Matrioske matematiche
a cura di Stefania Cotoneschi, Giuseppina Crivelli, Simonetta Ghelardini,
Patrizia Piccinini
Introduzione ....................................................................................................2
Descrizione dell’attività......................................................................................2
Fase 1 ..........................................................................................................2
Fase 2 ..........................................................................................................4
Fase 3 – Considerazioni sulle operazioni ............................................................6
Fase 4 - I pullman per la gita e altri problemi ....................................................7
Fase 5 - La radice di 2 e il tangram..................................................................8
Fase 6 - L’impiegato burlone........................................................................ 10
Indicazioni metodologiche................................................................................ 12
Eventuali difficoltà e possibili suggerimenti......................................................... 14
Fase 1 ........................................................................................................ 14
Fase 2 ........................................................................................................ 14
Fase 3 ........................................................................................................ 15
Fase 4 ........................................................................................................ 16
Fase 5 ........................................................................................................ 16
Fase 6 ........................................................................................................ 16
Spunti per un approfondimento disciplinare ........................................................ 17
Elementi per prove di verifica ........................................................................... 20
Spunti per altre attività con gli studenti ............................................................. 22
Bibliografia .................................................................................................... 24
Proposta di attività per il corsista ...................................................................... 24
Introduzione
L’attività è pensata per il terzo anno della Scuola secondaria di primo grado: gli alunni
hanno già avuto esperienze con i numeri naturali e con gli interi. Lavorando con
frazioni e numeri razionali, hanno visto che esistono decimali limitati e decimali
periodici; forse hanno anche imparato a trovare la frazione che genera un certo
numero decimale. È giunto il momento di ripensare agli insiemi numerici, per capire
come sono annidati e come possono essere rappresentati.
Con questa attività, oltre a dare una rappresentazione in termini di teoria degli
insiemi, vogliamo aiutare i ragazzi a riflettere su quanto hanno incontrato;
soprattutto, vogliamo passare il messaggio che gli insiemi numerici si estendono via
via per consentire operazioni che altrimenti sarebbero impossibili. In effetti, le
successive estensioni sono motivate sia dall’impossibilità di eseguire un’operazione,
sia dalla risoluzione di semplici equazioni che ammettono soluzione in un insieme e
non in un altro.
Nell’attività sono inoltre presentati esempi di problemi in cui la ragionevolezza del
risultato richiede una soluzione intera anche se il calcolo algebrico fornisce una
soluzione frazionaria.
Descrizione dell’attività
Fase 1
Si introduce l’attività con un gioco per recuperare, nel contesto di una competizione, i
diversi tipi di numeri incontrati fino ad ora.
PENTRIX
Si gioca in due, singoli o squadre.
Ogni giocatore o squadra è in possesso di varie pedine dello stesso colore.
Ogni volta che si trovano 2 numeri, tra quelli a disposizione, il cui quoziente è un
numero presente in tabella, si occupa la posizione nella tabella mettendo la pedina del
proprio colore. I numeri a disposizione usati possono essere ripresi in considerazione
più volte per costruire altre divisioni.
Vince chi per primo riesce ad avere 5 pedine del proprio colore in fila: orizzontale,
verticale o diagonale.
Il gioco si può organizzare in più modi. Le squadre possono operare simultaneamente,
ciascuna su una sua tabella uguale a quella degli avversari (in tal caso, possono
giocare anche tre o più squadre). Alternativamente, si può giocare su un'unica tabella
con i due giocatori che fanno le mosse a turno: in tal caso, è bene stabilire che
ciascuno dei due giocatori ha un certo tempo (ad esempio, 15-20 secondi) per
eseguire la mossa, dopo di che la mossa passa all'avversario.
2
TABELLA
NUMERI A DISPOSIZIONE
4
0,1
3
4,5
0,5
2,125
0,4
5
0,3
0,625
1,5
0,7
0,2
2,5
0,675
0,6
7
0,8
0,75
2
3,5
0,25
1,25
0,9
1,125
1;2;3;4;5;
6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10
Durante il gioco ci si accorgerà che, dividendo fra loro i numeri a disposizione, si
ottengono anche numeri che non sono presenti nella tabella.
Per favorire la stima del risultato e il calcolo mentale, possiamo concedere l'uso della
calcolatrice solo 3 volte.
L’osservazione che alcuni numeri in tabella sono interi e altri decimali aiuta nella
scelta dei due numeri fra quelli a disposizione. Quali caratteristiche devono avere i
numeri scelti per ottenere quel risultato? È possibile ottenere lo stesso quoziente con
divisioni differenti?
I numeri a disposizione sono tutti naturali; in certi casi conviene calcolare il prodotto
per trovare il dividendo (numero a disposizione x numero in tabella), cercando di
capire come devono essere i numeri per ottenere un prodotto intero.
Come vanno scelti i numeri per ottenere un quoziente minore di 1? E per ottenere un
quoziente maggiore di 1?
In una seconda fase del gioco si può dividere la classe in piccoli gruppi, chiedendo che
ogni gruppo progetti un gioco simile, sempre con l'operazione di divisione, ma in cui la
tabella comprenda anche decimali periodici. L’insegnante valuterà se mantenere gli
stessi numeri a disposizione o variarli secondo le esigenze.
In seguito due gruppi giocheranno con la tabella preparata da un terzo gruppo.
Lo scopo del gioco è convincere che, per eseguire le divisioni richieste, i naturali non
bastano. L’insegnante cercherà di far riflettere sull’esperienza, con una discussione
sugli insiemi numerici e sulle strategie di gioco usate.
Si prosegue l’attività proponendo agli alunni di compilare una tabella come quella che
segue, inserendo nella prima colonna e nella prima riga i numeri naturali da 1 a 12. I
numeri della prima riga rappresentano il numeratore e quelli della prima colonna il
denominatore di una frazione. Si richiede di completare la tabella scrivendo in ogni
casella il valore della frazione e usando 4 colori per distinguere gli insiemi dei:
naturali, decimali limitati, decimali periodici semplici e decimali periodici misti.
Quando la tabella sarà completa, si faranno opportune osservazioni per mettere in
evidenza le relazioni tra i denominatori delle frazioni e il tipo di quoziente; per
esempio: se il denominatore è 2, 4, 5 oppure 10, i quozienti sono interi o decimali
limitati; se il denominatore è 3 o 7, i quozienti sono interi oppure periodici semplici;
ecc.
