Epistemologia delle scienze
naturali 09-10 (II Sem.)
La natura del Tempo e la teoria della
relatività di Einstein
Francesco Orilia
Lez. 13
17/3/10
ANNUNCIO
• RINVIATO CORSO DI ECCELLENZA DI CRISTINA
BICCHIERI
Nota
• Sulle equazioni di Maxwell come motivazione per Einstein vedi n.
37, p. 283 in Dorato
• Si noti che, contrariamente ad Aristotele (per il quale un qualsiasi
stato di moto non è la condizione "naturale" e ha dunque bisogno
di una spiegazione), per Galileo il moto rettilineo uniforme è
"naturale" tanto quanto lo stato di quiete, non ha bisogno di
spiegazione
• Ma tale equivalenza tra moto e quiete è postulabile proprio perché
viene riscontrata l'invarianza delle leggi fisiche
• Quindi, poter mantenere tale invarianza anche al cospetto delle
equazioni di Maxwell significa poter continuare a considerare
"naturale" il moto rettilineo uniforme, risparmiandosi così la
necessità di cercare una spiegazione (causa) per un tale stato (v.
Dorato p. 213)
Trasformazioni di Lorentz
•
•
•
•
•
•
Abbiamo visto la volta scorsa che
x' = (x -Vt)
x = (x' + Vt')
x = ct
x' = ct'
Risolvendo questo sistema di equazioni (metterò
il file con la dimostrazione in rete), si ottiene:
•  = 1/F (dove "F" abbrevia: 1  Vc )
• x' = x-Vt/F
• t' = (t - Vx/c2)/F
2
2
Trasformazioni di Lorentz (cont.)
2
• Assumendo sempre che "F" abbrevia
, le
trasformazioni di Lorentz sono quindi queste:
• x' = (x- Vt)/F
• y' = y
• z' = z
• t' = (t - (V/c2)x)/F
• L'ultima in particolare ci dice che si misura un
tempo differente nei due sistemi K e K'
1V
c2
Conseguenze delle trasformazioni
di Lorentz
la meccanica newtoniana approssima
la relatività speciale
• Ricordiamo che x' = (x -Vt), x = (x' + Vt')
• Abbiamo trovato che  = 1/ 1  Vc
• Questo significa che per velocità molto più piccole di
quella della luce  si avvicina a 1.
• Più in generale, per tali velocità, le trasformazioni di
Lorentz approssimano quelle di Galileo.
• In questo senso, la meccanica newtoniana approssima
la relatività speciale finché rimaniamo a basse velocità
(Bourne, p. 150, Toraldo di Francia, p. 175.)
• Ma, per es., per una velocità di 240.000 km al sec.
otteniamo  = 1/radice di 0,36, ossia 1/0,6 = 1,66 (Vedi
Davies, I misteri del tempo, 1995, p. 54)
2
2
Dilatazione dei tempi
2
• Poniamo sempre F =
c
• Supponiamo che l'osservatore in K' misuri il tempo tra due eventi
successivi a t'1 e t'2 nel punto x' = 0 di K' (all'origine del sistema di
riferimento e dunque x' = 0).
• Troverà un tempo T' = t'1 - t'2.
• Dalla prima trasformazione di Lorentz (x' = (x- Vt)/F) con x' = 0, si
ottiene x = Vt (perché 0 . F = 0 = x - Vt = ).
• Sostituendo questo valore nell'ultima trasformazione otteniamo
• t' = (t - (V/c2) Vt)/F
• Ossia, t' = t(1 - (V/c2)V)/F
• Semplificando (n/n = n), otteniamo:
• t' = tF
• E dunque:
• t = t'/F
1V
2
Abbiamo ricavato:
• t = t'/F (Per F = 1  Vc )
• Allora, se K nota il primo evento a t1 ed il secondo a t2, per lui
l'intervallo T = t2 - t1 è
• T = t'1/ F - t'2/ F
• Ossia,
• T = (t'1 -t'2)/F
• Cioè
• T = T'/F
• Siccome F è minore di 1, allora T < T' (per es. 5/0,99 = 5,05). Quindi
per l'osservatore in moto il tempo si dilata e per quello fermo si
accorcia. (per es., se per K il cronometro segna 5,05, per K' segna
ancora 5, cioè per K' è passato meno tempo).
