PROGRA MM A DEL CO RSO DI M ATE MA TI C A GE NERALE
Cor so di Lau re a in Eco nomia d ei Me rc ati e d egli In t er medi ari Fina nzia ri
8 C r editi
Anno Accademico 2007-08
Prof. Walter Betori
Parte Propedeutica – La Matematica come metodo e come strumento. Richiami di teoria degli insiemi. Operazioni tra insiemi. Leggi di de Morgan.
Funzioni tra insiemi. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Insiemi di numeri: numeri naturali, interi, razionali e reali. Richiami sull'algebra dei
polinomi e sulle equazioni algebriche. Le disequazioni. L'equazione cartesiana della retta . Equazione cartesiana della retta, della circonferenza, della
parabola e dell'iperbole.
1. Insi emi di num e ri. Struttura algebrica e struttura d'ordine di R. Insiemi densi e completi. Estremo
superiore ed estremo inferiore. L'insieme R ampliato. Intorni in R e in R ampliato. Punti di accumulazione.
Teorema di Bolzano-Weierstrass (s.d.). Punti isolati, interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Non
numerabilità di R . Insiemi finiti ed infiniti. Cenni sui numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra
(s.d.).
2. Fu nzioni el e men ta ri. Funzioni reali di variabile reale. Dominio, condominio e grafico di una funzione.
Successioni. Funzioni pari e dispari. Funzioni limitate. Funzioni composte. Funzione inversa. Funzioni monotòne.
Punti di massimo e di minimo. Funzioni algebriche: grafico di funzioni polinomie di primo e di secondo grado.
Funzioni convesse e concave. Funzioni potenza. Funzioni esponenziali. Equazioni e disequazioni esponenziali.
Funzioni logaritmiche. Equazioni e disequazioni logaritmiche. Funzione valore assoluto. Cenni alle funzioni
trigonometriche. Grafici di funzioni deducibili da quelli delle funzioni elementari mediante traslazioni nel piano.
3. Li miti di funzio ni e di su cc essioni . Funzio ni con tinu e. Definizione di limite. Limite destro e limite
sinistro. Teorema di unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Limiti di funzioni monotone.
Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Teorema del confronto. Operazioni tra limiti. Funzioni
continue. Calcolo di limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli (s.d.).
Funzioni continue. Discontinuità di prima e di seconda specie. Discontinuità eliminabile. Teoremi sulle funzioni
continue. Teorema di Weierstrass (s.d.). Teorema degli zeri (s.d.). Teorema dei valori intermedi ( Darboux) (s.d.).
Infinitesimi ed infiniti. Confronto tra infinitesimi e tra infiniti. Principio di sostituzione degli infinitesimi e degli
infiniti.
4. El em en ti di cal colo di ffe re nzial e. Definizione di derivata. Derivata destra e sinistra. Significato
geometrico. Legami tra continuità e derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione (s.d.).
Derivata logaritmica. Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni differenziabili. Significato geometrico del
differenziale. Elasticità di una funzione.
Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Teoremi di de l'Hôpital (s.d.). Polinomio di Taylor e di Maclaurin (s.d.).
Formula di Taylor con il resto di Lagrange (s.d.). Applicazioni al calcolo approssimato. Funzioni crescenti e
decrescenti. Punti di massimo e di minimo. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Asintoti. Studio di
funzioni.
5. Int e gr ali. L'integrazione in R secondo Riemann. Proprietà dell'integrale definito. Teorema del valor medio.
Primitive di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale e conseguenze. L'integrale indefinito.
Integrazione per decomposizione. Integrazione di particolari funzioni razionali fratte. Integrazione per parti e
cenni all’integrazione per sostituzione. Calcolo di integrali definiti e determinazione di aree di figure piane.
6. Alg eb ra line ar e. Lo spazio vettoriale R n. Somma tra vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare.
Prodotto scalare tra vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Insiemi sostegno, basi e
dimensione di uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali.
Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante di una matrice quadrata. Teoremi di Laplace (s.d.). Calcolo di
determinanti. Proprietà dei determinanti. Matrice inversa. Condizione di esistenza e determinazione della
matrice inversa. Rango o caratteristica di una matrice.