3
Fase 2
Indichiamo con la lettera N l’insieme dei numeri naturali {0, 1, 2, 3, ...}, e con la
lettera Z l’insieme dei numeri interi relativi {..., –2, –1, 0, +1, +2, ...}.
Attraverso una discussione matematica sulla sottrazione e sulle sue proprietà, si
capisce facilmente la necessità dell'ampliamento dall’insieme N all’insieme Z.
Per analogia, discutendo sull’operazione di divisione, si giunge ad un ulteriore
ampliamento che porta all'insieme dei numeri razionali, indicato ora con Q.
In generale, è bene che gli studenti capiscano con sicurezza che:
4
se a, b sono elementi di N (cioè sono numeri naturali), anche a+b ed a×b sono
elementi di N; invece, non troviamo sempre in N la differenza a–b e il rapporto a/b
(supposto b≠0);
se a, b sono elementi di Z (cioè sono interi relativi), anche a+b, a×b, a–b sono
elementi di Z; invece, non troviamo sempre in Z il rapporto a/b (supposto b≠0);
se a, b sono elementi di Q (cioè sono numeri razionali), anche a+b, a×b, a–b,
a/b (supposto b≠0) sono elementi di Q.
La figura illustra che N è un sottoinsieme di Z, che a sua volta è un sottoinsieme di Q.
Q
Z
N
La determinazione delle misure di alcune grandezze geometriche ha già condotto gli
alunni alla scoperta di altri numeri (π, 2; 3 , …), che non fanno parte degli insiemi
numerici visti finora. Tali numeri sono usualmente rappresentati in forma decimale
illimitata non periodica. Essi sono numeri non razionali e quindi sono denominati
irrazionali. I numeri razionali unitamente ai numeri irrazionali sono chiamati numeri
reali e costituiscono l’insieme R.
R
Q
Z
N
5
Assegniamo ai ragazzi due semplici equazioni: a + x = b e
1° Equazione: a + x = b
2° Equazione: ax = b
Valori di b
8
3,6
-5
Valori di b
2
-5
1
2
10
Valori di a
V
al
ax = b
0,2
-1
3
4
1,5
0
L’insegnante dispone gli alunni in coppie e invita gli alunni a ragionare e valutare nei
vari casi se le equazioni hanno o meno soluzione in N ,Z, Q, R.
Alla fine, dovrebbe risultare chiaro che:
un'equazione del tipo a + x = b , con a, b elementi di Z, ammette sempre una
soluzione in Z;
equazioni del tipo a + x = b e del tipo ax = b, con a, b elementi di Q (nel
secondo caso con a≠0), ammettono sempre una soluzione in Q.
Successivamente, si farà notare che un'equazione del tipo x2 = b (con b elemento di R
maggiore di 0), ammette sempre due soluzioni in R.
Fase 3 – Considerazioni sulle operazioni
Nel modello primitivo della moltiplicazione il prodotto è maggiore dei due fattori, così
come nel modello primitivo della divisione il quoziente è minore del dividendo. Questi
modelli primitivi vanno in crisi quando si opera con i numeri decimali compresi fra 0 e
1, oppure con numeri negativi.
Per la moltiplicazione è significativa la compilazione di una tabella come la seguente :
x
100
10
1
0,1
0,01
100
10
1
0,1
0,01
L’insegnante può guidare l’osservazione della tabella con opportune domande, come:
•
•
In quale parte della tabella ci sono i numeri interi?
Quali prodotti sono uguali a 1?
6
•
Quali prodotti sono minori di entrambi i fattori?
È sempre bene proporre esercizi di calcolo mentale. Dopo i casi più semplici in cui si
moltiplica e si divide per potenze di 10, si assegneranno esercizi come i seguenti.
•
•
•
80 x 0,5 = (40)
40 x 0,8 = (32)
35 x 0,2 = (7,0)
•
•
•
80 : 0,5 = (160)
40 : 0,8 = (50)
24 : 0,2 = (120)
Fase 4 - I pullman per la gita e altri problemi
L’insegnante propone una situazione reale per far riflettere gli alunni sul risultato di un
problema.
“Per le Olimpiadi di Matematica sono arrivati 730 ragazzi; il Sindaco della città ha
organizzato un concerto allo stadio e servono dei pullman per trasportare i ragazzi.
Quanti pullman da 50 posti sono necessari?”
730:50 = 14,6
La divisione nell’insieme dei razionali è possibile, ma il risultato è privo di senso nel
contesto del problema. Da un lato, la divisione dà un risultato nell'insieme dei decimali
e non nell'insieme dei naturali; dall'altro il problema, nella situazione descritta,
richiede comunque una soluzione intera. Sono quindi necessari 15 pullman.
È bene proporre altri problemi in cui, invece, è sensato considerare l'approssimazione
intera per difetto del numero ottenuto eseguendo l'operazione. Il seguente è un
esempio molto semplice.
“Un pacchetto di figurine costa 3,20 euro. Andrea ha 11 euro. Quanti pacchetti può
comperare?”
In altri casi, scapita che la soluzione che si ottiene con il calcolo non sia accettabile (e
quindi il problema sia impossibile). Vediamo un esempio.
“La mamma dà a Giorgio 20 euro, che Giorgio mette nel suo borsellino insieme ai suoi
soldi. Giorgio compera 3 matite da 1 euro ciascuna, 5 penne da 1,50 euro ciascuna e
1 libretto da 7 euro. Se alla fine nel borsellino di Giorgio sono rimasti 1,20 euro,
quanti soldi aveva inizialmente Giorgio nel suo borsellino?”
In questo caso, l'equazione dà una risposta nell'insieme dei numeri relativi, mentre,
per la ragionevolezza del problema, è accettabile solo una risposta positiva.
Dalla prova INVALSI 2010 per la I classe.
“Cristina esce per fare acquisti con solo banconote da 20 euro nel portafoglio. In un
grande magazzino compera:
− due camicette che costano 38 euro l’una
− sei CD che costano 9,80 euro l’uno
− un libro che costa 19,90 euro.
7
Quante banconote da 20 euro deve dare alla cassa per pagare il conto?”
•
•
•
•
A.
B.
C.
D.
