Modulo di Laboratorio di Fisica Ivan Veronese Dipartimento di Fisica Edificio LITA - 5° piano Via Celoria 16, Milano e-mail: [email protected] Organizzazione del corso di Fisica e Laboratorio di Fisica AA 2012/2013 Modulo di Fisica Docente E-PA Prof. Paris Matteo 6 CFU Modulo di Laboratorio di Fisica Docente E-PA Prof. Veronese Ivan 3 CFU Modulo di Laboratorio di Fisica Lezioni in Aula (dicembre-gennaio): - Elementi di Statistica Applicata Esperienza di Laboratorio (aprile-giugno, 4 pomeriggi): - Applicazione pratica degli strumenti di teoria degli errori (esperimenti di elettrolisi) Lezioni in Aula (2° semestre): - corrente e circuiti a corrente continua; onde meccaniche e elettromagnetiche; ottica; cenni di fisica moderna Lezioni in Aula di dicembre-gennaio: Data Ora Aula gio 13/12/2012 12.30-14.30 V3 mar 18/12/2012 12.30-14.30 V3 gio 20/12/2012 12.30-14.30 V3 mar 8/1/2013 12.30-14.30 V3 gio 10/1/2013 12.30-14.30 V3 mar 15/1/2013 12.30-14.30 V3 gio 17/1/2013 12.30-14.30 V3 Lezioni primo semestre: programma Richiami ai concetti già introdotti nel Modulo di Laboratorio di Metodi Matematici e Statistici (Prof.ssa Elena Villa) • Il concetto di errore di una misura • Media, deviazione standard e deviazione standard della media • Le cifre significative • La propagazione degli errori • La distribuzione normale (gaussiana) e compatibilità • Media pesata • Relazioni funzionali (minimi quadrati) ESEMPI ED ESERCIZI INTRODUZIONE ALL’ESPERIENZA DI LABORATORIO Ammissione al laboratorio: ISCRIZIONE PRESSO I TERMINALI SIFA: 7/1/2013-20/1/2012 (vedi avviso) INFORMAZIONI PRATICHE: • TESTI CONSIGLIATI: Analisi degli errori sperimentali di laboratorio Autori: Miramonti, Perini, Veronese; Editore: EDISES Introduzione all’analisi degli errori Autore: John R. Taylor; Editore: Zanichelli Principi di fisica Autori: Serway Raymond A. - Jewett John W.; Editore: EDISES • CALCOLATRICE SCIENTIFICA INFORMAZIONI PRATICHE: SITI DI RIFERIMENTO: http://users.unimi.it/veronese/didattica.htm http://ariel.unimi.it Modalità di esame: - VALUTAZIONE DEL LABORATORIO - COMPITO SCRITTO FINALE ERRORE DI UNA MISURA E SUA RAPPRESENTAZIONE: Il risultato di una qualsiasi misura sperimentale è costituito da un valore numerico x (con la rispettiva unità di misura) ed un errore (incertezza) x, che indica il “grado di confidenza” che abbiamo sul risultato trovato. Scriveremo quindi il risultato come: x± x La procedura per stimare x dipende da come si è ricavato/misurato x. L’incertezza di una misura si può esprimere anche in termini di: errore relativo: x x errore percentuale: 100 x x ERRORE DI UNA MISURA E SUA RAPPRESENTAZIONE: Esempi: Diametro di una cellula: (15±3) m Errore relativo: 3/15 =0.2 (senza unità di misura) Errore percentuale: 100 * 3/15= 20% (senza unità di misura) Temperatura corporea: (36.4±0.4) °C Errore relativo: 0.4/36.4 ≈ 0.01 (senza unità di misura) Errore percentuale: 100 * 0.4/36.4 ≈ 1% (senza unità di misura) Massa di una sfera: (400±4) g Errore relativo: 4/400=0.01 Errore percentuale: 1% NON CONFONDERE L’ERRORE RELATIVO (O PERCENTUALE) CON L’ERRORE ASSOLUTO!! Un’automobile da corsa viaggia alla velocità di 200 km/h. Se tale velocità è misurata con un errore del 2%, dire quale è l’errore assoluto sulla velocità. velocità: 200± ?? km/h velocità: 200± 0.02 km/h velocità: 200± 4 km/h NO !! SI !! NON CONFONDERE L’ERRORE RELATIVO (O PERCENTUALE) CON L’ERRORE