Organizzazione del corso di Fisica e
Laboratorio di Fisica
AA 2010/2011
Modulo di Fisica
Docente E-PA Prof. Paris Matteo
6 CFU
Modulo di Laboratorio di Fisica
Docente E-PA Prof. Veronese Ivan
3 CFU
CONTATTI E RICEVIMENTO:
lun. 14.30-15.30 (Dipartimento di Fisica, V Piano – Edificio LITA)
[email protected]
N.B. UTILIZZARE IL VOSTRO INDIRIZZO EMAIL DI UNIMI
Modulo di Laboratorio di Fisica
Lezioni in Aula (gen - feb):
- Elementi di Statistica Applicata
Esperienza di Laboratorio
(marzo-giugno, 3 pomeriggi):
- Applicazione degli strumenti di teoria degli errori tramite
esperimenti di elettrolisi
Lezioni in Aula (2° semestre):
- corrente e circuiti a corrente continua; onde meccaniche
e elettromagnetiche; ottica; cenni di fisica moderna
Lezioni in Aula di gen-feb (orario):
Data
Ora
Aula
Mar 25/01/2011
12.30-14.30
208
Ven 28/01/2011
8.30-10.30
V1
Mar 01/02/2010
12.30-14.30
208
Ven 04/01/2010
8.30-10.30
V1
Lezioni in Aula di gen-feb (programma):
Richiami ai concetti già introdotti nel Modulo di
Laboratorio di Metodi Matematici e Statistici
(Prof. Giacomo Aletti)
• Il concetto di errore di una misura
• Media, deviazione standard e deviazione standard della media
• Media pesata
• Le cifre significative
• La propagazione degli errori
• La distribuzione normale (gaussiana) e compatibilità
ESEMPI ED ESERCIZI
Ammissione al laboratorio:
Iscrizione presso i terminali SIFA
(dal 17/01/2011 al 30/01/2011)
per gli studenti del primo anno  avviso
Per gli studenti degli anni precedenti contattare il
docente una volta pubblicizzato il calendario con i turni
COMPITO DI AMMISSIONE AL
LABORATORIO
17 Febbraio 2011 (MATTINA)
28 Febbraio 2011 (MATTINA)
INFORMAZIONI PRATICHE:
• TESTI CONSIGLIATI:
Analisi degli errori sperimentali di laboratorio
Autori: Miramonti, Perini, Veronese; Editore: EDISES
Introduzione all’analisi degli errori
Autore: John R. Taylor; Editore: Zanichelli
Principi di fisica
Autori: Serway Raymond A. - Jewett John W.; Editore:
EDISES
• CALCOLATRICE SCIENTIFICA
INFORMAZIONI PRATICHE:
SITI DI RIFERIMENTO:
http://users.unimi.it/veronese/didattica.htm
http://ariel.unimi.it
INFORMAZIONI PRATICHE:
MODALITA’ DI ESAME (modulo di LABORATORIO DI FISICA):
- Compito di ammissione al laboratorio
- Svolgimento del laboratorio (scheda)
- Compito scritto conclusivo
Esercizi/domande sugli argomenti di teoria della misura (svolgendo
bene il laboratorio e compilando bene la scheda di laboratorio gli
esercizi saranno immediati….)
Esercizi/domande sugli argomenti di fisica trattati alla fine del
secondo semestre (correnti e ottica)
ERRORE DI UNA MISURA E SUA
RAPPRESENTAZIONE:
Il risultato di una qualsiasi misura sperimentale è costituito da un
valore numerico x (con la rispettiva unità di misura) ed un errore
(incertezza) dx, che indica il “grado di confidenza” che abbiamo sul
risultato trovato.
Scriveremo quindi il risultato come:
x± d
x
La procedura per stimare dx dipende da come si è ricavato/misurato x.
L’incertezza di una misura si può esprimere anche in termini di:
errore relativo:
dx
x
errore percentuale: 100 
dx
x
ERRORE DI UNA MISURA E SUA
RAPPRESENTAZIONE:
Esempi:
Diametro di una cellula: (15±3) mm
Errore relativo: 3/15 =0.2 (senza unità di misura)
Errore percentuale: 100 * 3/15= 20% (senza unità di misura)
Temperatura corporea: (36.4±0.4) °C
Errore relativo: 0.4/36.4 ≈ 0.01 (senza unità di misura)
Errore percentuale: 100 * 0.4/36.4 ≈ 1% (senza unità di misura)
Massa di una cellula: (1.0±0.1) ng
Errore relativo: 0.1
Errore percentuale: 10%
CLASSIFICAZIONE DEGLI ERRORI:
ERRORI STATISTICI
(o CASUALI)
ERRORI SISTEMATICI
Sono gli errori inevitabili
nelle misure, effetto di
fluttuazioni casuali che
determinano una
dispersione simmetrica
del valore misurato
attorno al valore vero. E’
ciò di cui ci occuperemo.
Sono gli errori che
modificano il risultato della
misura sistematicamente in
una direzione. Possono
derivare da una cattiva
taratura dello strumento, o
dall’effetto di qualche
variabile esterna (tipo
temperatura, pressione,
condizione di utilizzo dello
strumento).
Dagli errori casuali
dipende la PRECISIONE
della misura
Dagli errori sistematici
dipende la ACCURATEZZA
della misura
PRECISIONE E ACCURATEZZA:
Valore
vero

