decadimento β-) dando così origine ad un nucleo di 40Ca.
Ad ognuno di questi due processi corrisponde una costante di disintegrazione parziale λ par
La probabilità totale λtot. = Σ. λparziale
Definiamo ora il rapporto di diramazione (in inglese Branching Ratio (B.R.)) come il rapporto tra
probabilità di decadimento in un dato canale e la probabilità di decadimento totale:
B.R. 
 parziale
totale
13
Decadimento alfa
Il primo decadimento radioattivo (da qui il nome alfa) fu scoperto da Rutherford nel 1899. Le particelle α sono
nuclei di elio, cioè nuclei particolarmente stabili formati da due protoni e due neutroni (Z=2 ed A=4).
4
2
He  
Sono soprattutto i nuclei pesanti (A>200) e deficienti in neutroni ad essere interessati da questo processo nucleare.
Esempio:
A
Z
X 

A 4
Z 2
Y  He
4
2

234
U

90Th
238
92
n 238  92

 1.587
p
92
n 234  90
234

 1.600
90Th :
p
90
238
92
U:
14
Cinematica del decadimento alfa
Imponendo le leggi della conservazione dell’energia e della quantità di moto
(per semplicità consideriamo il
nucleo padre a riposo)
m X c 2  mY c 2  TY  m c 2  T
Riscriviamo la precedente nel seguente modo:
(m X  mY  m ) c 2  TY  T
Definiamo ora il Q valore come l’energia rilasciata nel decadimento e riscriviamo la precedente nel seguente modo:
Q  (m X  mY  m ) c 2
Sostituiamo le masse nucleari m con le masse atomiche M (potendo trascurare le energie di legame degli elettroni)
Q  (M X  M Y  M  ) c 2
Se esprimiamo M in unità di masse atomiche (amu) ed Q in MeV possiamo scrivere:
Q  ( M X  M Y  M  )  931.5 [ MeV ]
1
 massa di atomo di 12C
12
1 amu  1.6604 10  27 kg
1 amu  931.5 MeV
1 amu 
15
L’energia rilasciata nel decadimento si ripartisce tra energia cinetica del nucleo figlio TY ed energia cinetica della
particella α Tα.
Applicando il principio di conservazione della quantità di moto ed indicando con vY ed vα le velocità del nucleo
figlio e della particella:
M Y vY  M  v
elevando al quadrato e moltiplicando per ½ otteniamo:
1 2 2 1 2 2
M Y v Y  M  v
2
2
e quindi:
TY M Y  T M 
da cui:
TY 
essendo:
Q  TY  T
Q  T
e quindi
M
T
MY
MY  M
MY
T  Q
MY
MY  M
Le energie cinetiche delle particelle α sono tipicamente dell’ordine
del 98% del Q valore, mentre il restante 2% lo si ritrova sotto
forma di energia cinetica del nucleo figlio (energia di rinculo).
16
Descrizione di come una particella α possa “sfuggire” al nucleo
atomico dando così origine ad un nuovo elemento.
226Ra
 (Eα = 4.784 MeV)
Prendiamo come esempio il nucleo di 226Ra il quale si
trasforma (τ = 1600 anni) in 222Rn emettendo una
particella α di energia cinetica Eα = 4.784 MeV che
corrisponde alla transizione tra i due stati fondamentali.
Immaginiamo ora di prendere il nucleo di 222Rn che
come sappiamo avrà una carica positiva pari a 86
cariche elementari (indicheremo questa con QRn), e la
particella α che porta con sé 2 cariche elementari (che
indicheremo con Qα).
222Rn
Z = 86
Z=2

Rn
Se cerchiamo di avvicinarle, queste si respingeranno per
la repulsione elettrostatica, fino a quando entreranno in
contatto, e cioè quando R = rα + rRn = 7.76 fm,
permettendo in questo modo alle forze nucleari di
entrare in azione.
rRn= 6.7 fm
Rn