ASSOLUTO!! Si misura la temperatura di un forno e si trova T=150°C. Se tale temperatura è misurata con un errore relativo di 0.04 dire quale è l’errore assoluto sulla temperatura. temperatura: 150± ?? °C temperatura: 150± 0.04 °C temperatura: 150± 6 °C NO !! SI !! CLASSIFICAZIONE DEGLI ERRORI: ERRORI STATISTICI (o CASUALI) ERRORI SISTEMATICI Sono gli errori inevitabili nelle misure, effetto di fluttuazioni casuali che determinano una dispersione simmetrica del valore misurato attorno al valore vero. E’ ciò di cui ci occuperemo. Sono gli errori che modificano il risultato della misura sistematicamente in una direzione. Possono derivare da una cattiva taratura dello strumento, o dall’effetto di qualche variabile esterna (tipo temperatura, pressione, condizione di utilizzo dello strumento). Dagli errori casuali dipende la PRECISIONE della misura Dagli errori sistematici dipende la ACCURATEZZA della misura PRECISIONE E ACCURATEZZA: Valore vero Dati molto “sparpagliati” ma in modo simmetrico rispetto al valore vero MISURA POCO PRECISA MA ACCURATA Singole misure effettuate Dati poco dispersi e simmetrici rispetto al valore vero MISURA PRECISA ED ACCURATA Dati poco dispersi ma “lontani” rispetto al valore vero MISURA PRECISA MA NON ACCURATA PRECISIONE E ACCURATEZZA: xxx xx x x x x xxx xx x MISURA PRECISA MA NON ACCURATA MISURA POCO PRECISA MA ACCURATA MISURA PRECISA ED ACCURATA PRECISIONE E ACCURATEZZA: Esempio: Misura della costante di Faraday da parte di quattro gruppi di studenti. Vediamo chi è preciso e accurato Valore vero: F=96485 C/mol Gruppo Valore misurato 1 130000±4000 2 96000±9000 3 96500±300 4 125800±200 Il gruppo 3 è l’unico ad essere sia accurato che preciso, il gruppo 2 è accurato ma poco preciso, il gruppo 1 invece non è né accurato né preciso. Infine il gruppo 4 è preciso ma non accurato. SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA Spesso la misura di una grandezza viene ripetuta più volte, ottenendo valori anche tra loro diversi. N misure che danno i seguenti valori: x1, x2, x3, ….xN La grandezza che meglio esprime il risultato trovato è la MEDIA ARITMETICA: Media aritmetica: Esempio: x i 1 8 x x1 x2 x3 ...x N N x i 1 i N N Otto misure di un intervallo di tempo. Risultati: 3.1 s ; 3.0 s; 2.8 s; 3.1 s; 2.7 s; 3.2 s; 2.8 s; 2.9 s xi 3.1 3.0 2.8 3.1 2.7 3.2 2.8 2.9 23.6 2.95 s 8 8 8 SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA Oltre al valore medio è importante avere una grandezza che mi esprima quanto i vari dati sono diversi tra loro e fornisca quindi una indicazione sulla precisione della misura. Tale grandezza è la DEVIAZIONE STANDARD: N Deviazione standard: Sx 2 ( x x ) i i 1 ( N 1) Esempio: N Sx (x x) i 1 i ( N 1) S x 0.17728 2 3.1 2.952 3.0 2.952 2.8 2.952 3.1 2.952 2.7 2.952 3.2 2.952 2.8 2.952 2.9 2.952 7 SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA La deviazione standard fornisce l’incertezza associata alla singola misura xi. Il fatto di ripetere la misura più volte permette di ridurre l’incertezza sul risultato finale (cioè sulla MEDIA). L’incertezza associata alla media è la DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA: N Deviazione standard della media: Sx 2 ( ) x x i i 1 N ( N 1) Sx N N Esempio: Sx (x x) i 1 2 i N ( N 1) 0.17728 Sx 0.06268 8 N SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA Esempio: Dodici misure di una grandezza. Risultati: 3.0; 3.2; 