Dati molto
“sparpagliati”
ma in modo
simmetrico
rispetto al
valore vero
MISURA POCO
PRECISA MA
ACCURATA
Singole
misure
effettuate

Dati poco
dispersi e
simmetrici
rispetto al
valore vero
MISURA
PRECISA ED
ACCURATA

Dati poco
dispersi ma
“lontani”
rispetto al
valore vero
MISURA
PRECISA MA
NON ACCURATA
PRECISIONE E ACCURATEZZA:
xxx
xx
x
x
x
x
xxx
xx
x
MISURA
PRECISA MA
NON ACCURATA
MISURA POCO
PRECISA MA
ACCURATA
MISURA
PRECISA ED
ACCURATA
PRECISIONE E ACCURATEZZA:
Esempio:
Misura della costante di Faraday da parte di quattro
gruppi di studenti. Vediamo chi è preciso e accurato
Valore vero:
F=96485 C/mol
Gruppo
Valore misurato
1
130000±4000
2
96000±9000
3
96500±300
4
125800±200
Il gruppo 3 è l’unico ad essere sia accurato che preciso, il gruppo 2 è
accurato ma poco preciso, il gruppo 1 invece non è né accurato né preciso.
Infine il gruppo 4 è preciso ma non accurato.
SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E
DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA
Spesso la misura di una grandezza viene ripetuta più volte, ottenendo
valori anche tra loro diversi.
N misure che danno i seguenti valori: x1, x2, x3, ….xN
La grandezza che meglio esprime il risultato trovato è la MEDIA ARITMETICA:
Media aritmetica:
Esempio:
x  i 1
8
x
x1  x2  x3  ...x N
N x
 i 1 i
N
N
Otto misure di un intervallo di tempo. Risultati:
3.1 s ; 3.0 s; 2.8 s; 3.1 s; 2.7 s; 3.2 s; 2.8 s; 2.9 s
xi 3.1  3.0  2.8  3.1  2.7  3.2  2.8  2.9 23.6


 2.95 s
8
8
8
SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E
DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA
Oltre al valore medio è importante avere una grandezza che mi esprima
quanto i vari dati sono diversi tra loro e fornisca quindi una indicazione
sulla precisione della misura.
Tale grandezza è la DEVIAZIONE STANDARD:
N
Deviazione standard:
Sx 
2
(
x

x
)
 i
i 1
( N  1)
Esempio:
N
Sx 
 (x  x)
i 1
i
( N  1)
S x  0.17728
2

3.1  2.952  3.0  2.952  2.8  2.952  3.1  2.952  2.7  2.952  3.2  2.952  2.8  2.952  2.9  2.952
7
SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E
DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA
La deviazione standard fornisce l’incertezza associata alla singola misura xi.
Il fatto di ripetere la misura più volte permette di ridurre l’incertezza sul
risultato finale (cioè sulla MEDIA).
L’incertezza associata alla media è la DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA:
N
Deviazione standard
della media:
Sx 
2
(
x

x
)
 i
i 1
N  ( N  1)