7
8
9
10
I problemi precedenti dovrebbero risultare piuttosto semplici. I ragazzi sono quindi
invitati a lavorare in piccoli gruppi per scrivere altri problemi analoghi.
Fase 5 - La radice di 2 e il tangram
Per introdurre l’argomento sui numeri irrazionali, ed in particolare sulla
raccontare la storia di Ippaso da Metaponto.
, possiamo
Pitagora riteneva che tutta la natura potesse essere interpretata per mezzo dei numeri
interi: il numero 1 era il generatore di tutti i numeri, il numero 2 era il primo numero
pari, il numero 3 era il numero dell’armonia,…. Anche i numeri razionali facevano
parte di questo universo, quotidiano e matematico al tempo stesso, perché erano
considerati come rapporto tra numeri interi.
Il pitagorico Ippaso, però, scoprì che il lato di un quadrato e la sua diagonale non
erano commensurabili, cioè che non esisteva alcun segmento che potesse essere
contenuto un numero intero di volte sia nella diagonale sia nel lato. Questa scoperta
“rivoluzionaria”, che minava il potere politico dei Pitagorici, cambiava profondamente
anche la loro interpretazione della realtà, essi non potevano ammettere l’esistenza di
un numero decimale, illimitato, non periodico: in quale punto della retta avrebbero
dovuto collocarla visto che su di essa c’erano solo i numeri interi e le frazioni?
Fu proprio a causa di questa scoperta che Ippaso fu ucciso. Il suo corpo, buttato in
mare, fu rinvenuto sulla spiaggia di Crotone ed egli fu identificato grazie al
“pentacolo”, la stella a cinque punte che gli adepti della società segreta dei Pitagorici
si tatuavano.
(Ghisetti e Corvi, Storie di Matematica, L. Prosperini e B. Isonni, Milano 2001)
Per chiarire la situazione, chiediamo ai ragazzi di disegnare un quadrato con area 2
dm². Nel caso non riuscissero, diamo loro un suggerimento: costruire un quadrato con
il lato di 2 dm e dividerlo in 4 quadrati uguali; e poi tracciare una diagonale opportuna
in ciascun di questi quadrati. Ora, se le diagonali sono quelli indicate in figura, si
forma al centro un altro quadrato, la cui area è metà dell'area (4 dm2) del quadrato
iniziale. Quindi l'area del quadrato centrale è 2 dm2 e il suo lato è allora
dm.
8
Proponiamo anche il seguente problema, in cui si usa in modo originale il Tangram; il
problema è tratto da La Matematica dalla scuola materna alla maturità (a cura di L.
Grugnetti e V. Villani) Pitagora Editrice 1999. Ricordiamo che il Tangram è formato dai
sette pezzi disegnati in fig. 1: ci sono un quadrato, due triangoli rettangoli isosceli
piccoli (con i cateti uguali al lato del quadrato), un triangolo rettangolo isoscele medio
(con i cateti uguali alle ipotenuse dei precedenti), due triangoli rettangoli isosceli
grandi (i cateti sono il doppio dei cateti dei triangoli piccoli) e un parallelogramma.
Ripartire i tasselli del Tangram in due quadrati. Calcolare le aree e le lunghezze dei lati
di ciascun quadrato.
In figura 2 è illustrata una soluzione, con due quadrati uguali. Se il lato del quadrato
in fig. 1 è 2, la sua area è 4 l'area di ciascuno dei quadrati in fig. 2 vale 2. Il lato x di
ogni quadrato è, quindi, il numero il cui quadrato è 2.
Gli allievi collocano subito questo numero fra 1 e 2 e congetturano, spesso, che esso
valga 1,5; ma la moltiplicazione di 1,5 per se stesso dà loro torto.
Essi tentano allora con 1,4 e così di seguito. L'insegnante può incoraggiare questi
tentativi, fino a costruire le seguenti limitazioni:
1<
1,4 <
1,41 <
1,414 <
1,4142 <
x
x
x
x
x
<2
< 1,5
< 1,42
< 1,415
< 1,4143
A questo punto, non è difficile convincersi che questo decimale non può essere
limitato (una dimostrazione è riportata negli "spunti per un approfondimento
disciplinare").
È l’occasione per usare la calcolatrice ed il suo tasto di radice per dare un senso alla
scrittura √2. E se la calcolatrice non ha il tasto di radice? Proponiamo un semplice
algoritmo per approssimare la radice quadrata di un numero.
9
Radice quadrata senza il tasto di radice
Trovare la radice quadrata con la calcolatrice senza il tasto apposito è
una questione di prove ed errori.
Per esempio, per trovare √ 70, parto da un’ipotesi:
82 =64 e 92=81
così provo 8,5
8,5 × 8,5 = 72,25 Troppo grande!
Provo con 8,42 e faccio 8,4 × 8,4 =70,56 ancora troppo grande! Provo
con 8,32 , calcolo 8,3 × 8,3 = 68,89
Cosa farò allora?
Posso continuare il calcolo, fino a trovare un numero con 2 decimali
che approssimi nel modo migliore la radice quadrata di 70.
(il risultato è compreso fra 8,36 e 8,37)
Chiediamo ora di collocare
sulla retta dei numeri.
Diamo alcune indicazioni:
-fissare un’unità di misura sulla retta e considerare unitario così ottenuto come
lato di un quadrato;
;
- tracciare la diagonale del quadrato: si ottiene
- riportare con il compasso la diagonale sulla retta;
.
- l’estremo destra di questo segmento è il punto in cui si colloca
Sulla retta, densa di punti razionali, si riescono a collocare anche i numeri irrazionali!
Fase 6 -
L’impiegato burlone
In questa fase ci occuperemo della relazione d'ordine negli insiemi numerici.
Iniziamo con una storiella.
“In un ufficio postale dove spesso i clienti litigano per
stabilire chi è arrivato prima e chi deve essere servito
prima, un impiegato burlone vuole sdrammatizzare questa
situazione di continui litigi e decide di usare un contatore
per la distribuzione di numerini … ma nel contatore
inserisce numeri razionali espressi in forma decimale.
10
Sul display si accende il numero 5,3 e chi ha il 5,4 si prepara perché pensa che stia
per toccare a lui.
Con disappunto si accorge che il prossimo numero che si accende è il 5,31. Al
turno successivo corre allo sportello una signorina che in mano il numero 5,32
… ma sul display si accende il 5,311”.
