La nascita del calcolo
Umberto Bottazzini
Università di Milano
Gli attori
Gli attori
Gli attori
Prologo
Una domanda
Come si traccia
la tangente alla
cicloide?
Equazione della cicloide
x = r(t- sen t)
y = r(1-cos t)
Oppure (eliminando la t)
x = r arcos (r-y)/r - (2ry –y2)1/2
Polemiche sulla ‘roulette’
• Lettres de Amos
Dettonville (1659)
(‘triangolo
caratteristico’)
Risposte alla sfida di Pascal
• La cicloide è una
curva ‘tautocrona’
(un punto pesante che
la percorre arriva
punto di minimo nel
medesimo tempo
qualunque sia il punto
di partenza)
• L’evoluta di una
cicloide è una cicloide
Oscillazioni isocrone
• Horologium
oscillatorium (1673)
• Il ‘giogo’ ha la forma
di una cicloide
Studio delle evolventi di una curva
Data una curva, la sua evolvente è la traiettoria descritta
dall’estremità libera di un filo teso OP (con l’altra
estremità fissata in un punto O della curva) che avvolge la
curva. Una caratteristica notevole dell’evolvente è che
presenta una cuspide quando incontra la curva data nel
punto P. Geometricamente ci si rende conto di questo fatto
osservando che il raggio del cerchio osculatore in un
generico punto X dell’evolvente è uguale alla lunghezza
del filo XY (dove Y è il punto corrente sulla curva) e,
poiché il filo diventa sempre più corto man mano che il
punto X si avvicina al punto P, la curvatura in P diventa
infinita. Huygens affronta il problema studiando la forma
del giogo a cui si avvolge la corda di un pendolo in modo
da ottenere oscillazioni (non solo piccole) isocrone (e
scopre che la forma deve essere quella di una cicloide, la
cui evolvente è ancora una cicloide.)
Leibniz a Parigi (1672-76)
La trasmutazione delle
figure = Riduzione
della quadratura di una
curva alla quadratura
di un’altra, via l’uso
del triangolo
caratteristico
“integrazione per
parti”
Traité de sinus du quart de cercle
• Pascal sembra
procedere con gli
occhi bendati
(Leibniz a J.
Bernoulli, 1703)
Leibniz a Parigi (1672-73)
Serie:
π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 -…
π/8 = 1/1.3 + 1/5.7 +
1/9.11 + …
Leibniz a Parigi (1672-73)
Serie:
¼ log2 = 1/2.4 + 1/6.8
+ 1/10.12 +…
L’area sottesa
dall’iperbole di
diametro√2 è ¼ log2
mentre l’area del
cerchio circoscritto al
quadrato di lato ½ è
π/8
Un nuovo simbolismo
“Dato l e la sua relazione con x, trovare ∫l. Ciò è
da ottenersi dal calcolo inverso cioè dal supporre
∫l= ya. Sia l = ya/d, così come ∫ aumenta, d
diminuisce le dimensioni. ∫ significa una somma, d
una differenza. Da y dato possiamo sempre trovare
y/d.”
(manoscritto del 1675)
“y/d e dy sono la stessa cosa, la differenza di due y
prossime tra loro”
Nuovo formalismo
“Leibniz elaborò piuttosto rapidamente il
formalismo dell’analisi come lo conosciamo
oggi. In quella forma cioè, che è
particolarmente adatta ad insegnare la
materia, senza averla capita, a chi non la
capirà mai” (Arnold, Hygens & Barrrow,
Newton e Hooke, 1996)
Regole del calcolo
d(xy) = dxdy?
Leibniz lo crede prima di trovare
d(xy) = xdy +ydx
“A nessun matematico che ragioni in modo
induttivo verrebbe mai in mente, l’idea originaria
di Leibniz” (Arnold)
Un semplice figura rivela a cosa è uguale d(xy)
Regole del calcolo
d(xy) = (x+dx)(y+dy) –xy = xdy + ydx +
dxdy = xdy + ydx
dxn = (x+dx)n - xn = nxn-1dx + dx2 )(…) =
= nxn-1dx
Applicazione alla cicloide
• dy/dx = (2ry –y2)1/2 /y
• s = 8r sen2 t/4 (per t = 2π si ha s = 8r
(teorema di Wren)
• Area sottesa = 3 π r2
Oltre la Manica
“Tutto ciò accadeva
nei due anni della
peste, nel 1665 e 1666,
perché in quei tempi
ero nel fiore dell’età
creativa e curavo la
matematica e la
filosofia più di quanto
non abbia mai fatto in
seguito”
Dall’Arithmetica infinitorum (1656)
• (1–x2)1/2 = 1 – (1/2)x2 – (1/8)x4 – …
• (a+x)m/n = a m/n + (m/n)am/n-1 x + …
• (1+x) -1 = 1–x + x2 – x3 + …
• log(1+x) = x - x2 /2 + x3 /3 - …
De analysi per aequationes numero
terminorum infinitas, 1669 (1711)
“Qualsiasi cosa l’analisi comune esegua
permezzo di equazioni con un numero finito
di termini questo metodo può sempre
eseguire la stessa cosa per mezzi di
equazioni infinite. … I ragionamenti usati in
questa analisi non sono meno certi di quelli
usati nell’altra, e le sue equazioni non sono
meno esatte”
De analysi per aequationes numero
terminorum infinitas, 1669 (1711)
“Regola I: Se ax m/n = y
allora (na/m+n) x(m+n)/n sarà uguale all’area”
Esempio: sia l’area z = (2/3) x3/2 allora l’ordinata
della curva è y = x 1/2