Sistemi lineari. Teorema di Rouchè-Capelli e di Cramer (s.d.).Sistemi lineari omogenei. Applicazioni dei sistemi
omogenei allo studio della dipendenza ed indipendenza lineare di vettori. Sistemi lineari parametrici.
Tes to con siglia to
•
L.Peccati-S.Salsa-A.Squellati – Matematica per l’Economia e l’Azienda, III Ed. Egea (2004) ,
oppure
•
A.Guerraggio – Matematica , Bruno Mondadori (2004)
Alt ri tes ti
•
P. Boieri, G. Chiti - Precorso di Matematica, Zanichelli (1994) (per l'approfondimento degli argomenti di
carattere propedeutico, indicato per gli studenti che hanno carenze di base)
Per lo svolgimento degli esercizi potrebbe risultare utile uno qualunque dei seguenti testi:
V. Pipitone, Problemi e esercizi di Matematica, CEDAM (1994)
Angoli, L. De Dionigi, G. Giorgi - Matematica generale, esercizi svolti, Giappichelli (1992) (esercizi su quasi
tutti gli argomenti del programma, esclusi l'algebra lineare e lo studio di funzioni)
• Angoli, L. De Dionigi, G. Giorgi - 100 studi di funzioni, Giappichelli (1992) (solo studi di funzioni)
• S.Salsa-A.Squellati- Esercizi di matematica: calcolo infinitesimale ed algebra lineare, vol.I, Zanichelli (2001)
•
•
Modalità per lo svolgimento dell'esame
Modalità per lo svolgimento dell'esame
L’esame può essere svolto in due modalità alternative (a) e (b) di seguito riportate.
In ogni caso, lo studente deve presentarsi alle prove munito di libretto universitario.
(a) Modalità ordinaria
L'esame, che si svolge nelle giornate previste dal calendario degli esami, è articolato in una prova scritta e in una prova
orale.
E' ammesso a sostenere la prova orale chi avrà riportato alla prova scritta una valutazione maggiore o uguale a 15/30.
Chi ha superato la prova scritta con un voto sufficiente (≥ 18/30) potrà sostenere la prova orale o nello stesso appello o
in un altro appello della stessa sessione. Chi ha superato la prova scritta con 15, 16 o 17 potrà sostenere l'orale nello
stesso appello oppure presentarsi di nuovo alla prova scritta dell'appello successivo. Lo studente che non supera la
prova scritta o orale, potrà ripresentarsi all’appello successivo.
Inoltre:
a.
Lo studente si deve prenotare per la prova scritta sull’apposita lista appesa sulla bacheca della sezione di
finanza matematica del dipartimento che sarà a disposizione sino al giorno prima dell’appello di esame.
b. Lo studente deve presentarsi alla prova scritta munito di libretto universitario (o di un documento di
identità) e può usare soltanto un libro di testo e la calcolatrice (non grafica) .
(b) Articolazione dell’esame in una prova intermedia e in una prova di completamento
Gli studenti che hanno superato la prova intermedia sono ammessi a sostenere la prova scritta di completamento si
svolgerà il !0 Gennaio 2007. Come già detto la prova di completamento è unica. La prova è superata se il voto riportato
è maggiore o uguale a 15/30. Gli studenti che non supereranno quella di completamento potranno sostenere l’esame,
secondo le modalità in (a), nel primo appello utile..
Gli studenti che superano entrambe le prove (intermedia e di completamento ) con valutazione sufficiente (≥ 18/30),
hanno la possibilità di non sostenere la prova orale, ottenendo come valutazione definitiva la media aritmetica tra le
due prove scritte. Ogni studente che abbia superato le prove scritte (intermedia e di completamento), può comunque
sostenere l’esame orale.
Casi particolari:
•
Se la media delle prove scritte è ≥ 27/30, lo studente deve sostenere l’esame orale;
• Se almeno una delle prove scritte è stata superata con una valutazione di 15, 16 o 17, lo studente deve sostenere
l’esame orale relativamente alla prova in cui ha ottenuto tale valutazione (eventualmente entrambe)
Il materiale didattico, le prove di esame degli appelli precedenti ed ulteriori informazioni sul corso sono reperibili
al sito internet: http://diec.ec.unipg.it/publish/matematica_generale.phtml.