I clienti di quell’ufficio postale possono stimare il tempo d'attesa, conoscendo il
proprio numero e il numero del cliente servito in quel momento?
Il punto fondamentale da mettere in evidenza è che gli insiemi N e Z possono essere
costruiti mediante una serie di passaggi al “successivo” o al “precedente”. Nel caso
dell'insieme Q dei numeri razionali, non è invece possibile una tale costruzione: tra
due numeri razionali sono sempre compresi infiniti altri numeri razionali. I matematici
esprimono questa proprietà dicendo che Q è denso.
Si noti che è denso anche l'insieme dei numeri decimali limitati, mentre non è denso
l'insieme dei numeri decimali con solo due cifre dopo la virgola.
ORDINAMENTO NEI DECIMALI
Ricordiamo come si introduce l’ordinamento nei numeri razionali. Per confrontare due
c
a
e
, supponendo che i denominatori b e d siano
numeri scritti nella forma
b
d
entrambi positivi, basta confrontare i prodotti ad e bc. Si ha che
a c
>
⇔ ad > bc .
b d
Questa definizione, che induce un procedimento che può essere svolto rapidamente
dagli alunni e riassume diverse situazioni (frazioni con denominatori uguali, con
numeratori uguali, con numeratori e denominatori diversi), è ovviamente legata alla
relazione di equivalenza tra frazioni:
a c
=
⇔ ad = bc .
b d
Naturalmente, non si devono escludere altri procedimenti più immediati da applicare
in casi specifici. Per esempio, si possono proporre le coppie seguenti:
10
12
e
7
7
11
11
e
6
8
23
10
e
5
3
(stesso denominatore, la seconda frazione è più grande);
(stesso numeratore, la prima frazione è più grande);
(la prima frazione è più grande di 4, la seconda più piccola di 4).
Un altro metodo consiste nel trasformare le frazioni in numeri decimali.
In questo caso il confronto tra numeri segue immediatamente dal confronto tra le
parti intere e, in caso queste siano uguali, tra i valori delle cifre che occupano posti
dello stesso ordine: prima si controllano le cifre dei decimi, poi quelle dei centesimi,
quelle dei millesimi e così di seguito. (Per un approfondimento si rimanda alla scheda
sulle difficoltà).
Spesso nelle prove nazionali INVALSI di Matematica per l’esame di Stato vengono
presentate domande basate sul confronto nei numeri decimali.
11
Ricordiamo un quesito presentato nell’anno 2009:
Confronta il numero 3,25 con le coppie di numeri elencate sotto. In una di esse 3,25 è maggiore
del primo numero e minore del secondo. In quale?
A.
2
e
3
B.
7
2
e
15
4
C.
3
e
7
2
D.
15
4
e
4
E uno proposto nell’anno 2010:
In quale di queste sequenze i numeri sono ordinati dal più piccolo al più grande?
A.
B.
C.
D.
3
100
1
0,65
3
3
1
0,125
0,65
100
3
1
3
0,65 0,125
3 100
1
3
0,65 0,125
3 100
0,125
Indicazioni metodologiche
Anche nella costruzione del complesso concetto di numero, la logica è quella dei tempi
lunghi, della costruzione graduale e progressiva dei significati: è importante che le
attività didattiche siano inserite in contesti significativi, tali da favorire il
riconoscimento di modelli.
Tali contesti possono essere esterni alla matematica e coinvolgere campi di esperienza
relativi a fenomeni naturali, sociali, tecnologici; ma possono essere anche interni alla
matematica: il campo di esperienza dei numeri e delle operazioni rappresenta un
contesto cruciale perché favorisce la modellizzazione e la riflessione.
Nella risoluzione di problemi ci troviamo ad un certo punto di fronte a situazioni che
non possono essere risolte con i numeri naturali e con le operazioni in essi definite;
sorge quindi la necessità di "inventare" i numeri razionali (decimali o frazioni) e i
numeri reali.
Nel volume Cominciamo da Zero di V. Villani (Pitagora Editrice, Bologna 2003)
si rileva che ogni volta che si realizza un “ampliamento” (o ”estensione”) di un
12
insieme numerico, per esempio da N a Z, da Z a Q, da Q a R, è opportuno
attuare un “programma di lavoro” schematizzabile in quattro punti.
a) Si dota l’insieme ampliato di opportune strutture (operazioni e relazione
d'ordine) con il vincolo che esse, ristrette all’insieme di partenza,
coincidano con le omonime strutture già considerate sull'insieme iniziale.
b) Si verifica se le strutture introdotte nell’insieme ampliato godono delle
proprietà formali già studiate nel caso dell’insieme iniziale.
c) Si verifica se l’insieme numerico così ampliato e strutturato raggiunge lo
scopo matematico per il quale è stato introdotto.
d) Ci si accerta che l’insieme ampliato soddisfi anche le esigenze applicative
che hanno richiesto l’ampliamento.
Numeri e operazioni possono diventare essi stessi oggetto di riflessione e di studio: ad
esempio, si possono ricercare regolarità, si possono cercare numeri che soddisfino a
condizioni date, si può riflettere su metodi di scrittura e di rappresentazione, anche
ripercorrendo le diverse tappe nella storia dell’umanità.
Per quanto riguarda note di carattere storico, è il caso di ricordare che oltre
3500 anni fa gli antichi egizi e babilonesi conoscevano alcuni tipi di frazioni e
sapevano operare con esse. Circa 1000 anni più tardi, i matematici greci
approfondirono in termini geometrici lo studio dei numeri razionali positivi. Quindi
l'introduzione di Q+ (insieme dei numeri razionali positivi) ha preceduto di circa
due millenni quella dei numeri negativi. Questa constatazione di carattere
storico induce una riflessione didattica.
Per il passaggio da N a Q sono possibili due distinti percorsi:
- quello "moderno": da N a Z e successivamente da Z a Q;
- quello "storico": da N a Q+ e successivamente da Q+ a Q.
L'approccio storico è senz'altro più semplice: è più spontaneo pensare a
numeri come 1/2 oppure 1/3 che non a –3. L'approccio moderno ha il pregio
di evidenziare la struttura di Z, che nell'approccio storico non compare
esplicitamente, poiché in tale approccio Z risulta inglobato in Q. Inoltre,
l'approccio moderno è in un certo senso più ordinato, perché prima si rende
totale l'operazione di sottrazione (che in Z è sempre possibile) e poi si passa
alla divisione.