• Più V si avvicina a c, più l'orologio in movimento rallenta
2
2
Lez. 14
19/3/09
Annuncio
• Come stabilito nella scorsa lezione, l'esame
intermedio scritto si svolgerà il 7 aprile
durante il normale orario della lezione
Incremento del ritardo
dell'orologio
•
•
•
•
1V
2
F=
T = T'/F
Se V aumenta, allora Il fattore F diminuisce
Tanto più diminuisce F tanto più il valore T
aumenta e sopravanza il valore T' (per es.:
5,05 = 5/0,99 = // 7,14 = 5/0,7)
• Quindi, tanto più aumenta V tanto più per
l'osservatore in K l'orologio scorre più
velocemente e per quello in K' più lentamente
c2
Contrazione delle lunghezze
• Supponiamo che un osservatore nel sistema in movimento
K' misuri una bacchetta con una lunghezza che va da x'1 a
x'2 in un certo momento t (secondo l'orologio di K; per
comodità poniamo t = 0).
• in K' trova una lunghezza L' = x'2 - x'1.
• Nello stesso momento t in K si trova la lunghezza L = x2 x1.
• Utilizzando la prima trasformazione di Lorentz (in cui Vt si
annulla dato che t = 0) troviamo (per F = 1  V ) che:
c
• x'1 = x1/F
• x'2 = x2/F
• Quindi, L' = (x'2 - x'1) = (x2/F ) - (x1/F) = (x2 - x1)/F) = L/F
2
2
Contrazione delle lunghezze (cont.)
•
•
•
•
Quindi, L' = L/F
Ossia, L = L'F
F = 1  Vc
Il fattore F è sempre minore di 1 e quindi L<L' (Esempio: 2 =
4 . 0,5).
• Ciò significa che per l'osservatore in K la bacchetta che
(essendo in K') si allontana da lui è più corta rispetto alla
stessa bacchetta dal punto di vista dell'osservatore in K' che
si muove insieme ad essa (per tale osservatore la bacchetta
è ferma)
• In altri termini, l'osservatore in K ha l'impressione che la
bacchetta si contrae per effetto del moto (Toraldo di
Francia, p. 176)
2
2
Incremento della contrazione
•
•
•
•
1V
2
F= c
L = L'F
Se V aumenta, allora Il fattore F diminuisce
Tanto più diminuisce F tanto più il valore L'
sopravanza il valore L (es.: 2 = 4 . 0,5 //1,6 = 4 .
0,4)
• Quindi, tanto più aumenta V tanto più
l'osservatore in K osserva una contrazione della
bacchetta
2
La contrazione di Lorentz-Fitzgerald
• Per spiegare l'esperimento di Michelson e Morley, Lorentz e Fitzgerald
formulano l'ipotesi che per effetto del moto i corpi materiali si
contraggano (Lorentz-Fitzgerald contraction) nella proporzione data dalla
trasformazione di Lorentz (Toraldo di Francia, p. 176).
• Ma ciò non è abbastanza. Bisogna anche aggiungere che il funzionamento
degli orologi è ritardato (clock retardation hypothesis formulata da Lorentz
e Larmor)
• l'ipotesi del ritardo degli orologi non è ad hoc perché è una conseguenza
della contrazione delle lunghezze (Craig Time and the Metaphysics of
Relativity 2001, p. 14).
• Intuitivamente: vt = s e quindi t = s/v. Se s diventa più piccolo per la
contrazione delle lunghezze pure t deve essere più piccolo (rimanendo
uguale v), cioè il cronometro segna un valore meno alto, come se fosse
passato meno tempo.
• NB: Per Lorentz, gli orologi misurano dei "tempi locali", ma c'è ancora un
tempo assoluto come per Newton, anche se non riusciamo a misurarlo in
modo uniforme.