2.9; 3.1; 3.3; 2.9; 3.0; 3.0; 3.1; 3.1; 3.0; 3.0 xi 36.6 x i 1 3.05 N 12 N N Sx (x x) i 1 2 i ( N 1) 0.15 0.0136 0.117 11 Sx 0.117 0.034 N 12 N Sx (x x) i 1 2 i N ( N 1) Attenzione: Facendo i conti con la calcolatrice evitare le approssimazioni intermedie che possono falsare il risultato finale. SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA CALCOLATRICE: La quasi totalità delle calcolatrici scientifiche permette di impostare delle funzioni per il calcolo della media e della deviazione standard una volta introdotti i singoli valori. In genere non effettuano il calcolo della deviazione standard della media ma, una volta ottenuta la deviazione standard questo calcolo è banale (basta dividere per la radice quadrata del numero di misure) Si tratta solo di imparare ad usarle bene, possibilmente studiando il libretto delle istruzioni. Così facendo si riducono i tempi per i calcoli e la correttezza del risultato è assai più probabile! Anche comuni software (es. Excell) permettono facilmente questi calcoli CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE Definiamo cifre significative quelle cifre che esprimono realmente il risultato di una misura, o del suo errore, cioè che non sono completamente incluse nell’intervallo di incertezza dovuto all’errore. In altri termini non risultano significative le cifre che sono “piccole” rispetto al valore dell’errore. Benché esistano regole più o meno pratiche per definire se una cifra può essere considerata significativa, è innanzitutto bene usare il buon senso. Esempio: Supponiamo che il risultato di una serie di misure dia come risultato: 12459 ± 6740 Essendo l’errore dell’ordine delle migliaia, le cifre indicanti le centinaia, le decine e le unità non sono significative e non vanno pertanto esplicitate. Di conseguenza il valore 6740 diverrà 7000 e analogamente anche il valore 12459 dovrà essere approssimato alle migliaia diventando così 12000. Presenteremo allora il risultato nella forma: 12000 ± 7000 CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO: LE CIFRE SIGNIFICATIVE Esempi: 112859 ± 6240 731 ± 23 113000 ± 6000 730 ± 20 1096 ± 364 1100 ± 400 7.853 ± 0.482 7.9 ± 0.5 2.95 ± 0.06268 2.95 ± 0.06 3.05 ± 0.034 3.05 ± 0.03 3.05 ± 0.0034 3.050 ± 0.003 (facendo i pignoli …) Esercizio Si misura la lunghezza d’onda di una riga spettrale nell’intervallo delle microonde e si trovano i seguenti valori, espressi in nanometri: 36400 36300 36400 36200 36100 36710 Trovare la miglior stima della lunghezza d’onda con il suo errore, utilizzando il corretto numero di cifre significative. Stimare inoltre la precisione dell’apparato di misura usato. i xi 1 36400 2336.079 x 2 36300 2669.479 La deviazione standard, che fornisce la stima della precisione, si ricava come: 3 36400 2336.079 ( xi x ) 2 4 36200 23002.879 5 36100 63336.279 6 36710 128402.539 218110 222083.334 N i 1 Applicando le formule della media, troviamo: 218110 36351.667 6 N Sx (x x) i 1 i ( N 1) 2 L’errore sulla media : 222083.334 210.75 5 Sx Sx 210.75 86 N 6 La miglior stima della lunghezza d’onda quindi è: 36350 ± 90 nanometri Esercizio Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo ognuno 8 misure: A) 35.3 35.6 34.9 35.3 35.2 35.4 35.2 34.8 B) 34.9 35.1 35 35.2 35.1 34.9 35 35 Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello trovato in 8 misure col metodo più preciso. La precisione è data dalla deviazione