Curiosamente, nel passaggio da N a Z, motivato da un problema sulla
struttura additiva, il punto più delicato è un aspetto moltiplicativo (la regola
dei segni), mentre nel passaggio da Z a Q, motivato da un problema sulla
struttura moltiplicativa, il punto più delicato è un aspetto additivo (la formula
per la somma di due frazioni).
I numeri razionali, anzi già i soli numeri decimali finiti, sono ampiamente
sufficienti per affrontare molti problemi concreti del mondo reale, basati su
misure sperimentali. L'ulteriore estensione da Q a R è dovuta per lo più a
considerazioni teoriche.
L'esigenza di andare al di là dei razionali fu avvertita ben 2500 anni fa, a
seguito della scoperta da parte della scuola pitagorica dell'incommensurabilità
fra lato e diagonale del quadrato: ciò equivale ad affermare che 2 non è un
13
numero razionale. D'altra parte, per gli antichi geometri greci 2 , in quanto
misura della lunghezza di un segmento costruibile con riga e compasso, aveva
un ben preciso significato geometrico, ed era ciò che noi oggi chiamiamo
"numero irrazionale".
Un altro numero irrazionale famoso fin dall'antichità classica, in quanto legato
al problema della "duplicazione del cubo", è 3 2 , che rappresenta la misura
dello spigolo del cubo avente volume doppio del cubo di spigolo unitario.
Entrambi questi numeri irrazionali sono di tipo algebrico, perché radici di
equazioni polinomiali a coefficienti interi.
Un famoso irrazionale, ma di natura trascendente, è il numero π legato ai
problemi della rettificazione della circonferenza e della quadratura del cerchio.
Con modalità diverse e dosaggi adeguati, contestualità e astrazione rimangono
esigenze da rispettare.
Eventuali difficoltà e possibili suggerimenti
Consigliamo di svolgere questa attività nella seconda parte della terza classe, in modo
che gli studenti siano in grado di capire sia la necessità delle successive estensioni, sia
l’inclusione fra i vari insiemi numerici. Si tratta, quindi, di un'attività pensata
soprattutto per alunni che già hanno una certa dimestichezza nel calcolo con i
razionali. Ciò non toglie, naturalmente, che anche gli altri studenti possano giovarsi di
alcune parti dell’attività stessa, tramite appositi esercizi di consolidamento.
Riteniamo utile raccogliere qui alcuni suggerimenti, proposte o precisazioni.
Fase 1
Per gli alunni più deboli si consiglia di affrontare il gioco Pentrix con la calcolatrice:
sarà un’occasione per riflettere sui risultati ottenuti di volta in volta e sulla
ragionevolezza degli stessi. Si può lavorare sul gioco per aumentare l’abilità di
moltiplicare e dividere per 10, variando i numeri a disposizione e la tabella in modo da
inserire anche moltiplicazioni e divisioni per 10, 100 e 1000.
Il completamento della successiva tabella sul valore delle frazioni rafforzerà l’idea di
numero razionale come rapporto e offrirà occasione per costruire gli insiemi usando
cordini colorati e cartellini.
Fase 2
Segnaliamo due difficoltà da evidenziare:
N è un sottoinsieme di Z; visivamente può essere utile per gli alunni più deboli
usare due lucidi, sui quali siano rispettivamente disegnati gli insiemi N e Z con colori
diversi, e che possano essere sovrapposti.
È importante notare che lo zero appartiene a tutti gli insiemi. L’attenzione
particolare che è giusto dedicare allo zero per la sua importanza nel nostro sistema
posizionale può essere sottolineata anche da una nota filastrocca.
14
IL TRIONFO DELLO ZERO Gianni Rodari, "Filastrocche in cielo e in terra", Einaudi
C'era una volta
un povero Zero
tondo come un o,
tanto buono ma però
contava proprio zero
e nessuno lo voleva in compagnia
per non buttarsi via.
Una volta per caso
trovò il numero Uno
di cattivo umore perché
non riusciva contare
fino a tre.
Vedendolo così nero
il piccolo Zero
si fece coraggio,
sulla sua macchina
gli offerse un passaggio,
e schiacciò l'acceleratore,
fiero assai dell'onore
di avere a bordo
un simile personaggio.
D'un tratto chi si vede
fermo sul marciapiede?
Il signor Tre che si leva
il cappello
e fa un inchino...
E poi, per Giove,
il Sette, l'Otto, il Nove
che fanno lo stesso.
Ma cosa era successo?!
Che l'Uno e lo Zero
seduti vicini,
uno qua l'altro là
formavano un gran Dieci:
nientemeno, un'autorità
Da quel giorno lo Zero
fu molto rispettato,
anzi da tutti i numeri
ricercato e corteggiato:
gli cedevano la destra
con zelo e premura,
(di tenerlo a sinistra
avevano paura),
lo invitavano a cena,
gli pagavano il cinemà,
per il piccolo Zero
fu la felicità.
Fase 3
Il modello primitivo di moltiplicazione come operazione che rende il numero sul quale
si opera più grande fa sì che le moltiplicazioni per un numero minore di 1 costituiscano
un vero e proprio scoglio cognitivo, soprattutto per gli alunni più deboli che si
troveranno in difficoltà anche nella soluzione di problemi, se i numeri sono appunto di
questo tipo. Analogamente, di solito si crede che dividere significhi ottenere un
numero più piccolo, e quando il divisore è un decimale minore di 1 si rimane tanto
stupiti del risultato che talvolta si introduce qualche errore per riportare la situazione
ad un risultato più consono alle false aspettative.
Sarà opportuno dare diversi esempi, possibilmente in situazioni vicine alla realtà dei
ragazzi in modo da padroneggiarle con sicurezza:
Quante lattine da 0,33 litri posso riempire con una bottiglia da un litro?
Quante partite da 50 centesimi posso fare con 5 euro?
Per somministrare 1 g di un medicinale quante compresse da 0,2 g sono necessarie?
Qual è il prezzo di un litro di aranciata, se una bottiglia da 0,75 l costa 2 euro?
15
È opportuno far ripetere il calcolo aggiungendo tante volte il numero minore di 1 fino a
raggiungere il dividendo (es.: 0,50+ 0,50 +….+0,50 = 5 euro) e anche eventualmente
effettuando la divisione con la calcolatrice.