R = rα + rRn = 7.76 fm
L’energia di repulsione è detta barriera di potenziale e vale:
EB 
Q QRn
 32 MeV
40 R
1
17
Rappresentazione della
barriera di potenziale nel
caso del decadimento α
Con R0 si è indicato il raggio del nucleo emettitore.
La particella α per poter sfuggire dal nucleo deve
possedere un’energia superiore alla barriera di
potenziale, che nel nostro caso vale circa 32 MeV.
18
Le leggi della meccanica ondulatoria permettono di spiegare il fenomeno:
Data una particella di energia cinetica
E
1
mv 2
2
Louis de Broglie le ha associato una lunghezza d’onda λ:

h
2mE
Quest’onda non ha alcun significato fisico; fu
Schrödinger che diede un grosso contributo alla
meccanica ondulatoria riformulando l’onda di de
Broglie in termini di equazioni:
L’ampiezza Ψ dell’onda associata ad una particella è proporzionale alla probabilità di trovare questa particella
in un punto qualunque dello spazio.
Born stabilì la relazione di proporzionalità tra la probabilità di trovare una particella in un dato punto dello
spazio e il quadrato dell’ampiezza della funzione d’onda Ψ2. In questo modo le onde introdotte da de Broglie
sono divenute delle onde di probabilità.
La teoria ondulatoria permette di spiegare il passaggio di una particella α attraverso la barriera di
potenziale. Questo fenomeno è conosciuto col nome di effetto tunnel (Gamow 1928).
19
Se si suppose la particella α preesistente all’interno del nucleo, sappiamo che per poter sfuggire, essa deve possedere
un’energia E superiore a Eb.
Quindi classicamente la particella α non può in alcun modo “scappare” dal nucleo atomico.
Tuttavia, essa possiede una certa velocità e quindi è possibile associarle un’onda di lunghezza d’onda.  
h
2mE
Non potendo sfuggire, la particella α colpirà le pareti del pozzo di potenziale nel quale essa è confinata, con una
frequenza proporzionale alla sua velocità ed inversamente proporzionale al diametro del pozzo.
Per evitare una degradazione del sistema, bisogna supporre un regime di onde stazionarie: il diametro del pozzo d=2R0
vale un multiplo della lunghezza d’onda λ e cioè: 2 R0  n 
(Nell’esempio che abbiamo considerato, il 226Ra, R0 vale circa 6.7 fm).
Essendo

abbiamo quindi:
h
h
v
mv
m
ed dalla condizione di stazionarietà

2 R0
n
1 2 1 h2
h2
2
E  mv 
n
2
2 m2
8mR02
Il valore dell’energia è minimo per n=1, λ è quindi massima e vale λ=2R 0.
20
Per una particella α legata al decadimento la formulazione di λ diviene:

h
2m( E  E )
e quindi il valore di λ risulta più grande.
Questo significa che l’onda si estende al di là del diametro del pozzo e quindi
la probabilità che la particella si trovi al di fuori del pozzo è non nulla.
Bisogna sottolineare che λ può aumentare solo a condizione che
la particella si trovi su un livello energetico superiore allo zero;
infatti in questo caso Eα si sommerebbe ad E diminuendo il
valore di λ. In questo caso la particella α non potrà mai sfuggire
dal pozzo di potenziale, e il nucleo risulterà stabile.
Rappresentazione dell’onda associata alla particella α
nella buca di potenziale di un nucleo atomico
21
La costante di disintegrazione λ è data dal prodotto della frequenza f con cui la particella α colpisce le pareti del pozzo
e la probabilità di penetrazione P attraverso la stessa:
  f P
Per i nuclei pesanti la frequenza risulta più o meno costante ed è dell’ordine di 10 21 Hz.
Essa può essere scritta nel seguente modo:
f 
E
v

2 R0 R0 2m
v  2 107
f 
m
s
ed
2R
1
e v  0
t
t
R0  10 14 m  f  10 21
1
s
Per quanto riguarda la probabilità di penetrazione P ci limitiamo alla seguente:
 m Ze 2