standard: N SA (x x) i 1 N 2 i ( N 1) 0.2588 SB (x x) i 1 i ( N 1) 2 0.1035 Dal confronto tra le due precisioni si vede che il metodo B è quello più preciso. L’errore sulla SB 0.1035 media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a: SB N 8 Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un numero N’ di misure tale da avere: S S S A SB A B N' 8 S N ' 8 A SB 2 N ' 50 Esercizio Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo ognuno 8 misure: A) 35.3 35.6 34.9 35.3 35.2 35.4 35.2 34.8 B) 34.9 35.1 35 35.2 35.1 34.9 35 35 Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello trovato in 8 misure col metodo più preciso. ATTENZIONE La precisione è data dalla deviazione standard: ALLE APPROSSIMAZIONI: se avessimo calcolato N’ utilizzando come N N 2 ( xi x ) precisioni0.3 ( xi e x0.1 ) 2 (cioè la rappresentazione 0.2588 delle S A i 1 SA e i 1 0S.1035 S Bprecisioni B con le corrette cifre ( N 1) 1) significative( Navremmo trovato un numero N’ ugualeB aè quello 72! più preciso. L’errore sulla Dal confronto tra le due precisionimaggiore si vede che o il metodo media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a: SB 0.1035 SB N 8 Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un numero N’ di misure tale da avere: S S S A SB A B 8 N' S N ' 8 A SB 2 N ' 50 RIASSUMENDO Ad ogni misura è associato un errore (errore assoluto), che può essere espresso anche in termini di errore relativo o percentuale Quando si hanno misure ripetute il risultato è espresso come MEDIA, a cui è associato come errore la DEVIAZIONE STANDARD della MEDIA. L’errore sulla singola misura, che fornisce anche la stima della PRECISIONE della misura stessa, è data dalla DEVIAZIONE STANDARD E’ importante rappresentare il risultato finale con il corretto numero di CIFRE SIGNIFICATIVE Le approssimazioni vanno però fatte solo alla fine mentre è bene considerare tutte (o molte) cifre durante lo svolgimento dei calcoli, altrimenti si può arrivare ad un risultato finale falsato. Per questo è importante sapere usare bene la calcolatrice Esercizio Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative 96456.87 ± 503.02 0.457 ± 0.073 23.11 ± 2.3 0.00459 ±0.00077 4.15 ± 0.0482 1304 ± 38 44.568 ± 0.022 Esercizio Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative 96456.87 ± 503.02 0.457 ± 0.073 23.11 ± 2.3 0.00459 ±0.00077 4.15 ± 0.0482 1304 ± 38 44.568 ± 0.022 96500 ± 500 0.46 ± 0.07 23 ± 2 0.0046 ± 0.0008 4.15 ± 0.05 1300 ± 40 44.57 ± 0.02 Esercizio Uno studente cronometra il lasso di tempo che intercorre tra due eventi ripetendo la misura 6 volte trovando i seguenti valori: 7.6 s 7.9 s 8.1 s 7.8 s 8.3 s 7.9 s Dopo aver calcolato la media e il suo errore dire quante misure si dovrebbero eseguire per ottenere un errore 3 volte più piccolo. Applicando le formule della media, troviamo: 2 xi ( xi x ) 47.6 x 7.9333 La deviazione standard è: 6 N i 1 7.6 2 7.9 0.1111 0.0011 3 8.1 0.0278 4 7.8 0.0178 5 8.3 0.1344 6 7.9 0.0011 47.6 0.2933 N i 1 Sx (x x) i 1 2 i ( N 1) La deviazione standard della media è: 0.2933 0.2422 5 Sx Sx 0.2422 0.0989 6 N La miglior stima dell’intervallo di tempo quindi è: 7.9 ± 0.1 s Per avere un errore sulla media 3 volte più piccolo, visto che la precisione resta la stessa, è necessario un maggior numero di misure N’ tale per cui: S 'x Sx 3 Sx 1 S x N' 3 N N ' 9 N 9 6 54
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