Fase 4
Si raccomanda di soffermarsi in modo particolare in questa fase dell’attività, offrendo
più esempi di problemi nei quali si debba decidere sulla ragionevolezza dei risultati. È
importante che tutti gli alunni capiscano la necessità di considerare come risultato solo
un numero intero, arrotondando per eccesso o difetto, quando si tratta di persone,
veicoli, contenitori…
Fase 5
La fase 5 può non essere affrontata con i ragazzi che presentano qualche difficoltà.
Fase 6
Per aiutare gli alunni a superare alcune difficoltà nell’uso dei decimali, occorre
modificare gradualmente il modello dei numeri naturali come riferimento assoluto.
Bisogna, però, fare attenzione ad alcuni errori, ricorrenti nel confronto fra numeri, che
derivano dal fatto che, mentre le parti intere vengono confrontate in blocco, le parti
decimali devono essere confrontate “pezzo per pezzo”, cioè prima i decimi, poi i
centesimi, ecc.
Un tipico errore, documentato anche nella letteratura didattica, consiste nel ritenere
che, a parità di parte intera, è più grande il numero decimale nel quale più numerose
sono le cifre decimali. Questa “regola” talvolta funziona. Per esempio 0,61 > 0,4. Altre
volte, invece, non funziona. Per esempio 0,68 < 0,7.
Altro tipico errore consiste nel ritenere che, a parità di parte intera, sia più grande il
numero le cui cifre dopo la virgola, formano il numero naturale più grande. Qualche
volta la “regola” funziona (6,32 > 6,28), ma non sempre (6,3 > 6,29).
Un errore di segno opposto consiste nel ritenere che, a parità di parte intera, sia più
grande il numero che ha meno cifre dopo la virgola. Per esempio un numero con una
sola cifra dopo la virgola ha solo i “decimi”, mentre uno con due cifre ha i “centesimi”,
e i decimi sono più grandi dei centesimi.
Può essere interessante mettere a confronto, a scuola, il mondo dei numeri decimali
finiti con quello degli euro. Il mondo dei numeri decimali finiti è formato da infiniti
numeri, è denso, in esso non ha senso parlare di successivo. Il mondo degli euro,
anche se ci spingiamo a considerare, nei casi previsti dalla legge, fino a cinque cifre
decimali, è formato da un numero finito di elementi, non è denso, ma ha senso
parlare di successivo. (M. Ferrari, “Esplorare i mondi numerici del primo ciclo scolastico” –
L’insegnamento della Matematica e delle scienze integrate, vol. 29 A n. 5, settembre 2006
pagg. 520-521, Centro Morin, Paderno del Grappa)
Può essere utile fare riferimento a casi concreti che toccano ambiti preferiti dagli
alunni, come lo sport. Ad esempio può essere oggetto di indagine il fatto che per
battere un record (atletica, sci, automobilismo, ecc.) si misurano i tempi con unità di
16
misura sempre più piccole (decimi, centesimi, millesimi) e questo comporta che il
miglioramento sia anch’esso sempre più piccolo, se pure difficile da raggiungere.
Spunti per un approfondimento disciplinare
Dimostriamo che
Se
è irrazionale
fosse razionale, esisterebbero due numeri interi p e q tali che
supporre che la frazione
=
; è lecito
sia ridotta ai minimi termini (un qualunque fattore comune
al denominatore e al numeratore può essere semplificato).
Allora p2 = 2q2. Essendo il 2 un fattore del secondo membro, p2 è un numero pari, e
quindi anche p è pari, perché il quadrato di un numero dispari è dispari.
Si può perciò scrivere p = 2r.
La nostra uguaglianza di partenza diventa allora:
(2r)2 = 2q2 ovvero 4r2 = 2q2 ovvero 2r2 = q2
Poiché 2 è un fattore del primo membro, anche q2 e quindi q devono essere pari.
Quindi p e q sono entrambi divisibili per 2, contro l’ipotesi che siano primi fra loro.
fosse razionale
Poiché siamo arrivati ad una contraddizione, la nostra ipotesi che
non era vera, ossia
è un numero irrazionale.
Frazioni e numeri decimali – il periodo 9
V. Villani, nel già citato volume Cominciamo da Zero (Pitagora Editrice,
Bologna 2003), osserva che la scrittura di un numero razionale in notazione
decimale (con la virgola) ha lo scopo di trasformare le frazioni in qualcosa di
più simile ai numeri naturali, per facilitare il confronto (struttura d'ordine) e al
tempo stesso per facilitare i calcoli (estendendo opportunamente gli algoritmi
per operazioni "in colonna").
A tal fine, ricordiamo che la procedura della divisione fra interi a volte termina
dopo un numero finito di passi (numeri decimali limitati); in altri casi, da un
certo punto in poi le cifre decimali si ripetono ciclicamente (numeri decimali
periodici). Il passaggio dalle frazioni ai numeri decimali si inverte con il calcolo
della frazione generatrice.
Si sarebbe allora tentati di concludere che esiste una corrispondenza biunivoca
tra l'insieme Q del numeri razionali e l'insieme dei numeri decimali, limitati
(inclusi gli interi) o periodici.
C'è, però, l'eccezione dei decimali periodici di periodo 9. Con l’algoritmo della
divisione, nel passaggio dalle frazioni ai numeri decimali non si perviene mai a
numeri di questo tipo. Viceversa partendo da un numero decimale periodico
con periodo 9 si risale ad una frazione che a sua volta genera un numero
intero o decimale limitato.
17
Dopo gli esercizi usuali per il passaggio dai numeri periodici alle frazioni
_
_
generatrici (calcola la frazione generatrice di 1, 7 , oppure di 1,1 6 ), si può
_
prendere in considerazione il calcolo della frazione generatrice di 1, 9 :
_
1, 9 =
19 − 1 18
=
=2
9
9
Si possono poi calcolare le frazioni generatrici di numeri come
_
_
2, 9 ,
_
2,119 .
2,19,
La conclusione è che valgono le uguaglianze (non facili da accettare)
_
_
0, 9 = 1,
2, 9 = 3,
_
2,19 = 2,2,
_
2,119 = 2,12.