Sx
N
N
Esempio:
Sx 
 (x  x)
i 1
2
i
N  ( N  1)

Sx
0.17728

 0.06268
N
8
SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E
DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA
Esempio:
Dodici misure di una grandezza. Risultati:
3.0; 3.2; 2.9; 3.1; 3.3; 2.9; 3.0; 3.0; 3.1; 3.1; 3.0; 3.0
xi 36.6
x  i 1 
 3.05
N
12
N
N
Sx 
 (x  x)
i 1
2
i
( N  1)

0.15
 0.0136  0.117
11

Sx
0.117

 0.034
N
12
N
Sx 
 (x  x)
i 1
2
i
N  ( N  1)
Attenzione:
Facendo i conti con la calcolatrice evitare le
approssimazioni intermedie che possono
falsare il risultato finale.
SERIE DI MISURE: MEDIA, DEVIAZIONE STANDARD E
DEVIAZIONE STANDARD DELLA MEDIA
CALCOLATRICE:
La quasi totalità delle calcolatrici scientifiche (ora economiche) ha già
impostate delle funzioni che permettono il calcolo della media e della
deviazione standard una volta introdotti i singoli valori.
In genere non effettuano il calcolo della deviazione standard della
media ma, una volta ottenuta la deviazione standard questo calcolo è
banale (basta dividere per la radice quadrata del numero di misure)
Si tratta solo di imparare ad usarle bene, possibilmente studiando
il libretto delle istruzioni. Così facendo si riducono i tempi per i
calcoli e la correttezza del risultato è assai più probabile!
Anche comuni software (es. Excell) permettono facilmente questi calcoli
LE MEDIE PESATE:
Spesso una grandezza può essere misurata con metodi differenti (aventi
precisioni diverse), oppure da diversi sperimentatori mediante misure ripetute.
Si avranno pertanto a disposizione vari risultati nella forma:
 x1  d 1
x  d
2
 2
 x3  d 3

...
...

 x N  d N
Si può dimostrare che la miglior stima della grandezza si ricava
considerando tutte queste determinazioni come:
N
X best 
compatibili
Errore della
media pesata:
Media pesata:
xi
d
i 1
N
1
d
i 1
2
i
2
i
dX
best

1
N
1
d
i 1
2
i
LE MEDIE PESATE:
Esplicitiamo la formula della media pesata:
N
X best 
xi
d
2
i 1
i
N
1
d
i 1
x1

d
2
1
1
d12
2
i


x2
d
2
2
1
d 22


x3
d
2
3
1
d 32
 .... 
 .... 
xN
d N2
1
d N2
Esplicitiamo la formula dell’errore della media pesata:
dX
b est

1
d
2
1

1
d
2
2

1
1
d
2
3
 ..... 
1
d N2
LE MEDIE PESATE:
Osservazioni:
Il valore della media pesata (così come quello della media aritmetica) è
sempre compreso tra il minimo e il massimo delle misure considerate
L’errore della media pesata è sempre minore del più piccolo degli errori delle
misure considerate
La formula della media pesata si riduce a quella della media aritmetica nel
caso in cui gli errori sono tutti uguali tra loro
LE MEDIE PESATE:
Esempio:
Quattro gruppi di studenti misurano con quattro differenti metodi la massa di rame
depositata sul catodo in seguito ad una elettrolisi con solfato di rame, e trovano i
seguenti valori, espressi in mg:
10.3  0.3 9.8  0.1 10.5  0.5 9.9  0.4
Calcoliamo la miglior stima della massa e la sua incertezza
N
di
xi
xi
1
d i2
10.3
0.3
9.8
0.1
11.11
100
d i2
114.433
X best 
10.5
0.5
4
42
9.9
0.4
6.25
6.1875
d
i 1
N
X best
dX
2
i
best