SR
• Ma Einstein spiega le cose in maniera
differente, sulla base di una "analisi operativa
delle lunghezze e dei tempi" (v. Toraldo Di
Francia, p. 176)
• Riconsideriamo in versioni diverse i due
postulati della relatività speciale ...
P1
• P1. Principio di relatività [speciale, Boniolo p. 21]. In tutti i sistemi
inerziali valgono le stesse leggi della fisica [Craig, p. 25, che cita
Einstein, parla più specificamente di leggi dell'elettrodinamica e
dell'ottica. Dorato, nota 7, p. 181: Covarianza: le leggi di natura
devono avere formulazione invariante in diversi sistemi inerziali.
Formulazione di Boniolo, p. 21: in forma di meta-principio: le leggi
della fisica devono essere covarianti per trasformazioni di Lorentz.
Come principio sulla struttura del mondo: non c'è alcun sistema
fisico in cui sia possibile un esperimento che mette in evidenza un
moto assoluto].
• Il postulato P1 ci dice che è impossibile determinare se si è in moto
uniforme oppure in quiete non solo per mezzo di esperimenti
meccanici, ma anche per mezzo di esperimenti elettrodinamici. Si
può considerare un'estensione del principio di relatività galileiana,
che si riteneva valido solo per le leggi della meccanica, alle leggi
dell'elettrodinamica formulate da Maxwell (Allori, p. 81).
P2
• P2. Principio della costanza della velocità della luce. La luce si
propaga nello spazio vuoto con una definita velocità, c [3 times 108
m/s], indipendente dallo stato di moto del corpo emittente.
[Dorato, p. 129: la velocità della luce è un invariante, non dipende
cioè dallo stato di moto della sorgente che la emette. Inoltre è un
segnale limite, quello più veloce esistente in natura. Craig, p. 26:
altre due versioni diverse oltre a quella appena vista: "stessa
velocità c in tutti i sistemi inerziali", "nessun segnale causale si può
propagare con una velocità superiore a c". Craig nota che
questa'ultima versione non ha un ruolo essenziale nella relatività
speciale, la quale proibisce accelerazioni alla velocità della luce o
oltre, ma non velocità che sono costantemente superiori alla luce,
come sarebbe per i tachioni.]
La simultaneità secondo Einstein
• L'idea di base è di non assumere un tempo assoluto (e analogamente per
lo spazio).
• Ci sono solo tempi locali relativi a sistemi di riferimento inerziali.
• Idealmente, il tempo di un sistema di riferimento inerziale è quello
misurato da un orologio fermo rispetto al sistema in questione, laddove
per orologio dobbiamo intendere non solo qualcosa da noi costruito ma
"qualsiasi cosa che marci secondo un regolare ritmo periodico" (Russell, p.
58), per es. la terra, o un atomo "in quanto emette onde-luce con
freequenze ben definite ... visibili come onde luminose nello spettro
dell'atomo".
• Abbandonando il tempo assoluto, non possiamo più definire come
simultanei due eventi che si verificano nello stesso momento.
• Non c'è più una linea assoluta del tempo, con istanti ... t1, t2, t3, ....,
rispetto ai quali possiamo dire, che gli eventi e ed e' sono simultanei se e
solo se entrambi occorrono allo stesso istante t.
• Ci vuole allora una differente definizione di simultaneità.
Simultaneità di eventi nello stesso
luogo
• Einstein ne propone una di tipo operazionale,
verificazionista, basata su ciò che effettivamente
possiamo verificare (v. Dorato 1997 p. 132)
• la definizione deve fornirci un metodo che ci permette
di decidere con un esperimento se due eventi dati sono
simultanei
• Einstein assume come data la nozione di simultaneità
di due eventi che si verificano approssimativamente
nello stesso luogo. Tale nozione è basata su ciò che noi
possiamo direttamente verificare.
• Passa poi a definire la nozione di simultaneità per due
eventi spazialmente distanti.