Applicazione del metodo “in maniera diretta
e inversa”
Methodus fluxionum et serierum
infinitarum, 1671 (1736)
• Grandezze geometriche variabili (fluenti)
• Velocità istantanee di variazione (flussioni)
• I ‘momenti’ delle fluenti sono “gli
incrementi infinitesimi di cui queste
quantità aumentano in intervalli infinitesimi
di tempo”
• Se per esempio z è una fluente, allora ż è la
flussione e se o è un intervallo infinitesimo
di tempo, żo è il momento della fluente z
• Soluzione del ‘problema inverso delle
flussioni’
De quadratura curvarum, 1676
(1704, in appendice all’Optiks)
“Considero le grandezze matematiche non
come costituite da parti piccole a piacere ma
come generate da un moto continuo”
Queste cose “hanno veramente luogo in
natura e si osservano ogni giorno nel
movimento dei corpi”
De quadratura curvarum, 1676
(1704, in appendice all’Optiks)
• “Data una curva AC, avanzi l’ordinata BC
dalla sua posizione ad un’altra qualsiasi
B’C’ . Si conduca la retta CC’ prolungata
fino a K. Ora “ritorni B’C’ nella sua
posizione primitiva BC e venendo a
coincidere i punti C e C’, la retta CK
coinciderà con la tangente CH, e il triangolo
evanescente CEC’ nell’ultima sua forma
diventerà simile al triangolo CET”
De quadratura curvarum, 1676
(1704, in appendice all’Optiks)
• Esempio paradigmatico: La quantità x
fluisca uniformemente, e sia da trovare la
flussione di xn
Newton sviluppa (x+o)n col teorema del
binomio. Gli incrementi o e noxn-1 +
n(n-1)/2 o2 xn-2 + …stanno fra loro come 1
sta a nxn-1 + n(n-1)/2 o xn-2 + …
De quadratura curvarum, 1676
(1704, in appendice all’Optiks)
• “Se quell’incremento o svanisce, la loro
ultima ragione sarà 1: nxn-1 ”
• Il metodo è “in armonia con la geometria
degli antichi”
Carteggio (1676)
• Newton a Leibniz “su alcune cose che ho
avuto la fortuna di trovare”
(metodo delle serie in particolare)
“Già da diverso tempo queste speculazioni
hanno cominciato ad infastidirmi, al punto
che da cinque anni non mi occupo più di
esse”
Carteggio (1676)
• Leibniz a Newton: metodo della trasmutazione
delle figure, quadratura del cerchio e dell’iperbole.
• “Un principio molto più esteso, cioè un’arte
combinatoria generale e vera”
• Soluzione del problema di De Beaune (Trovare la
curva per la quale la sottotangente ha lunghezza
costante) “nell’ora stessa in cui aveva cominciato
a esaminarlo”
Carteggio (1676)
• Newton a Leibniz: serie binomiale con un
procedimento di interpolazione
• Anagramma “Data un’equazione avente
quantità fluenti, trovare le flussioni e
viceversa”
Carteggio (1676)
• Lebniz a Newton: metodo delle differenze
mediante esempi
• “Penso che ciò che Newton ha voluto
nascondere del suo metodo per tracciare le
tangenti non discordi da quanto ho detto
sopra”
Il calcolo in pubblico
• Leibniz, Nova methodus pro maximis et
minimis, itemque tangentibus quae nec
fractas nec irrationales quantitates moratur,
et singulare pro illis calculi genus, 1684
• Newton, Philosophiae naturalis principia
mathematica, 1684
Strategie di pubblicazione
• Leibniz: “La dimostrazione di tutte le regole
esposte sarà facile per chi è versato in questi
studi”
• “E questi invero sono solo gli inizi di una
geometria molto più sublime, che si estende
a qualunque dei problemi più difficili e più
belli”
• Newton: “metodo sintetico delle flussioni”
ovvero
“metodo dei primi e ultimi rapporti”
esempio (lemma 7): “Gli ultimi rapporti
dell’arco, della corda e della tangente sono
rapporti di uguaglianza”
Prop. 1: La legge delle aree
Principia
• Libro II, lemma II, Scolio
Newton accenna alla corrispondenza con
Leibniz, scioglie l’anagramma e aggiunge
che il metodo comunicatogli da Leibniz
“differisce dal mio soltanto nelle parole e
nella notazione”
La nascita di ‘scuole’
• I metodi di Leibniz e Newton erano
‘equivalenti’?
• Il problema dei fondamenti
• Il calcolo lebniziano come ‘ars inveniendi’
• Il rigore newtoniano degli ‘Antichi’
La polemica sulla priorità
• Accuse a Leibniz di plagio
• Commissione della Royal Society (di cui
Leibniz era membro e Newton presidente)
• Commercium epistolicum (1712)
• “Si deve senza dubbio ammettere che fra
Newton e Leibniz sussiste una enorme
differenza nel modo di trattare la filosofia”
“La scoperta
di un continente sconosciuto”
• La meccanica è il grande affaire della
matematica del Settecento
• Successo della fisica-matematica
newtoniana formulata col calcolo
leibniziano