APPUNTI DI ELETTRONICA
FUNZIONI DI
TRASFERIMENTO
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
• Rapporto tra uscita e ingresso di un
sistema nel dominio della variabile
complessa s
G(s) = U(s) / I(s)
I(s)
U(s)
G(s)
(cosa rappresenta s ?)
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
• Per sistemi lineari G(s) e’ il rapporto tra due
polinomi N(s) e D(s)
G(s) = N(s) / D(s)
Risolvendo le equazioni N(s)=0 e D(s)=0 si
trovano le radici e ogni polinomio si puo’
fattorizzare nel seguente modo
N(s)=(s-z1)(s-z2)…….
D(s)=(s-p1)(s-p2)…….
(Fattorizzazione polinomio?)
(sistema lineare ?)
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
• Pertanto la G(s) si puo’ scrivere
( s  z1 )( s  z2 ).......
G(s) 
( s  p1 )( s  p2 ).....
dove:
z1, z2 ,….. (radici del numeratore) sono gli zeri
p1, p2 ,….. (radici del denumeratore) sono i poli
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
• ZERI : valori della variabile s che
annullano il numeratore della G(s) e quindi
la G(s)
• POLI : valori della variabile s che
annullano il denumeratore della G(s)
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
• Esempio:
s 2  3s  2
G( s)  2
s  7 s  12
• Risolvo
s 2  3s  2  0
s 2  7 s  12  0
3  9  8
s
2
7  49  48
s
2
s1  1
s2   2
s1  3
s2   4
• G(s) ha 2 zeri (-1, -2) e 2 poli (-3, -4) e quindi
( s  1)( s  2)
G( s) 
( s  3)( s  4)
Dominio del tempo (t) e della s
• Un sistema lineare (rappresentato in figura)
presenta un segnale di uscita u(t) in
corrispondenza del segnale di ingresso i(t).
• u(t) = f(i(t)) (uscita funzione dell’ingresso)
i(t)
u(t)
sistema
(sistema lineare ?)
Dominio del tempo (t) e della s
• Il legame tra il segnale di uscita u(t) e di
ingresso i(t) e’ in generale complesso e
prevede la soluzione di equazioni integrodifferenziali.
• Il passaggio al dominio s consente una
soluzione piu’ semplice oltre a fornire
importanti informazioni sul comportamento
del sistema.
(equazioni integro-differenziali ?)
Dominio del tempo (t) e della s
• L’operatore matematico che trasforma una
funzione del tempo f(t) in una funzione F(s) e’ la
trasformata di Laplace
f(t)
F(s)
Trasf. Laplace

F ( s )   f (t )e  st dt
0
(Trasformata di Laplace ?)
Dominio del tempo (t) e della s
• Tra le proprieta’ della trasformata di Laplace quella della derivata e
dell’integrale:
• La derivata nel tempo corrisponde a moltiplicare per s
• L’integrale nel tempo corrisponde a moltiplicare per 1/s
t

s
df (t )
dt
sF ( s )
f (t )dt
1
F (s)
s
Dominio del tempo (t) e della s
•
•
L’equazione differenziale che lega uscita e ingresso nel tempo,
diventa un’equazione algebrica nelle trasformate.
Esempio:
u (t )  a  i (t )  b 
di(t )
dt
Equazione differenziale

