La relatività
Relatività  teoria collegata alle misure di eventi nello spazio e nel tempo;
permette di determinare posizione e tempi rispetto a sistemi di riferimento in
moto relativo
Einstein (1905 circa) elaborò dapprima la teoria della relatività ristretta (o
speciale, cioè relativa ai sistemi di riferimento inerziali) e quindi la teoria della
relatività generale.
Tale teoria unifica i concetti di spazio e tempo introducendo il concetto di spaziotempo come entità unica.
Alcune delle conseguenze di tale teoria sono:
-il legame spazio-tempo è diverso per due osservatori in moto reciproco tra loro;
-il tempo non scorre a ritmo fisso ma è “regolabile” (non esiste il “tempo
universale);
-La durata di un intervallo temporale vista da un sistema di riferimento in moto è
diversa;
-La lunghezza di un oggetto vista da un sistema di riferimento in moto è diversa.
Lezione n. 17
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2001-02
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Postulati alla base della teoria
1)Le leggi della fisica sono invarianti in tutti i sistemi di riferimento inerziali
2)La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutte le direzioni ed in tutti i
sistemi di riferimento inerziali
In particolare, la velocità della luce nel vuoto vale
c = 299792458 m/s
Nel 1964 Bertozzi misurò Ec e v di elettroni accelerati scoprendo che Ec cresceva molto
più di quanto non facesse supporre la sua definizione.
Si definisce evento un accadimento caratterizzato da 4 coordinate: x, y, z, t.
Si supponga che l’osservatore misuri le coordinate nel modo seguente: le 3 spaziali
rispetto ad una schiera tridimensionale costituito da aste, e quella temporale con N
orologi opportunamente sincronizzati.
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Relatività della simultaneità temporale
Sam osserva che l’evento R e l’evento B si sono verificati contemporaneamente. Sally (in moto a
velocità v) vedrà i due eventi non simultanei (in generale). Pertanto la simultaneità è un concetto
che dipende dallo stato di moto di un osservatore.
Sam osserva dai segni sull’astronave che l’evento R e l’evento B si sono verificati alla stessa distanza
da sé e che il segnale è giunto a lui allo stesso tempo (l’onda luminosa rossa e quella blu sono arrivate
insieme), per cui deduce che essi sono stati simultanei.
Sally osserva l’onda luminosa rossa prima di quella blu ma osserva dai segni sull’astronave che
l’evento R e l’evento B si sono verificati alla stessa distanza da sé, per cui ne deduce che l’evento R si
è verificato prima dell’evento B. Entrambi hanno però ragione!
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Relatività del tempo
Sally, in moto su un treno a velocità v, invia un raggio da B verso lo specchio e misura in tempo
intercorso tra invio e rilevazione su B, ottenendo Dt0 = 2 D /c .
Sam, in stazione, misura (con 2 orologi) il tempo Dt necessario affinchè il raggio percorra il tratto 2L
 vDt 
 vDt   cDt0 
2
L 

 D  
 
 2 
 2   2 
2
(L>D). Per lui Dt = 2 L /c e siccome
Dt 
Dt0
 c
1 v
2
 gDt0
1
con g 
2
2
si ottiene:
 c
1 v
2
g è chiamato fattore di Lorentz. Si
vede come Dt > Dt0 (dilatazione dei
tempi). La grandezza Dt0 (intervallo
di tempo misurato tra due eventi che
accadono nello stesso luogo con quel
particolare sistema di riferimento) è
chiamata tempo proprio.
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Relatività delle lunghezze
Anche la lunghezza è una quantità relativa: se un oggetto è in moto, la misura della sua lunghezza dà
risultati diversi a seconda di quando si prende la misura.
Detta L0 la lunghezza di un oggetto a riposo, la sua lunghezza misurata quando è in moto a velocità v
vale L = L0 / g dove g è il fattore di Lorentz. La lunghezza L0 misurata in un sistema di riferimento
inerzialein cui l’oggetto è a riposo è detta lunghezza propria.
Cioè L < L0 e quindi la lunghezza di un corpo vista da un osservatore in moto risulta minore
(contrazione delle lunghezze).
Sam, in stazione, misura la lunghezza propria di un marciapiede trovando L0. Inoltre, quando passa il
treno, egli osserva un riferimento sul treno transitare vicino al marciapiede nel tempo Dt per cui
deduce L0 = v Dt .
Sally, sul treno, vede il marciapiedi muoversi alla velocità v. Il riferimento sul treno è per lei nello
stesso luogo ed il tempo trascorso tra i due eventi è il tempo proprio Dt0. Inoltre per lei L = v Dt0
Si trova:
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L vDt0 1