In base diversa da 10
Ricordiamo che la scrittura di un numero in forma di decimale limitato oppure
periodico non è una sua proprietà intrinseca, ma dipende dalla base scelta per
il sistema di numerazione: cambiando base, ad una stessa frazione
corrispondono decimali limitati oppure periodici.
Nel sistema di numerazione decimale, una frazione ridotta ai minimi termini
genera un numero decimale limitato quando il suo denominatore, scomposto
in fattori primi, contiene solo i fattori 2 e 5 (si rimanda all’attività “Dalla
frazione al numero decimale: esploriamo” del nucleo “Numeri”).
Per esempio, le frazioni seguenti corrispondono a numeri decimali limitati:
1
5
= 0,2,
3
4
7
10
= 0,75,
= 0,7,
Si ripeta ora il calcolo dopo aver trasformato i numeri in base 2. Vediamo ad
esempio il primo caso:
1(10) = 1(2)
5(10) = 101(2)
Eseguiamo la divisione in base 2:
1 : 101 = 0,00110011 …
10
100
1000
110
10
100
1000
110
1
…
Come si nota, in base 10 il quoziente
1:5
corrisponde al numero decimale
18
limitato 0,2, mentre lavorando in base 2 si ottiene il numero periodico 0, 0011 .
Infatti l’essere periodico non è una caratteristica intrinseca del numero, ma
dipende dalla base del sistema di numerazione.
Se calcoliamo in base 2 anche gli altri quozienti, troviamo:
3(10) = 11(2)
4(10) = 100(2)
11(2) : 100(2) ) = 0,11(2) (numero decimale limitato)
7(10) = 111(2)
10(10) = 1010(2)
111(2) : 1010(2) ) = 0,10110 (numero decimale periodico misto).
In base 2 si ottengono decimali limitati (con un numero finito di cifre dopo la
virgola) quando e solo quando il divisore corrisponde a potenze della base.
Prospettive sull’Infinito
K.F. Gauss (1777 – 1855) e tutti i grandi matematici dell’Ottocento erano convinti che
l'infinito in matematica fosse di natura potenziale, come la successione dei numeri
naturali 0, 1, 2, 3, 4, … che si può proseguire quanto si vuole. Di conseguenza la
matematica non doveva avere nulla a che fare con gli infiniti in atto e qualunque idea
che essi fossero “manipolabili” o che fossero reali (in senso matematico) era vista con
sospetto. Per molto tempo, la nozione di infinito attuale è stata rifiutata a causa dei
paradossi che ne derivano (in particolare il fatto che, negli insiemi infiniti, ci siano
“parti grandi quanto il tutto”).
in atto:
Ricordiamoci che Aristotele respingeva l’infinito attuale, ovvero negava qualsiasi
esistenza fisica all’infinito – pur concedendogli una certa esistenza matematica,
necessaria per concepire grandezze sempre più grandi o sempre più piccole. ...
Per esempio, Euclide fa riferimento non a rette senza fine, ma a segmenti di retta
prolungabili a lunghezze arbitrarie. Si tratta dunque di un infinito potenziale (si
considerano le linee rette finite, riservandosi la possibilità di prolungarle senza fine), e
questa appare un’estrapolazione ragionevole dall’esperienza. L’altro concetto, l’infinito
attuale, secondo cui esisterebbero realmente rette di lunghezza infinita, è differente
dal punto di vista metafisico.
Analogamente, in teoria dei numeri Euclide non dice che esistono infiniti numeri primi,
ma che “esistono numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi si voglia
proporre” (Euclide: Gli elementi– Libro IX – Proposizione 20). La maggioranza dei
matematici doveva dunque evitare gli infiniti attuali, limitandosi agli infiniti potenziali.
(J.P.Luminet, M. Lachieze-Rey: Finito o infinito? – Limiti ed enigmi dell’Universo –
Raffaello Cortina Editore 2006 - pagg. 69-70)
19
Sulla base di un'intuizione ingenua di infinito, si potrebbe pensare (come sosteneva I.
Newton) che l’infinito dei numeri naturali sia due volte più numeroso dell’infinito dei
numeri pari. Newton, in una lettera a Bentley, afferma che: “benché vi sia un numero
infinito di parti infinitamente piccole in un pollice, nondimeno c’è un numero dodici
volte maggiore di tali parti in un piede, ossia, il numero infinito di quelle parti in un
piede non è uguale, ma dodici volte superiore al loro numero infinito in un pollice”
(in I.B. Cohen, Isaac Newton’s Papers and Letters on natural Phylosophy, Cambridge
(Massachusetts), Harward University Press, 1958, p.295)
Toccherà a Dedekind (1831 – 1916) e soprattutto a Cantor (1845 – 1918) trovare
nuovi concetti matematici per superare i paradossi dell’infinito.
Cantor stabilisce che due insiemi infiniti hanno la stessa grandezza quando si possono
porre in corrispondenza biunivoca. Cantor dimostrò che esiste una gerarchia di infiniti,
ciascuno più grande di quelli sottostanti nella gerarchia.
L’infinito più piccolo è quello dei numeri naturali (infinito numerabile). Nella teoria di
Cantor infiniti come quello dei numeri naturali e quello dei numeri pari (o dispari)
hanno la stessa grandezza (o potenza).
Senza entrare nei dettagli, ricordiamo che gli insiemi N, Z, Q, hanno lo stesso tipo di
infinità, perché hanno tutti la “potenza del numerabile”.
Esistono, poi, altri infiniti, che non possono essere numerati, sono gli “infiniti non
numerabili”. E' di questo tipo, per esempio, l'insieme R dei numeri reali.
Con i numeri reali, infatti, si ha un salto di qualità: la loro infinità è più grande di
quella dei numeri naturali. Questa infinità viene chiamata “potenza del continuo”.
Possiamo concludere che gli insiemi numerici abitano in una casa a due piani: al primo
piano abitano gli insiemi dei numeri naturali, dei numeri interi relativi e dei numeri
razionali, con la loro potenza del numerabile; al secondo piano abita l’insieme dei
numeri reali con la potenza del continuo.
La casa di tutti gli insiemi infiniti, però, è un grattacielo senza fine perché gli infiniti
sono disposti in una gerarchia che va ben al di là della potenza del continuo.
Nel 2003 alla Bovisa di Milano è stato presentato da Luca Ronconi uno spettacolo
molto interessante che ben coniugava il teatro con la scienza: Infinities di John D.