U ( s)  a  I ( s )  b  s  I ( s )  (a  b  s )  I ( s ) Equazione algebrica
U (s)
G(s) 
 (a  b  s ) Funzione di trasferimento
I (s)
Dominio del tempo (t) e della s
• Lo studio della risposta di un sistema, passando per le trasformate
avviene secondo lo schema di figura.
• Il sistema viene caratterizzato dalla funzione di trasferimento G(s) e
l’uscita U(s)=G(s)I(s)
i(t)
u(t)
sistema
AntiLaplace
Laplace
I(s)
G(s)
U(s)=G(s)I(s)
Dominio del tempo (t) e della s
• La funzione di trasferimento G(s) fornisce
importanti informazioni circa il
comportamento del sistema ad esempio la
stabilita’.
• Ponendo s=jω la G(jω) rappresenta la
risposta in frequenza del sistema
(Stabilita’?)
(Risposta in frequenza?)
STABILITA’
• Un sistema lineare, tempo invariante e con condizioni
iniziali nulle, e’ asintoticamente stabile se la sua
risposta (uscita) tende a zero in corrispondenza di un un
qualunque ingresso di durata limitata, altrimenti e’
instabile.
i(t)
u(t)
i(t)
stabile
i(t)
u(t)
instabile
u(t)
i(t)
u(t)
STABILITA’
• Dalla funzione di trasferimente G(s) si puo’
verificare la condizione di stabilita’ del
sistema.
• La condizione di stabilita’ e’ che tutti i poli
della G(s) abbiano parte reale negativa
(Giustifica questa proprieta’)
RISPOSTA IN FREQUENZA
• Ponendo s=jω la G(jω) rappresenta la risposta in frequenza del
sistema.
• La G(jω) e’ una funzione complessa
G( j)  G( j) e j ( )
in cui il modulo rappresenta il guadagno in ampiezza di un segnale
sinusoidale alla pulsazione ω e la fase il corrispondente
sfasamento.
Es.
Se Acos(ωot) e’ il segnale in ingresso a un sistema con risposta in
frequenza G(jω), l’uscita e’
A| G(jωo)| cos(ωot+Φ(ωo))
RISPOSTA IN FREQUENZA
• Piu’ in generale la risposta in frequenza indica la
variazione in ampiezza e sfasamento di ciascuna
componente spettrale del segnale.
(Spettro di un segnale)
TRASFORMATA DI LAPLACE
• Data una funzione del tempo f(t), la trasformata di
Laplace F(s) e’ definita

F ( s )   f (t )e dt
dove s = α +jω
 st
0
• La corrispondenza tra f(t) e F(s) e’ biunivoca, nel senso
che a una f(t) corrisponde una F(s) e viceversa
f(t)
F(s)
TRASFORMATA DI LAPLACE
• Proprieta’
domino tempo t
f(t)
Kf(t)
f(t)+g(t)
df (t )
dt

f (t )dt
dominio s
F(s)
kF(s)
F(s)+G(s)
sF(s)
Linearita’
F(s)/s
integrale
derivata
TRASFORMATA DI LAPLACE
• Principali segnali e trasformate
•
f(t)
F(s)
•
•
•
•
•
•
•
1
1/s
(1/s) e-sto
1/s2
1/(s+k)
ω/(s2+ ω2)
s/(s2+ ω2)
Impulso δ(t)
Gradino u(t)
Gradino u(t-to)
Rampa tu(t)
Esponenziale e-kt
Sinωt
Cosωt
TRASFORMATA DI LAPLACE
• Applicazione ai circuiti elettrici
• Legame tensione-corrente per componenti elettrici
• Resistenza:
tempo t
trasformate
v(t )  Ri (t )
• Condensatore:
tempo t
dv(t )
i (t )  C
dt
• Induttanza:
tempo t
v(t )  L
di (t )
dt
V ( s)  RI ( s)
R
I
V
trasformate
I ( s )  sCV ( s ) ; V ( s ) 
1
I ( s)
sC
C
I
V
trasformate
I
L
1
2
V ( s )  sLI ( s )
V
TRASFORMATA DI LAPLACE
• Esempio 1:
• Un sistema con funzione di trasferimento G(s) e’ sollecitato in
ingresso da un impulso δ(t); trovare l’uscita u(t)
1
G( s) 
s3
• La trasformata dell’ingresso I(s) e’ 1 (vedi tabella)
• La trasformata dell’uscita U(s)=G(s)I(s); quindi
• Antitrasformando si ha
1
U (s) 
s3
u (t )  e3t
TRASFORMATA DI LAPLACE
• Esempio 2:
• Dato il circuito RC,calcolare la tensione vo dopo aver chiuso
l’interruttore al tempo t=0.
R
E
V1
C
Vo
• La tensione v1 nel tempo ha un andamento a gradino
v1
E
t
TRASFORMATA DI LAPLACE
•
•
•
Esempio 2
La trasformata di Laplace di v1 e’ E/s
La funzione di trasferimento del circuito e’
•
La trasformata di Laplace dell’uscita vo e’
Vo 
•
1
sC
Vo
1