L0 vDt g
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Trasformate di Lorentz
Si consideri il s.r. S’ in moto con velocità v rispetto al s.r. S lungo la
direzione x. Le coordinate di un evento E sono (x,y,z,t) per S e
(x’,y’,z’,t’) per S’. Il legame tra le quattro coppie di coordinate è
dato dalle seguenti equazioni (trasformate di Lorentz):
x’ = g ( x – v t )
y’ = y
z’ = z
t’ = g ( t – v x / c2 )
Le trasformate galileiane (cioè il
limite delle trasformate di Lorentz
Si noti la completa simmetria scambiando i due s.r.
per c  ) sono:
x’ = x – v t
y’ = y
z’ = z
t’ = t
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Conseguenze delle trasformazioni di Lorentz
Concetto di simultaneità
vDx' 

Dt  g  Dt ' 2 
c 

Se i due eventi in S’ accadono simultaneamente (Dt’=0) ma in due luoghi diversi (Dx’0), allora in S
non appaiono simultanei (Dt  0):
vDx'
Dt  g 2
c
L’intervallo temporale tra due eventi nel s.r. S è definito come:
Concetto di dilatazione del tempo
Se due eventi avvengono in S’ nello stesso luogo ma non simultaneamente (l’intervallo di tempo tra
essi vale Dt’ 0), l’intervallo di tempo in S in cui essi sono visti accadere è: Dt  gDt '
Dal momento che g>1 è Dt > Dt’. Se l’orologio in S’ è lo stesso, allora Dt’ è per definizione il tempo
proprio Dt0 e quindi si ha:
Dt  gDt
0
Concetto di contrazione delle lunghezze
Sia una barra posta parallelamente all’asse x a riposo in S’. Se un osservatore ne misura in S’ la sua
lunghezza Dx’, in tali condizioni essa è la lunghezza propria L0. Inoltre:
Dx'  g Dx  vDt 
Se la stessa barra ora si muove rispetto al sistema S, la misura simultanea (Dt=0) delle sue coordinate
in S, posto Dx’=L0 , Dx=L si trova:
L
Lezione n. 17
L0
g
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Trasformate per le velocità
Le trasformate per le coppie di coordinate x, t nei
sistemi S e S’ sono:
Dx  g Dx'vDt '
vDx' 

Dt  g  Dt ' 2 
c 

Pertanto è possibile calcolare il rapporto Dx / Dt :
Dx'  v
Dx
Dx'vDt '
Dt '


Dt Dt ' vDx' 2
v Dx'
Dt ' 2
c
1
c


Poiché i valori Dx / Dt e Dx’ / Dt’ sono le velocità v e v’, si ha:
u ' v
u
1  u' v 2
c
Lezione n. 17
cioè
u  u'v
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Effetto Doppler per la luce
Nel caso in cui la sorgente si allontani dall’osservatore, si può
dimostrare che la relazione tra la frequenza propria n0 della
sorgente (ossia quella emessa da una sorgente a riposo) e la
frequenza misurata da un osservatore in moto a velocità v rispetto
alla sorgente vale (b=v/c):
1 b
v  v0
1 b
A basse velocità (b<<1) la formula si può semplificare in:
1 

v  v0 1  b  b 2 
2 

Se le velocità sono, poi, molto piccole, si può effettuare l’ulteriore approssimazione: v  v0 1  b 
Oppure, introducendo la lunghezza d’onda l = c / n e la lunghezza d’onda propria l0
(corrispondente a n0), si ha:
c c  v
l  l0
Dl
 1  
v
c
c per v  c
da cui si ottiene, per la velocità v,
l l0  c 
l
l
Se la sorgente si muove trasversalmente rispetto all’osservatore con velocità v, si ha l’effetto Doppler
trasverso. Nel caso di basse velocità, la radice si può semplificare e la frequenza diventa:
 b2 

v  v0 1  b 
 v0 1 
b 1
2 

2
Lezione n. 17
oppure, il periodo:
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T
T0
1 b
2
 gT0
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La quantità di moto
Due osservatori nei due s.r. S e S’ osservano una collisione tra due particelle 1 e
2. Sappiamo che, nella trattazione classica, la quantità di moto p = m v si
conserva (sempre) indipendentemente dal s.r. scelto. Nella trattazione
relativistica, perché ciò avvenga, occorre ridefinire la quantità di moto p.
Definizione “classica”
Dx
p  mv  m
Dt
Definizione “relativistica”
Dx
Dx Dt
Dx
pm
m
 mg
 gmv
Dt0
Dt Dt0
Dt
L’unica differenza consiste nella presenza del fattore g.
Si noti che per v  c si ha p   (tendono ad  sia g che m).
Invece per v << c si ha p  m v come nel caso “classico”.
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L’energia
L’equazione di Einstein lega la massa m di un corpo alla sua energia (di massa, a riposo) equivalente
E0 nella maniera seguente:
E0  mc 2
E0 è l’energia associata ad un corpo in quiete per il fatto stesso di possedere una massa m. Essendo 
c2, è molto grande.
L’energia totale E di un corpo in moto con velocità v sarà data dalla
somma della sua energia a riposo E0 e dell’energia cinetica K, cioè:
E  E0  K  mc 2  K  gmc 2
Per un sistema isolato, l’energia totale E rimane costante.
L’energia cinetica può essere calcolata dalle due equazioni
precedenti:
K  E  E0  gmc2  mc2  g  1mc2
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