La trasformata di Laplace
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Definizione della trasformata di
Laplace
L’analisi della risposta di un circuito nel dominio del tempo richiede la soluzione di equazioni
differenziali. In alcuni casi, come nei circuiti di primo ordine (es. circuito RC o RL con una
sola capacità o induttanza), la soluzione risulta abbastanza semplice, mentre nei casi più
complessi, cioè nei circuiti di ordine superiore al primo, si dovrà ricorrere a metodi particolari.
Un metodo valido ed efficiente che permette di semplificare il problema consiste nell’utilizzo della
trasformata di Laplace, in grado di trasformare l’equazione di grado superiore al primo in
semplici equazioni algebriche.
La trasformata di Laplace è un operatore che fa corrispondere al segnale f(t) (ossia una funzione
complessa di variabile reale), una funzione complessa nella variabile complessa s.
Osservando che le condizioni sotto le quali una funzione f(t) è trasformabile secondo Laplace sono
abbastanza estese, per cui risultano soddisfatte da qualunque funzione del tempo che rivesta
interesse nell’ambito dell’analisi dei sistemi. La condizione più importante è che f(t) sia nulla
per t<0 e può essere in genere soddisfatta mediante una scelta opportuna dell’origine dei
tempi.
In realtà la condizione f(t)=0 per t<0 non è strettamente necessaria per la trasformabilità della
funzione (i cui valori per t<0 vengono comunque ignorati nell’operazione di integrazione),
quanto per la biunivocità della trasformazione, dato che, eseguita l’antitrasformazione
otteniamo una funzione nulla per t<0
Trasformazione e antitrasformazione
Come citato in precedenza l’utilizzo della trasformata di Laplace è dovuto al fatto che nel dominio
del tempo, l’integrazione dell’equazione differenziale per risalire alla risposta del circuito, è
abbastanza complesso. Se invece operiamo nel dominio della variabile complessa s, dopo aver
trasformato la variabile di ingresso e dopo aver sostituito l’equazione differenziale con la
trasformata, potremo risolvere semplicemente l’equazione che fornisce la risposta. Per trovare
la risposta nel dominio del tempo si dovrà procedere in modo inverso (antitrasformazione). I
passaggi sono matematicamente impegnativi, ma per evitare l’operazione di trasformazione
numerose volte, sono state messe a disposizione delle tabelle che presentano la codifica delle
trasformazioni e delle antitrasformazioni se la usiamo in modo inverso.
Trasformazione:
L[f(t)]=F(s) dove f(t) è una funzione reale o complessa
Antitrasformazione: L-1[F(s)]=f(t)
Proprietà della trasformata di Laplace
Per applicare questo metodo è di fondamentale importanza conoscere le proprietà delle Ltrasformate:
-La trasformata di Laplace di un segnale (regolare di ordine esponenziale) è un operatore lineare,
verificando sempre le seguenti condizioni:
L[f(t) + g(t)](s) = L[f(t)](s) + L[g(t)](s)
dove f e g sono segnali di ordine esponenziale.
-La trasformata del prodotto di una costante K per una funzione f(t) è pari al prodotto di K per la
L- trasformata F(s) della f(t):
L [Kf(t)] = KL[f(t)] = KF(s)
-La trasformata della somma o della differenza è uguale alla somma o differenza delle
trasformate:
L[f(t) ± g(t)] = L[f(t)] ± L[g(t)] = F(s) ± G(s)
Studio di un circuito tramite la
trasformata di Laplace
Prima di parlare di studio del circuito, è di relativa importanza introdurre il concetto di funzione di
trasferimento. Grazie a questa funzione è possibile ricavare la risposta del circuito note
l’eccezione.
O(s)=G(s)I(s)
dove G(s) è la funzione di trasferimento del circuito.
Una volta spiegato questo concetto potremo procedere con l’analisi del funzionamento del circuito
tramite l’uso della trasformata di Laplace, operazione che possiamo dividere in quattro fasi
distinte:
1)
2)
3)
4)
Utilizzando la tabella di trasformazione, ricaviamo le trasformate di ogni eccitazione.
Si trasformano i componenti passivi.
Tramite le conoscenze delle regole usate per le reti elettriche lineari, risolviamo il circuito
ponendo i generatori in continua e mutando i vari componenti passivi in resistenze.
Utilizzando la tabella di trasformazione in modo inverso, antitrasformiamo i risultati
tornando quindi nel dominio del tempo.