P  exp  
 h 0

 Ze 2
R 0

4
 2 E






La quantità R è circa la stessa per tutti i nuclei
pesanti. La costante di disintegrazione λ dipende
soprattutto dall’energia della particella Eα.
Una variazione di un fattore 2.5 nell’energia della particella α comporta una variazione di ben 27 ordini di grandezza sulla probabilità di
passaggio attraverso la barriera di potenziale e quindi sulla costante di disintegrazione λ.
Ci si potrebbe chiedere perché solo le particelle α, che ricordiamo sono un nucleo di elio 4He, riescono ad uscire dal nucleo, e non altri aggregati nucleari
come ad esempio un nucleo di 16O che come il nucleo di elio è doppiamente magico (N = Z = 8). Per questo nucleo la barriera coulombiana sarebbe tale che
la probabilità è dell’ordine di 10-200!
Solo il nucleo di 4He possiede proprietà tali da permettergli di fuggire dal nucleo atomico: una grande stabilità dovuta ai suoi due numeri magici e una
22
carica elettrica sufficientemente debole per passare, attraverso effetto tunnel, la barriera di potenziale.
struttura fine
Esistenza di una struttura fine dovuta al fatto che il nucleo figlio, anziché essere generato direttamente nel suo
stato fondamentale, viene prodotto in uno dei sui possibili stati eccitati.
Il nucleo figlio passerà poi dallo stato eccitato allo
stato fondamentale emettendo uno o più raggi γ
212
Un nucleo può decadere α
anche quando non si trova nel
suo stato fondamentale.
Bi



208
1621 keV
1513 keV
Tl
  (5%)

727 keV

 (54%)

212
Po
0 keV

208
Pb
23
Decadimento beta
Col termine decadimento β intendiamo l’emissione spontanea da parte di un nucleo di
•un elettrone (decadimento β-)
•un positrone (decadimento β+)
Oppure la cattura di un elettrone atomico (Cattura Elettronica o E.C.)
Si tratta di un processo di interazione debole ed è preponderante tra i nuclei instabili.
n
p
p  e






p  e
n  e
n  e
 e
 e
decadiment o β decadiment o β 
Cattura Elettronic a
Se riscriviamo le precedenti in termini di nucleo atomico abbiamo:
A
Z
A
Z
A
Z
X

X
X
e






A
Z 1
A
Z 1
A
Z 1
Y
Y
Y
 e
 e
 e
 e
 e
decadiment o β decadiment o β 
Cattura Elettronic a
La trasformazione non comporta alcuna variazione del numero di massa A, e per questo motivo le trasformazioni sono
dette trasformazioni isobariche.
24
La disintegrazione beta:
A differenza del decadimento α, che essendo un decadimento a due
corpi emette la particella α sempre con la medesima energia (energia
monocromatica), l’elettrone nel decadimento β- condivide la propria
energia con il neutrino e quindi ne risulta uno spettro continuo
(Te ) max  Q  (a questo valore viene dato il nome di
con energia massima
end-point).
decadimento β-: avviene per quei nuclei in cui vi è un eccesso di neutroni
decadimento β+: avviene per quei nuclei in cui vi è un eccesso di protoni
β+
β-
Spettro del decadimento β, nel caso di emissione di positroni ed elettroni
25
Dalla formula di Weizsäcker
1
2
1
1 

M ( A, Z )  N  M n  Z  M p  Z  me   av  A  as  A 3  ac  Z 2  A 3  aa  ( N  Z ) 2  A1    A 2 
4


1
M ( A, Z )    A    Z    Z 2    A
1
2
Con
NUCLEI con A dispari
3
  aa   M n  M p  me 

MeV/c2
1
4
  M n  av  as  A  aa
aa  A1  ac  A
1
3
NUCLEI con A pari
MeV/c2
Beta instabile
BetaBeta
instabile
instabile
Stabile
Stabile
Stabile
dispari-dispari
pari-pari
+


-
+

-
Z-2
-
-
Z-1
+

Z
Z+1
Z+2
Z-2
Z-1
Z
Z+1
Z+2
26
Cinematica del decadimento β-:
masse nucleari
Q   (m X  mY  me ) c 2
Masse atomiche
Essendo:
MX
MY
 mX
 mY

Z  me
 ( Z  1)  me
Q   ( M X  M Y ) c 2
Se esprimiamo, M in unità di masse atomiche ed Q in MeV possiamo riscrivere la precedente equazione nel seguente modo:
Q   ( M X  M Y ) 931.502 [ MeV ]
Condizione necessaria e sufficiente affinché un decadimento β- possa avere luogo é che la massa atomica del nucleo padre sia superiore a
quella del nucleo figlio:
M X  MY
27
Cinematica del decadimento β+:
masse nucleari
Q   (m X  mY  me ) c 2
Masse atomiche
Essendo:
MX
MY
 mX
 mY

Z  me
 ( Z  1)  me
Q   ( M X  M Y  2me ) c 2
Se esprimiamo, M in unità di masse atomiche ed Q in MeV possiamo riscrivere la precedente equazione nel seguente modo:
Q   ( M X  M Y ) 931.502  1.022 [ MeV ]
Condizione necessaria e sufficiente affinché un decadimento β+ possa avere luogo é che la differenza delle due masse atomiche dei
nuclei padre e figlio sia superiore a due volte la massa dell’elettrone: .
( M X  M Y ) c 2  1022 keV
28
Schema del decadimento β- del 60Co.
60
Co