1
d
i 1
980
xi
dX
best
N
i 1
121.36
1198.308
1
d
2
i
1

 0.091
121.36
Tenendo conto delle cifre significative:

N
i 1
2
i
1198.308

 9.874
121.36
1
9.87  0.09
LE MEDIE PESATE:
Esempio:
10.3  0.3 9.8  0.1 10.5  0.5 9.9  0.4
Media pesata:
9.87  0.09
Se si trascurano gli errori e si calcola la media aritmetica e la deviazione standard della media:
Applicando le formule della media: x 
( xi  x ) 2
i
xi
1
10.3
0.030625
2
9.8
0.105625
40.5
 10.125
4
Media aritmetica:
La deviazione standard della media:
10.1  0.2
Sx 
0.3275
 0.165
43
Media aritmetica
3
10.5
0.140625
Media pesata
4

N
i 1
9.9
0.050625
40.5
0.3275
CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO:
LE CIFRE SIGNIFICATIVE
Definiamo cifre significative quelle cifre che esprimono realmente il risultato
di una misura, o del suo errore, cioè che non sono completamente incluse
nell’intervallo di incertezza dovuto all’errore. In altri termini non risultano
significative le cifre che sono “piccole” rispetto al valore dell’errore.
Benché esistano regole più o meno pratiche per definire se una cifra può
essere considerata significativa, è innanzitutto bene usare il buon senso.
Esempio:
Supponiamo che il risultato di una serie di misure dia come risultato:
12459 ± 6740
Essendo l’errore dell’ordine delle migliaia, le cifre indicanti le centinaia, le
decine e le unità non sono significative e non vanno pertanto esplicitate.
Di conseguenza il valore 6740 diverrà 7000 e analogamente anche il valore
12459 dovrà essere approssimato alle migliaia diventando così 12000.
Presenteremo allora il risultato nella forma:
12000 ± 7000
CORRETTA RAPPRESENTAZIONE DI UN RISULTATO:
LE CIFRE SIGNIFICATIVE
Esempi:
112859 ± 6240
731 ± 23
113000 ± 6000
730 ± 20
1096 ± 364
1100 ± 400
7.853 ± 0.482
7.9 ± 0.5
2.95 ± 0.06268
2.95 ± 0.06
3.05 ± 0.034
3.05 ± 0.03
3.05 ± 0.0034
3.050 ± 0.003
Esercizio
Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative
96456.87 ± 503.02
0.457 ± 0.073
23.11 ± 2.3
0.00459 ±0.00077
4.15 ± 0.0482
1304 ± 38
44.568 ± 0.022
Esercizio
Esprimere i risultati seguenti con il corretto numero di cifre significative
96456.87 ± 503.02
0.457 ± 0.073
23.11 ± 2.3
0.00459 ±0.00077
4.15 ± 0.0482
1304 ± 38
44.568 ± 0.022
96500 ± 500
0.46 ± 0.07
23 ± 2
0.0046 ± 0.0008
4.15 ± 0.05
1300 ± 40
44.57 ± 0.02
RIASSUMENDO
Ad ogni misura è associato un errore (errore assoluto), che può
essere espresso anche in termini di errore relativo o percentuale
Quando si hanno misure ripetute il risultato è espresso come MEDIA,
a cui è associato come errore la DEVIAZIONE STANDARD della
MEDIA. L’errore sulla singola misura, che fornisce anche la stima
della PRECISIONE della misura stessa, è data dalla DEVIAZIONE
STANDARD.
Quando si hanno a disposizione varie misure di una stessa
grandezza, ognuna con una sua incertezza, è bene esprimere il
risultato finale come MEDIA PESATA
E’ importante rappresentare il risultato finale con il corretto numero di
CIFRE SIGNIFICATIVE
Le approssimazioni vanno però fatte solo alla fine mentre è bene
considerare tutte (o molte) cifre durante lo svolgimento dei calcoli,
altrimenti si può arrivare ad un risultato finale falsato. Per questo è
importante sapere usare bene la calcolatrice