V1 R  1 1  sCR
sC
Vo 
E
ECR
E
E

 
s 1  sCR s s  1
CR
Antitrasformando si ottiene
vo
vo (t )  E  E e
E
1
s 1  sCR 

t
RC
E
t
 E (1  e

t
RC
)
FATTORIZZAZIONE DI UN
POLINOMIO
• Dato un polinomio di grado n
p  an x n  an 1 x n 1  ....a1 x  a0
risolvendo l’equazione
an x n  an 1 x n 1  ....a1 x  a0  0
si trovano n soluzioni
x1 , x2 ,...., xn
e il polinomio puo’ essere scritto nella forma
p  ( x  x1 )( x  x2 ).....( x  xn )
SISTEMA LINEARE
• Un sistema e’ lineare quando il legame tra uscita y e ingresso x e’
un’equazione algebrica di primo grado o differenziale lineare a
coefficienti costanti (con la varibile x di primo grado).
• Es.
dx d 2 x
y  kx 
dt

dt
2
 ...
• Proprieta’ dei sistemi lineari:
• vale il principio di sovrapposizzione degli effetti: l’uscita del
sistema in corrispondenza a piu’ ingressi puo’ essere calcolata come
somma delle uscite in corrispondenza di ciascun ingresso,
annullando gli altri
• Se l’ingresso e’ una sinusoide a una certa frequenza, anche l’uscita
e’ una sinusoide alla stessa frequenza, con ampiezza e fase
opportuna
Il dominio della variabile s
• s e’ una variabile simbolica complessa
s = α +jω
dove ω è la pulsazione (rad/sec)
legata alla frequenza f (Hz) dalla
relazione
ω = 2πf
EQUAZIONI INTEGRO
DIFFERENZIALI
• In un’equazione algebrica le soluzioni sono quei valori numerici
che soddisfano l’equazione; gli operatori matematici sono quelli
algebrici.
2
x
 5x  4  0
• Es:
soluzioni : x1  4 x2  1
• In un’equazione integro-differenziale le soluzioni sono delle
funzioni di una variabile ( ad esempio il tempo) che soddisfano
l’equazione: gli operatori matematici, oltre a quelli algebrici, sono
quelli di derivata e di integrale
• Es:
dx
3  5x  0
dt
• La soluzione e’ una particolare funzione x(t)
STABILITA’
•
Per dimostrare la stabilita’ di un sistema, basta verificare che in
corrispondenza a un ingresso finito, ad esempio un segnale impulsivo,
l’uscita tenda a 0.
•
Con i(t)= δ(t) I(s)=1 e pertanto U(s)=I(s)G(s)=G(s)
U (s)  G (s) 
•
•
( s  z1 )( s  z2 ).......
( s  p1 )( s  p2 ).....
La U(s) puo’ essere scomposta nel seguente modo
A
B
K
U ( s) 

 .. 
( s  p1 ) ( s  p2 )
( s  pn )
Antitrasformando si ottiene
u(t )  Ae p1t  Be p2t  ..  Ke pnt
•
Affinche’ la u(t) tenda a zero, tutti I coefficiente p (poli) devono essere
negativi
SPETTRO DI SEGNALE
• Un generico segnale funzione del tempo puo’ essere
considerato come la sovrapposizione di segnali
sinusoidali di frequenza, ampiezza e fase opportuna.
• Ogni sinusoide viene detta componente spettrale o
armonica e l’insieme di tali componenti viene detto
spettro.
• Per segnali non periodici lo spettro e’ continuo
compreso tra una frequenza minima e una massima.
• Es. Un segnale vocale ha uno spettro compreso tra 300
Hz e 3400 Hz; mescolando sinusoidi di ampiezza
opportuna di frequenza compresa in questa gamma, si
puo’ sintetizzare un qualunque tratto vocale