2626 keV
2506 keV


2159 keV


1333 keV
0 keV
60
Ni
Attualmente non esistono più radionuclidi emettitori β+, ma possono essere prodotti
artificialmente mediante reazioni nucleari. Unica eccezione è quella del 40K, il quale avendo un
periodo di dimezzamento (τ = 1.28 109 anni) confrontabile con l’età della terra (≈ 4.6 109 anni) è
“sopravvissuto” fino ai giorni nostri.
29
La cattura elettronica:
Se un nucleo presenta un eccesso di protoni ed ha un’energia di poco inferiore a 1022 keV, può
catturare un elettrone della shell atomica. (generalmente dall’orbita K)
A
Z
X e 
 Y   e

A
Z 1
I neutrini emessi durante il processo di cattura elettronica hanno tutti la stessa energia (neutrini monoenergetici).
57
Co
E.C.
706 keV
E.C. 
367 keV
E.C. 
136 keV
14 keV
0 keV
57
Fe
Schema di decadimento per cattura elettronica del 57Co.
30
L’emissione gamma E  h
Un nucleo formatosi in seguito ad un decadimento radioattivo può ritrovarsi nel suo stato fondamentale
oppure trovarsi in uno dei suoi stati eccitati.
Questo infatti dava ragione dell’esistenza di una struttura fine del decadimento α e β.
Come avviene per l’atomo, anche il nucleo si porterà nella configurazione più stabile emettendo
radiazione elettromagnetica corrispondente al salto energetico dei livelli interessati. A questa radiazione
elettromagnetica viene dato il nome di emissione gamma (o raggi γ).
60
Co

 

 
2626 keV
2506 keV

 
La transizione dagli stati eccitati allo stato fondamentale può avvenire
in una sola transizione dando in questo modo origine ad un fotone γ di
energia Eγ pari al salto energetico tra il livello eccitato e lo stato
fondamentale, o attraverso più transizioni intermedie, dando in questo
modo origine a diversi fotoni γ in cascata.
2159 keV


1333 keV
0 keV
60
Ni
Il numero di fotoni emessi non rispecchia il numero di nuclei decaduti: non possiamo parlare di decadimento gamma
31
Per l’emissione gamma, sia la massa atomica A che il numero atomico Z rimangono invariati;
si parla in questo caso di isomeria nucleare.
Anche l’emissione dei fotoni γ obbedisce alla legge del decadimento
esponenziale, ma a differenza dei decadimenti α e β, i tempi in gioco sono
dell’ordine di 10-15 secondi.
Esistono pero casi in cui il tempo di dimezzamento risulta essere superiore al
millesimo di secondo, in questo caso si parla di stato metastabile (lo stato
metastabile è detto anche stato isomerico)
Esempio di stato metastabile: protoattinio metastabile 234mPa (τ = 1.17 minuti)
nella catena naturale dell’238U.
CONVERSIONE INTERNA (I.C:) (processo in competizione con l’emissione γ )
Un nucleo può diseccitarsi ritrovando il suo stato fondamentale trasferendo direttamente la propria energia in
eccedenza direttamente agli elettroni atomici.
Emissione di un elettrone
E e   E  El
energia di eccitazione
energia di legame dell’elettrone orbitale
32
L’emissione di nucleoni
99
Per nuclei che si trovano lontano
dalla valle di stabilità.
In seguito ad un decadimento beta meno
Sr