Barrow, completamente dedicato al concetto e ai paradossi dell’Infinito.
http://www.piccoloteatro.org/infinities/index.html
Elementi per prove di verifica
1. Correggi, spostando quei numeri che sono stati collocati in modo errato nel
seguente diagramma di Eulero-Venn.
R
0, 3
Z
N
+5
3,8
9
−
Q
7
8
20
20
3
–10/2
2, 28
24
13
2. Inserisci nel diagramma di Eulero-Venn i seguenti numeri: 1,8; 14; 0,02; –7;
2 ; 7 ; 0; 4/3; 3, 5 ; –3/2.
R
Q
N
Z
3. Esegui le seguenti operazioni
25
15:3 ; 5:7; 3-7; 9-4; 3- 3 ; 5-11; 12:5;
Specifica, per ciascun risultato, se si tratta di un numero naturale, di un numero
intero relativo, di un numero razionale, di un numero reale.
4. Esiste nell'insieme N un numero il cui quadrato sia 11? E nell'insieme Q? E
nell'insieme R? E se si cerca un numero il cui quadrato sia 49?
5. Completa lo schema successivo scrivendo la frazione decimale o il numero
decimale corrispondente al punto indicato:
0
0,6
0,2
1
5
1
2
1,5
4
5
1
1
6. Trova un numero:
21
a. compreso tra 2 e 3
b. compreso tra 2 e 2,1
c. compreso tra 2,1 e 2,01
7. Il tangram e i numeri irrazionali (si veda la fase 5). Mettere il triangolo 1
(triangolo rettangolo piccolo) sopra il triangolo 6 (triangolo rettangolo grande);
si ricordi che i lati del triangolo 6 sono il doppio dei lati corrispondenti del
triangolo 1. Calcolare l’area e il perimetro del trapezio che si ottiene per
differenza, supponendo che la lunghezza del cateto del triangolo grande sia 60.
1
6
Spunti per altre attività con gli studenti
Iniziamo con la costruzione di un segmento di lunghezza
n.
Applicando il teorema di Pitagora troviamo che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo
isoscele, con i cateti unitari, è lunga
. È possibile visualizzare anche 3 , 5 , …
attraverso la costruzione di una spirale (detta spirale di Teodoro di Cirene).
Partiamo da un triangolo rettangolo isoscele con i cateti di lunghezza unitaria,
l'ipotenusa sarà . Consideriamo questa ipotenusa come cateto di un nuovo triangolo
rettangolo con l'altro cateto unitario: ora l'ipotenusa sarà 3 . Ora facciamo diventare
questa ipotenusa come cateto di un nuovo triangolo rettangolo con l'altro cateto
unitario: l'ipotenusa sarà ora 4 = 2; ecc.
22
1
1
1
La seguente attività pratica permette di fare qualche considerazione sulle operazioni
con i numeri irrazionali e di osservare che esse richiedono regole specifiche.
L’insegnante chiede agli alunni di disegnare su un cartoncino una strisciolina
rettangolare lunga 2 dm (riportando con il compasso la lunghezza della diagonale di
un quadrato di lato 1 dm) e ritagliarla. Successivamente gli alunni dovranno disegnare
e ritagliare striscioline lunghe 3 e 5 dm (si veda la costruzione precedente).
Sarà così possibile collocare i segmenti ottenuti uno di seguito all’altro (vedi figura: le
dimensioni sono indicative):
3
2
In questo modo si è costruita la somma di due numeri irrazionali senza scriverli come
numeri decimali.
Con lo stesso procedimento gli alunni costruiranno un’altra strisciolina rettangolare
che misura 5 dm.
2+ 3
5
L’insegnante propone di confrontare la lunghezza della somma di
2 e
3 con la
lunghezza della strisciolina 5 : si può dire che 2 + 3 = 5 ?
I ragazzi potrebbero essere indotti ad applicare proprietà ingenue. Certamente, non è
ancora il momento di affrontare le operazioni con i radicali, ma è opportuno far notare
che uguaglianze come la precedente non sono corrette.
L’attività può procedere con la seguente richiesta:
23
“Se colleghiamo all’estremità con dei fermacampioni le tre striscioline di misura
2 dm, 3 dm e 5 dm in modo da formare un triangolo, possiamo affermare che è
un triangolo rettangolo? Giustificare la risposta”
(E. Castelnuovo: La Matematica - Numeri B – La Nuova Italia 2006)
La risposta è affermativa, perché i tre numeri soddisfano la relazione espressa
dal teorema di Pitagora, che è condizione necessaria e sufficiente perché un
triangolo sia rettangolo.
Bibliografia
J.D. Barrow: Le Immagini della Scienza- Cinquemila anni di scoperte: una storia visiva
– Mondadori 2009
M. Ferrari “Esplorare i mondi numerici del primo ciclo scolastico” – L’insegnamento
della Matematica e delle scienze integrate vol. 29 A n. 2, marzo 2006 - Centro Morin
Paderno del Grappa
V. Villani: Cominciamo da Zero, Pitagora Editrice - Bologna 2003
La Matematica dalla scuola materna alla maturità - a cura di L. Grugnetti e V.Villani
Pitagora Editrice 1999
Facciamo i conti con l’euro –La nuova moneta e i numeri decimali a scuola – a cura
dell’UMI – MPI 2000
Corant Robbins, Che cos’è la matematica – Boringhieri Torino 1971
J.P.Luminet, M. Lachieze-Rey: Finito o infinito? – Limiti ed enigmi dell’Universo –
Raffaello Cortina Editore 2006
D. Barrow - Infinities
http://www.piccoloteatro.org/infinities/index.html
Proposta di attività per il corsista
Da condividere e discutere in rete.
Leggere l’attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti:
individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli
sinteticamente per scritto.
Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze.
Sperimentare l’unità proposta:
24
−
−
−
−
fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l'attività;
esplicitare gli adattamenti necessari;
formulare il progetto didattico relativo;
preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative
alla situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e
INVALSI).
Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di
sperimentazione vissuta in classe: l’insegnante dovrà elaborare un diario con
l’esposizione dell’esperimento svolto, di come gli studenti hanno reagito alla proposta
didattica, delle difficoltà incontrate in particolare nel processo di costruzione di
significato e di procedura di soluzione e di come sono state superate le difficoltà.
Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono stati
responsabilizzati all'apprendimento.
25