Emissione di neutroni differiti
99
Y

n

99
Zr
98
Y
In seguito ad un decadimento beta più
Emissione di protoni differiti
33
L’origine della radiazione
Radiazione cosmica:
Raggi cosmici primari
Raggi cosmici secondari
Radioattività naturale:
Radionuclidi isolati
Famiglie radioattive naturali
Radioattività artificiale.
34
Scoperta all’inizio del XX secolo. V.F. Hess nel 1912 con una
camera a ionizzazione montata su un aerostato mostrò che la
radiazione aumentava con l’altitudine invece di diminuire.
Tale radiazione era esterna alla terra; un flusso di particelle
raggiunge le regioni più esterne dell’atmosfera e interagisce con
essa.
A questa radiazione venne dato il nome di radiazione cosmica (o
raggi cosmici), distinguendo tra raggi cosmici primari e raggi
cosmici secondari; questi ultimi vengono creati dalla
l’interazione dei raggi cosmici primari con l’atmosfera.
35
raggi cosmici primari
protoni (~ 90%)
nuclei di elio (~ 10%)
nuclei pesanti (tracce)
inoltre
elettroni relativistici
raggi X e gamma
neutrini (solari, da SN)
raggi cosmici secondari
mesoni π e k
muoni
elettroni e positroni
neutroni e protoni secondari
radiazione elettromagnetica
neutrini atmosferici
 
    
0 
   
 
 e  e  
36
Radionuclidi isolati
Di origine terrestre (sono radioisotopi con tempo di dimezzamento confrontabile con l’età dell’Universo)
Generati dalle interazioni dei raggi cosmici con l’atmosfera (es: 3H,
1
0
n 147N  126C  13H
1
0
n 147N  146C  11p
14C
ed 7Be)
37
Famiglie radioattive naturali
Tre radionuclidi con tempo di dimezzamento confrontabile con quello della terra decrescono originando dei
nuclei instabili che decadono a loro volta, creando, in questo modo, delle catene radioattive.
Famiglia dell’238U (abbondanza isotopica = 99.28 %) (τ = 4.49  109 anni)
Famiglia del 232Th (abbondanza isotopica = 100 %) (τ = 1.045  1010 anni)
Famiglia dell’235U (abbondanza isotopica = 0.72 %) (τ = 7.1  108 anni)
Caratterizziamo l’evoluzione temporale dell’attività degli elementi di una famiglia radioattiva
1
2
n 1
A 
B 
C ........... 

X
(stabile )
Il sistema di equazioni differenziali, dette equazioni di Bateman, che regola la sua evoluzione é il seguente:
dN1 (t )
dt
dN 2 (t )
dt
............
dN i (t )
dt
............
dN N (t )
dt
  1 N1 (t )
  2 N 2 (t )
 1 N1 (t )
  i N i (t )
 i 1 N i 1 (t )

 N 1 N N 1 (t )
dove Ni(t) é il numero di nuclei dell’i-esimo elemento
al tempo t, e λi é la costante di disintegrazione
associata.
38
Nell’ipotesi che N0i = 0 per i = 2,3, .... N le soluzioni sono:
N 1 (t )
 N 01 exp( 1t )
N 2 (t )
 N 01
.......
N i (t )
1
2  1
[exp( 1t )  exp( 2 t )]
exp( k t )
exp( 1t )
 .... 
 ..
( 2  1 )...( i  1 )
( 1  k )...( k 1  k )( k 1  k )...( i  k )
exp( i t )
.. 
]
( 1  i )...( i 1  i )
 N 011 ..i 1 [
.......
N N (t )  N 011 .. N 1 [
exp(  N 1t )
exp( 1t )
 .... 
]  N 01
1 (2  1 )...( N 1  1 )
N 1 (1   N 1 )...(  N 2   N 1 )
L’elemento i-esimo assente all’istante t = 0 si forma per decadimento degli elementi che lo precedono
nella catena fino a raggiungere l’attività del padre per poi superarla, ed una volta raggiunta la condizione
di regime t >> θ1, varia nel tempo con la vita media di quest’ultimo.
L’i-esimo
elemento,
raggiunge
l’equilibrio del padre, e si comporta
come se avesse la stessa attività é
quindi possibile capire come esistano
radionuclidi naturali che hanno una
vita media molto più piccola dell’età
dell’Universo.
Evoluzione temporale dell’attività
39
40
Radionuclidi prodotti dall’attività umana, in seguito agli esperimenti nucleari negli anni cinquanta e
sessanta, e per gli incidenti avvenuti alle centrali nucleari essenzialmente quelli di Three Mile Island e
di Tchernobyl.
Principali radionuclidi di origine artificiale
41
Bibliografia
H. Henge, Introduction to nuclear physics, Addison-Wesley, London, 1970.
R.D. Evans, The atomic nucleus, McGraw-Hill, New York, 1967.
B. Povh et al., Particelle e Nuclei, Bollati-Boringhieri editore 1998
L. Miramonti, Radioattività e Interazione della radiazione con la materia. Edizioni CUSL Milano 2001.
42